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文档简介

第五节极限运算法则教学目的：掌握极限的求法，掌握极限的四则运算法则和复合函数极限的运算法则，利用这些法则，可以求某些函数的极限。教学重点：极限的四则运算法则和复合函数极限的运算法则教学难点：复合函数极限的运算法则教学过程：本节讨论极限的求法，主要介绍极限的四则运算法则和复合函数极限的运算法则，利用这些法则，可以求某些函数的极限．在下面的讨论中，记号“”表示定理对及都是成立的．定理1有限个无穷小的和也是无穷小．定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小．推论1常数与无穷小的乘积是无穷小．推论2有限个无穷小的乘积是无穷小．定理3如果，那么存在，且．（1－５）证因，由1.4定理1有，其中为无穷小．于是由定理1知为无穷小，再由定理３知定理７可推广到有限个函数的情形．例如，如果都存在，则有．定理4如果，那么存在，且．（1－6）推论3如果存在，为常数，则．推论4如果存在，为正整数，则．定理5如果，且，则存在，且．（1－7）以上定理和推论对于数列也是成立的．定理6如果，而都存在，那么．证令，则，所以，由定理3有，从而．例1求．解．事实上，设多项式，则例2求．解因所以．如果，其中都是多项式，如果，则．但必须注意，如果，则关于商的运算法则不能应用，需要特别考虑．例3求．解当时，分子分母的极限都是零，所以不能运尖用商的运算法则．但时，，所以．例4求．解因为，不能商的运算法则．但，故由定理4得．例5求．解．例6求．解．例7求．解因为，所以．更一般地，当，和为非负整数时，有例8求．解当时，分子分母的极限都不存在，不能应用商的运算法则．但，而是时的无穷小，是有界函数，所以根据定理6，有．前面已经看到，对于有理函数（有理整函数或有理分式函数），只要在点处有定义，那么时的极限必定存在且等于在点的函数值．一般地，如果函数具有上述性质，即，就称函数在点连续．因此有理函数在其定义域内的每一点处都是连续的．我们指出：一切基本初等函数在其定义域内的每一点处都是连续的．因此，如果为基本初等函数，其定义域为，而，则有．例如，是基本初等函数，它在点处有定义，所以．下面介绍一个半球复合函数求极限的定理．定理7设函数当时的极限存在且等于，即，而函数在点连续，那么复合函数当时的极限存在．且．（1－8）证明从略．因为，所以公式（1－8）又可写成例9求．解．例10求．解．小结与思考：本节讨论了极限的求法，主要介绍极限的四则运算法

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