数学物理方法(第3版)课件：柱面坐标中的偏微分方程解法

柱面坐标中的偏微分方程解法本章的重点内容是傅里叶-贝塞尔级数的展开和边值问

题，因此对函数如何在三类边值条件下展开，以及求方程的特征值问题既作了理论分析又给出了近似计算的例子，并对霍姆维兹方程产生的二重傅里叶-贝塞尔级数作了简要介绍；也对特征值小于零的变形贝塞尔方程及修正的贝塞尔函数和诺依曼函数作了分析和讨论。最后，回顾了汉克尔函数、开尔芬函数、球贝塞尔函数等几类贝塞尔函数及其来源。2

柱面坐标中的偏微分方程解法§6.1

贝塞尔方程的解与贝塞尔函数§6.2

贝塞尔函数的递推公式§6.3

贝塞尔函数的性质§6.4

傅立叶－贝塞尔级数§6.5

柱坐标下的边值问题§6.6

虚宗量贝塞尔函数§6.7

其他类型的贝塞尔函数3§6.1.1

第一类和第二类贝塞尔函数§6.1.2

整数阶诺依曼函数6.1

贝塞尔方程的解与贝塞尔函数4x2

y,+xy,+(x2

-n2

)y

=

0设式(6.1-1)的解是y(x)=x

ak

xk+p=0将式(6.1-2)代入(6.1-1)，得到[(k

+p)2

-n2

]ak

xk+p

+ak

xk+p+2

=0k

=0

k

=0令k

+2=k

代入到上式中的第二项，有xwxw6.1.1

第一类和第二类贝塞尔函数n

阶带参变量的贝塞尔方程是r

2

R,+rR,+(入r

2

-n2

)R

=0这里讨论入>0的情况。作变换入r

=x,R(r

)=y

代入上式，成为经常见到的形式(6.1-1)(6.1-2)k5w6.1.1

第一类和第二类贝塞尔函数

[(k

+p)2

-n2

]ak

xk+p

+ak-2

xk+p

=0k=0

k

=2(p2

-n2

)a0

xp

+[(1+p)2

-n2

]a1xp+1

+恳[(k

+p)2

-n2

]ak

+ak-2

}xk+p

=0=2xwxwxw比较xk+p

前系数，得到(p2

-n2

)a0

=0[(1+p)2

-n2

]a1

=0[(p+k)2

-n2

]ak

+ak-2

=0,(k

=2,3,…)式(6.1-4)是指标方程，下面来详细讨论它。(6.1-3)(6.1-4)

(6.1-5)

(6.1-6)k66.1.1

第一类和第二类贝塞尔函数由指标方程可以解出p1

=n,p2

=n。方程(6.1-1)至少有一个弗罗贝尼乌斯级数解，设这个解的指标根为n

>0，将其代入式(6.1-5)后得到(2n

+1)a1

=0上式中2n+10，所以有a1

=0。由式(6.1-6)，可推出ak

的递推公式为a

k

=

k

k

)

,

(k

=

2

,3,

…

)递推得到：7a2

=

2(2n

+2)a0

=

22

(n

+1)a4

=

4(2n

+4)=

23

(n

+2)=

24

(n

+1)(n

+2)2!a6

=

26

(n

+1)(n

+2)(n

+3)3!：

(

1)

a0

a2k

=

22k

(n

+1)(n

+2)…

(n

+k

)k!kka

=05a

=0：a

=06.1.1

第一类和第二类贝塞尔函数

1

a0 220a

a

a3a

=02k+1a807上面表格的左边应是一般项，有

(1)k

a2k

=

22k

(n

+1)(n

+2)…

(n

+k)k!a0式中a0

是任意常数。由于

(p

)=j0

e

x

x

p

1

dx

(k

+1)=k!ww

(n

+k

+1)=(n

+k)(n

+k1)…

(n

+2)(n

+1)(n

+1)(6.1-10)式(6.1-9)和(6.1-10)代入式(6.1-7)，得到

(1)k

(n

+

1) a2k

=

22k

(n

+k

+1)(k

+1)a06.1.1

第一类和第二类贝塞尔函数(6.1-8)(6.1-9)(6.1-7)9在级数表达式(6.1-2)中a2k+1

=0，所以式(6.1-11)代入后，得到解是y1(x)

