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宿州学院第六届“青年教师教学比赛”教案参赛教师:杨星星职称:助教所在院系:数学与统计学院所授课程:高等数学20XX年5月第十章重积分第二节二重积分的计算法（第1课时）教学目的：理解二重积分计算公式导出的方法，理解公式中符号的意义；熟练掌握X-型区域与Y-型区域上的积分公式，并能根据条件选择恰当的积分次序计算二重积分.重点：X-型区域上二重积分的积分公式；根据条件选择恰当的积分次序计算二重积分.难点：选择合适的方法计算二重积分.教学方法：直观教学，启发式讲授.教学过程：一、利用直角坐标系计算二重积分1．积分区域D的分类（1）积分区域D为X-型区域图1图2图1，图2表示的区域都是X-型区域.X-型区域的特点：穿过D的内部平行于y轴的直线与D的边界的交点个数不超过两个.用不等式组表示为（2）积分区域D为Y-型区域图3图4图3，图4表示的都是Y-型区域.Y-型区域的特点：穿过D的内部平行于y轴的直线与D边界交点的个数不多于两个.当积分区域为Y-型区域时，即2．二重积分计算公式（1）积分区域D为X-型区域时的计算公式.当时，由二重积分的几何意义的值等于以D为底，以为顶的曲顶柱体（图5）的体积.即.过轴上点作平行于的平面,.图5截得一以长为底,为曲边的曲边梯形,其面积为..根据平行截面面积已知的立体求体积的方法，可得.于是.（2）积分区域D为Y-型区域时的计算公式说明：这是在的条件下得到的计算公式,但是对于一般的情况这个公式依然成立.当在D上变号时，由于，记，则在D上非负，在D上可以应用上面的公式计算.于是.3．例题应用例1.计算，其中D是抛物线及直线所围成的闭区域.解：把看成Y-型区域（图6），则图6另解：把看成X-型区域（图7），则图7例2.计算二次积分yy解：将所给的积分区域用不等式组表示xo画出草图（图8），改写为：xo图8.二次积分交换积分次序的步骤：（1）写出积分区域D；（2）画出草图；（3）将D改写为另一类型的不等式组，交换积分次序。例题反思：化二重积分为二次积分时，为了计算简便，需要选择恰当的二次积分次序。这时，既要考虑积分区域D的形状，又要考虑被积函数的特性。小结直角坐标系下计算二重积分的步骤：画出积分区域二、选择积分次序（依据：容易积分；分块少）三、若D为X-型区域：若D为Y-型

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