=

22k+n

k

1(

x

记y1

(x)=Jn

(x)，得到k+nk+k+22k+展-!(取a0

=

2n

展(

+

1)

，就得到

(-1)k

a2k

=

22k+n

k!展(n

+

k

+

1)n1Jn

(x)

=

k!展

))|k+nk+k+22k+6.1.1

第一类和第二类贝塞尔函数(6.1-12)(6.1-11)106.1.1

第一类和第二类贝塞尔函数式(6.1-12)一般情况下不能写成初等函数形式，它被称为第一类贝塞尔函数。(6.1-1)的另一个解要由指标根p1

一p2

=2n来决定。根据n

取值为实数可知，2n有正整数和非正整数两种情况：(1)2n不是正整数，即n

丰m,(m

=1,2,…)，这时n

丰,1,,…

。根据定理5.2，方程(6.1-1)有两个弗罗贝尼乌斯级数解。将一

n

代入方程(6.1-1)，递推后求出另一个解是y2

(x)

=

J一n

(x)

=

k!T((一

k

+

1)

))|

式(6.1-13)也称为第一类贝塞尔函数。一n一nk22k一nn一(6.1-13)116.1.1

第一类和第二类贝塞尔函数注意到x0时，J-n

(x)是无界的，因此J-n

(x)在x

=0邻域内是一个无界的解，而此时Jn

(x)0，所以可判定在x

=0的邻域内Jn

(x)与J-n

(x)线性无关，

这也说明n

不是整数时，Jn

(x)与J-n

(x)是贝塞尔方程的两个线性无关解。另外，若将(6.1-13)中-n换成n

，则得到式(6.1-12)的Jn

(x)，这两个表达式在形式上完全相同，故可统一地用式(6.1-12)来表示Jn

(x)与J-n

(x)。(2)2n是正整数，根据定理5.2可知，这时贝塞尔方程可能有两个弗罗贝尼乌斯级数解，也可能只有一个弗罗贝尼乌斯级数解。详细的推导指出：当n

=,,…

，即2n是奇数时，贝塞尔方程的另一个解也是弗罗贝尼乌斯型级数，它的表达式与J-n

相同，是12第5章的例5.4中已经讨论过n

=土的情况，从中可见它确实有两个弗罗贝尼乌斯级数解。易证，这个解与Jn

(x)是线性无关的。但是当2n是偶数时，即n

为正整数时，可以证明它的解不是弗罗贝尼乌斯级数解。总结起来有这样的结论：当n

不是整数时，贝塞尔方程有两个线性无关的解Jn

(x)与J-n

(x)，因此贝塞尔方程的解是y(x)=AJn

(x)+BJ-n

(x)，(n

不是整数)Jn

(x)

=))|k+nk+k+22k+y2

(x)

=

J-n

(x)

=

))|-n-nk22k-n6.1.1

第一类和第二类贝塞尔函数(6.1-15)(6.1-12)(6.1-14)136.1.1

第一类和第二类贝塞尔函数式(6.1-12)中用n

代替n

，就得到了J

n

(x)。另一个求通解的方法是用式(6.1-15)构造一个新的特解Yn

(x)，让它与Jn

(x)线性无关，这样Jn

(x)与Yn

(x)就构成了贝塞尔方程的通解。当n

不是整数时，式(6.1-15)中取A

=

cot

n

,B

=

，就得到

Yn

(x)

=

cot

n

Jn

(x)

=

(n

整数)

(6.1-16)式(6.1-16)称为诺依曼函数，又称作第二类贝塞尔函数，它与Jn

(x)和

J

n

(x)线性无关，因此用Yn

(x)也可以写出贝塞尔方程的解，为y(x)=AJn

(x)+BYn

(x),(n

正整数)(6.1-17)146.1.2

整数阶诺依曼函数考虑负整数阶贝塞尔函数与整数阶贝塞尔函数的线性相关性。负整数阶贝塞尔函数是J-n

(x)

=

))|

=

0！

-(

+

1！

-(-

+

…

+

+

))|

=

0！

-[-

-

1)]+

1(

n-

2)]+

…

+

(0)+

))|

-n-nk21)1(n1)0r(-k22k-r(r(-n-nk22k-n由于r(0)=r(-1)=…=r[-(n

-1)]=w

，上式成为J-n

(x)

=

))|

-n-nk22k-n156.1.2

整数阶诺依曼函数令-n

+k

=m,则m从0)w

，上式可写成J-n

(x)

=

))|

=

+

1)

))|

根据T函数递推公式，(k

+n)为整数时，(k

+n)!=T(k

+n

+1),T(k

+1)=k!，J-n

(x)

=

))|

=

(-

1)

=(-1)n

Jn

(x)即J-n

(x)与(-1)n

Jn

(x)是相等的，因此，J-n

(x)与Jn

(x)是线性相关的。对于n

为整数时的贝塞尔函数特解，可以从诺依曼函数中得到。考虑a不等于整数时的诺依曼函数，有k+nnk+k+22k+2m2m2m2m2m2m2m2m2m2m2m2m2m2m2m2mnk+k+2n+2m2mkn16-

))|+

))|(n

=

1,2,

…)式中c

=0.577216…

是欧拉常数。由于J0

(0)=1，Jn

(0)=0，所以(6.1-22)中x趋于零时有2m2m2m2m2m2m2m2m2m2m2m2m2m2m2m2m2m2m2m2m1nn+2m2m最终的结果是Y0

(x)

=

J0

(x)

ln

+

c))|-

))|,

Yn

(x)=Jn

(x)ln

+c))|

-

))|

2m2m2m2m2m-n2m-n2m-n2m-n2m2mYa

(x

)

=

cos

a"Ja

(x

)-

J-a

(x

)6.1.2

整数阶诺依曼函数sin

a"(6.1-19)(6.1-27)17由于Yn

(0))w,而Jn

(0)是有限值，所以Jn

(x)与Yn

(x)线性无关。综合本节的讨论结果可知，无论n

是否整数，贝塞尔方程的解都可以写成〈

1,)((l6.1.2

整数阶诺依曼函数y(x)=AJn

(x)+BYn

(x)(6.1-28)(6.1-29)18

[xn

Jn

(x)]=xn

Jn_1

(x)

[x_nJn

(x)]=_x_nJn+1

(x)这里证明式(6.2-2)。

[x_nJn

(x)]=

))|.

=

))|

=

))|k_1k+knk+k+22k+各类贝塞尔函数之间不是孤立的，它们的联系是递推公式。下面是最常用的两个公式：6.2

贝塞尔函数的递推公式(6.2-1)(6.2-2)19[证毕]6.2

贝塞尔函数的递推公式令k

=m

+1(m

=0,1,…

,w)，因此上式可写成

[x-nJn

(x)]=

1)!

T

))|x2m+1))|

2m2m2m2m2m2m)1+n+(+(2m2mn+2+2m2m)m将式(6.2-1)和(6.2-2)展开后，得到xJ，n(x)+nJn

(x)=xJn-1

(x)

xJ，n(x)-nJn

(x)=-xJn+1

(x)上面两式相加和相减后，得到Jn-1

(x)+Jn+1

(x)=nJn

(x)

Jn-1

(x)-Jn+1

(x)=2J，n

(x)(6.2-3)(6.2-4)=-x-nJn+1

(x)206.2

贝塞尔函数的递推公式在贝塞尔函数值计算中，上述递推公式极为有用。用这些公式

可以把高阶贝塞尔函数化成低阶贝塞尔函数，只要有低阶贝塞尔函数值，就可以换算出n

阶贝塞尔函数值和导数值。用递推关系可以证明半奇数阶贝塞尔函数是初等函数。首先求

阶贝塞尔函数。例5.4中已经求出了阶贝塞尔方程的解是y

=

c1

x

=

c1

y－

=

c2

x

=

c2

k+k－k－2k+k+22k+(见例5.8式(6))(见例5.8式(16))216.2

贝塞尔函数的递推公式在推导贝塞尔函数式(6.1-11)时，已经介绍了贝塞尔方程解在任意常数取

2n

展(

+

1)

时，得到贝塞尔函数。由于n

=

，所以取

112

2展))|

2展))|

"上式计算中用到了展))|=

。将c1和c2

代入y

和y

后，有J1

(x)=

sin

x

(6.2-5)J

1

(x)=cos

x

(6.2-6)--====2c=1cc1

=

c2

=n1-

"x2222上式表示对Jn

xn

求导一次再除以x

，相当于用n

+1取代Jn

xn

的n

，再乘以一个负号。由于式(6.2-7)右边总是Jk

(x)xk

的形式，因此若把.看作是对Jn

xn

的一次运算算符，那么m

次运算结果后有

.

))|

))|

=

(一

1)m

式中(|

1

.

d

)|

是mmmm

))|

=

一

6.2

贝塞尔函数的递推公式根据式(6.2-2)，有\x

dx

)(6.2-8)(6.2-7)23m个

))|

=

1x

(m

=

1,2,

…)

(6.2-9)令n

=1

，得到任意半奇数阶贝塞尔函数表达式是2Jm+

(x)=(-1

))|

(x

)))|||

(m

=1,2,…)式(6.2-5)和式(6.2-6)代入上式后，得到mmmmmmmmmmmmmmJxJm212121mmmmmmmmmmmmmmmmmmm——m实际上))|运算一次相当于微分后再除以x

。所以算符作用m

次后，式(6.2-10)的结果仍是初等函数，这表明半奇阶贝塞尔函数是初等函数。x

))|

si

x

))|

(m

=

1,2,3,…)mm+mm+xn21几26.2

贝塞尔函数的递推公式J

1

(x)=(-1)m2(6.2-10)m+24同理可得J-

m+

))|

=

x

.))|))|(m

=

1,2,

…)

(6.2-11)用式(6.2-10)和式(6.2-11)，也可以写出半奇数阶贝塞尔函数表达式。例如J5

(x)的m

=2，由式(6.2-10)可以得到2J

=

x

.))|.))|

))|=

sinx

-cosx))|几x2几2mm+mm+几26.2

贝塞尔函数的递推公式25

[xn

Yn

(x)]=xn

Yn

1

(x)

[x

n

Yn

(x)]=x

n

Yn+1

(x)Yn

1

(x)+Yn+1

(x)=Yn

(x)

Yn

1

(x)Yn+1

(x)=2Yn

(x)第二类贝塞尔函数之间的递推公式与第一类贝塞尔函数递推公式类似，有(6.2-12)(6.2-13)

(6.2-14)

(6.2-15)6.2

贝塞尔函数的递推公式26对于半整数阶的诺依曼函数有Y

(x)

=

Jn+

(x)cos

n

+

))|"

-

J-

n+

))|(x)

2

sin

n

+

))|"=(-1)n+1

J

1

(x)同理可以得到Y

(x)

=(-

1)n

Jn-

1

(x)即半整数阶的诺依曼函数也是初等函数。+nn+21116.2

贝塞尔函数的递推公式\2)

2(6.2-17)(6.2-16)-

n+

2

))|27§

6.3.1

贝塞尔函数的渐近式§

6.3.2

贝塞尔函数与诺依曼函数的性质

§

6.3.3

贝塞尔函数的生成函数与积分表示6.3

贝塞尔函数的性质286.3.1

贝塞尔函数的渐近式为了对贝塞尔函数有一个初步的认识，首先考虑x

充分大时的贝塞尔函数的特性，即贝塞尔函数的渐近表达式。这里略去推导过程，直接给出在x

充分大时的贝塞尔函数：Jn

(x)

=

cos(x

+

an

)+

o

x

(

n

>

0为整数)Yn

(x)=

sin(x

+

bn

)+

o

x

(n

>

0为整数)当x

)w

时，上两式可以写成----cos(x

+an

)sin(x

+bn

)(6.3-1)(6.3-2)Jn

(x)~Yn

(x)~

2

"x

2

"x29式中an

和n

与贝塞尔函数的阶数n

有关，但与x

无关，因此有Jn

(w)=0;Yn

(w)=0

(6.3-3)根据(6.3-1)~(6.3-3)，可以得到贝塞尔函数的基本特性如下： (1)由于Jn

(x)和Yn

(x)中含有与正弦和余弦函数乘积项，所以它们在实轴上有无穷多个零点，并且这些零点是简单分布的，分布的

位置与阶数n

有关；(2)Jn

(x)和Yn

(x)的幅值正比于，所以在正实轴上将衰减至零。图6.1给出了贝塞尔函数和诺依曼函数的渐近函数图像，它好像一个衰减的正弦波或者余弦波，周期近似为2。6.3.1

贝塞尔函数的渐近式306.3.1

贝塞尔函数的渐近式Jn

(x)和Yn

(x)的渐近函数图像222图6.1316.3.2

贝塞尔函数与诺依曼函数的性质先考虑第一类贝塞尔函数的零点，即方程Jn

(x)=0的根，它有以下

几个重要结论：(1)Jn

(x)有无穷多个在x

轴上关于原点呈对称分布的单重实零点，即

Jn

(x)有无穷多个正零点。根据式(6.1-12)可见，x

=0是J1

(x)=0的单级零点；而n

>1时，Jn

(x)xn

，所以x

=0是Jn

(x)的n

重零点。其它的零点都是单级的。(2)Jn

(x)的零点与Jn+1

(x)的零点彼此相间分布，在Jn

(x)的任何相邻的零点之间存在并且只有一个Jn+1

(x)的零点，即Jn

(x)和Jn+1

(x)没有非零公共零点。(3)Jn

(x)的最小正零点比Jn+1

(x)的最小正零点更接近于原点，从Jn

(x)渐近表达式(6.3-1)可见，Jn

(x)几乎是2为周期的衰减函数。326.3.2

贝塞尔函数与诺依曼函数的性质图6.2给出了J0

(x

)

与J1

(x)的图像，图像中表现了上面讲的

三个性质。贝塞尔函数零点数值也有专门的表格可以查阅，或者在Matlab等数学软件中找到。表6.1给出了9个J0

(x)的零点和相应的J1

(x)。图

6.2

J0

(x

)与J1

(x)的图像___

J1

(x)

J0

(x)33

m2.40485.52018.653711.791514.930918.071121.211624.352524.4935J0

(x)000000000J1

(x)0.5192-0.34030.2715-0.23250.2065-0.18750.1733-0.16170.15226.3.2

贝塞尔函数与诺依曼函数的性质表6.1J0

(x)和J1

(x)部分数值x346.3.2

贝塞尔函数与诺依曼函数的性质在第二类边界条件运用时要用到J

n(x)的根。而J

n(x)=0的根除

了J

(x)外一般不能用普通贝塞尔函数表求解。应用递推公式

(6.2-2)，令n

=0，得到J

(xm

)=J1

(xm

)

(6.3-4)这样J1

(xm

)=0的根x(1m)

就是J

(xm

)=0的根。n

丰0时可以由递推公式(6.2-4)求解导数的根。即J

n(xm

)=0根是方程Jn-1

(xm

)=Jn+1

(xm

)的根。前面已经介绍了Jn

(x)和Yn

(x)是线性无关的。根据常微分方程的

基本理论可知，齐次线性常微分方程的两个线性无关解的零点(如果有的话)是互相交错的，因此Jn

(x)与Yn

(x)

的零点是35互相交错的。但是从式(6.1-23)可知lx

Yn

(x)

=

-

，因此

Y0

(0)

与Y1

(0)都趋向于-。图6.3是J0

(x)与Y0

(x)

，J1

(x)与Y1

(x)的图像。从

图中可知Yn

(x)也有无穷个简单零点。6.3.2

贝塞尔函数与诺依曼函数的性质图

6.3

(a)J0

(x)与Y0

(x)图像；(b)J1

(x)与Y1

(x)图像___

J1

(x)-

-

-

Y1

(x)___

J0

(x)-

-

-Y0

(x)366.3.3

贝塞尔函数的生成函数与积分表示生成函数是指一个函数可以展开得到某一个函数，这个函数称为某个函数的生成函数。在复变函数论中，已经证明了贝塞尔函数的生成函数的无穷级数是e

=Jn

(x)zn

(n

=0,土1,土2,…

;0<z

<+w)(6.3－5)n=-wJn

(x)=j02"

cos(x

sin

9-n9)d9

(6.3－6)例6.1求cos(xsin9)和sin(xsin

9)的傅立叶级数。解在式(6.3－5)中令z

=ej9

，则有e

(

e

-e

)

=

Jn

(x)ejn9n=-w用ej9

-e-j9

=2jsin9,Jn

(x)=(-1)n

J-n

(x),ejn9

=cos

n9+jsinn9，上式可写成-9j-9jj9xn=wz-)z-z-((

z-xn=w376.3.3

贝塞尔函数的生成函数与积分表示ejxsin9

=cos(x

sin

9)+jsin(x

sin

9)=J0

(x)+[Jn

(x)+J-n

(x)]cos

n9+j

[Jn

(x)-J-n

(x)]sinn9

n=1

n=1=J0

(x)+Jn

[1+(-1)n

]cos

n9+j

Jn

[1-(-1)n

]sin

n9

n=1

n=1=J0

(x)+2J2n

cos2n9+2j

J2n-1

sin(2n

-1)9

n=1

n=1在上式两边，令实部等于实部、虚部等于虚部，有cos(x

sin9)=J0

(x)+2J2n

cos2n9n=1sin(xsin9)=2J2n-1

sin(2n

-1)9n=1上面两式是调幅信号的频谱，对照图6.2，不难发现调幅信号的幅度是衰减的。xwxwxwxwxwxwxwxw386.4

傅里叶－贝塞尔级数§

6.4.1

傅里叶－贝塞尔级数展开式

§6.4.2

贝塞尔函数的模396.4.1

傅里叶－贝塞尔级数展开式带特征值入

的贝塞尔特征函数系来自于贝塞尔方程的定解问题：r2

+

r

+

(入r2

-

n2

)R

(r

)=

0,

(0

<

r

<

b)

(6.4－1)

|

之一：

(6.4－2)作变换x

=

入r

。由定理5.4可知入>0，因此x

也是实变量。得到的贝塞尔方程是[xy'],+(x2

-n2

)y

=0

(6.4－3)式(6.4－3)的解为y(x)=AJn

(x)+BYn

(x)，再将x

=

入r

代入此式得R(r

)=AJn

(入r

)+BYn

(入r

)〈〈0况')三R下R是(件0;条406.4.1

傅里叶－贝塞尔级数展开式由式(6.1－23)可知Yn

(0))一w

，因此B

=0，所以有R(r

)=AJn

(入r

)

(6.4－4)(6.4-4)代入边界条件(6.4-2)，可以得到特征值方程是在6.3.2中，已经介绍了上述三个方程都有无限多的正实零点，记上述三个方程的零点值为xm

,则有恳xm

;m

=1,2,3,...}Jn

(入b)=0J,n(入b)=0Jn

(入b)+

入hJn

'(入b)=0(6.4－5)(6.4－6)

(6.4－7)41特征函数Jn

r))|带权正交，根据定理

5.5

可知权函数是r

。根据定理5.5，可以得到函数f(r)在(6.4－9)构成的特征函数系中展开定理如下：那么

入b

=xm

,入m

=(xm

b)2

。因此，n

阶贝塞尔方程的特征值和特征函数分别为〈入m

=

))|;

m

=

1,2,3,...

卜〈Rn

=

Jn

r))|;

m

=

1,2,3,...

卜J)l(22J)l(6.4.1

傅里叶－贝塞尔级数展开式(6.4－9)(6.4－8)426.4.1

傅里叶－贝塞尔级数展开式定理

6.1

若函数f

(r

)在(0,b)上逐段光滑，并且j0b

f

(r

)dr具有有限值，若f(r)满足相应的特征值的边界条件，f(r)可展开成傅里叶－贝塞尔级数f

(r

)=cm

Jn

(

xm

r)系数cm

可以根据定理5.5求出，为c

=

j0

rf

(r

)Jn

r))|dr j0

rJn

r))|drmmmmmmmmmmmb2bmbbxw(6.4－10)(6.4－11)m=1

b43级数连续点上一致收敛，在间断点收敛于[f(x

+0)+f(x

-0)]。式(6.4－11)的分母称为贝塞尔的模，用Nm

表示为N

的值与xm

有关，而xm

与边界条件有关，所以Nm

在不同的边界条件有不同的值。下面将导出三类边界条件下的Nm

值。6.4.1

傅里叶－贝塞尔级数展开式Nm

=

j0

rJn

r))|drbbbbbbbb22b(6.4－12)44md[rRn

']2

+(入r2

-n2

)dRn

2

=0对于上式从0到b积分，并且对第2项分部积分，得到2入j0b

rRn

2

dr

=[rRn，]-(入r2

-n2

)Rn

2

注意到n

丰0时，Rn

(0)=Jn

(0)=0，而Rn

(0)丰0时n

=0和r

=

0

，

所以(入r

2

-

n2

)Rn

r=0

=

0

。上式可以写成2222222222222222bb20b6.4.2

贝塞尔函数的模设n

阶贝塞尔函数是Rn

(r

)

=

Jn

r))|，贝塞尔方程(6.4-1)是r

rR，n

(r)+(入r2

-n2

)Rn

(r)=

0

2rRn

'[rRn

']'

+2(入r2

-n2

)Rn

Rn

'=0(6.4-13)450由于Rn

(r

)

=

Jn

r))|，Rn

'

(r

)

=

Jn

'

r))|，Rn

(b)=Jn

))|=Jn

(xm

)，Rn

'

(b)

=

Jn

'

(xm

)。四个式子代入(6.4-14)后，有2

))|

j0brJn

2

r))|dr

=

[xm

Jn

'

(xm

)]2

+

[xm

2

-

n2

]Jn

2

(xm

)

(6.4-15)式(6.4-15)代入式(6.4-12)，得到贝塞尔函数的模是Nm

=

j

rJn

2

r))|dr=〈[Jn

'

(xm

)]2

+

1-))||Jn

2

(xm

)

(6.4-16)22J)0b22r=r=r=r=r=r=r=r=r=r=r=r=r=r=r=r=r=r=r=r=r=r=r=r=br=r=2入j0brRn

2

dr

=[bRn

'(b)]+(入b2

-n2

)Rn

2

(b)226.4.2

贝塞尔函数的模(6.4-14)46式(6.4-16)有三类边界条件，因而Nm

有三种情况，用Nm1

,Nm2

,Nm3对应三种情况下的贝塞尔函数的模Nm

，分别计算如下：(1)第一类边界条件：Jn

(xm

(n

)

)=0，式中xm

(n

)

表示n

阶贝塞尔函数第m

个零点。根据递推公式Jn

'

(xm

(n

)

)=

Jn

(xm

(n

)

)Jn+1

(xm

(n

)

)=

Jn+1

(xm

(n

)

)由式(6.4-16)可以得到Nm1

=b2

[Jn

'(xm

(n

)

)]=b2

J

+1

(xm

(n

)

)22n26.4.2

贝塞尔函数的模(6.4－17)476.4.2

贝塞尔函数的模(2)第二类边界条件：Jn

'(xm2

)=0，xm2

表示第二类边界条件对应的零点。从式(6.4-16)可以得到Nm2

=

1

-

))||

Jn

(xm2

)(3)第三类边界条件：式(6.4-7)可以写成Jn

'(xm3

)=-Jn

(xm3

)22Nm3

=〈Jn

(xm3

)

+

1

-))||Jn

(xm3

)=

b

(h

xm3

n

h2

+

b

)Jn

2

(xm3

)2222222222222222222222222222-222222222222222222222J)式中xm3

是第三类边界条件的零点。式(6.4-19)代入式(6.4-16)

得例6.3例6.2(6.4-18)(6.4-19)(6.4-20)2h

x48m3§6.5.1

柱对称的边值问题§6.5.2

二重傅里叶－贝塞尔级数的边值问题6.5

柱坐标下的边值问题49下面用例题的形式介绍柱对称边值问题的解法。6.5.1

柱对称的边值问题例6.4例6.550式中入是方程(6.5-1)的特征值。这里仅介绍式(6.5-2)有固

定边界条件时的特征值和特征函数求解。设固定边界条件是第五章里已经导出了它的分离变量后产生的特征值方程是霍姆维兹方程(5.1-7)，即

+++入V(r,9)=0,(0<r

<a,0<9<2")(6.5-2)或

))|=

A2

+

+))|6.5.2

二重傅里叶－贝塞尔级数的边值问题为了求特征值和特征函数，继续对式(6.5-2)分离变量，设设柱坐标系里有泛定方程V(r,9)=R(r)o(9)V|r=a

=0,(0三9三2")(6.5-1)(6.5-3)(6.5-4)51式(6.5-5)和(6.5-6)中R(0)<w

和O(9)=O(9+2")是自然边界条件。首先解式(6.5-5)，得到On

(9)=An

cos

n9+Bn

sin

n9,(n

=0,1,2,...)(6.5-7)式(6.5-6)中只考虑入>0,入<0将引入修正的贝塞尔函数，下节再讨论。式(6.5-6)的解是分离变量后，有(O(9)+n2

O=0〈lO(9+2")=O(9)

(r2

R''+rR'+(入r2

一n2

R)=0

〈lR(a)=0,R(0)<w6.5.2

二重傅里叶－贝塞尔级数的边值问题R(r

)=DJn

(入r

)(6.5-5)(6.5-6)(6.5-8)52Rm

(r

)=Dm

Jn

r))||,(m

=1,2,...)(6.5-11)式(6.5-7)、(6.5-11)乘积是特征函数，(6.5-10)是特征值。这样可以写出霍姆维兹方程的特征值和特征函数分别是对上式应用边界条件R(a)=0，得到Jn

(入a)=Jn

(xm

(n

)

)=0R(r

)的解是入mn

=(xm

(n

)

a),(m

=1,2,...)22恳入mn

=(x(nm)

a)2

;m

=1,2…

,n

=0,1,2,…}((Jn

(x(nm)r

a

)cos

n9

m

=1,2,…

)〈l〈lJn

(x(nm)r

a

)sin

n9

;

n

=

0,1,2,

…J卜6.5.2

二重傅里叶－贝塞尔级数的边值问题(6.5-12)(6.5-13)(6.5-10)(6.5-9)53如何确定cmn

和dmn

呢？用双重正交级数展开的方法求解这两个系数。首先固定r

，把f

(r,9)看作9的以2"为周期的函数。式(6.5-14)改写成f

(r,9)

=

cm0J0

)|

+「|cmn

Jn

)|]|

cos

n9+「|dmn

Jn

)|]|

sin

n9=a0

(r

)+an

(r

)cosn9+bn

(r

)sin

n9

n=1

n=1xwxwxwxwxwxwxwx(nm)

由J(x(nm)

)=

0

定义。函数f

(r,9)在霍姆维兹方程决定的特征函数系中展开的表达式应当是所有具有n

和m

的值迭加式，所以是一个二重级数。因此，函数在

符合第一类边界条件的函数系中的展开表达式是6.5.2

二重傅里叶－贝塞尔级数的边值问题f

(r,9)

=

[cmn

cos

n9+

dmn

sin

n9]Jn

|(

x

)|xwxwm=1

\a

)n=1

Lm=1

\a

)」n=1

Lm=1

\a

)」n=0

m=1

\a

)(6.5-14)54a0

(r

)=cm0J0

r))|=j

"

f

(r,9)d9an

(r

)

=

cmn

Jn

(|

x

)|

=

1

j

"

f

(r,9)cos

n9d9bn

(r

)

=

dmn

Jn

(|

x

)|

=

1

j

"

f

(r,9)sin

n9d902xw02xw02将上面三式两边同乘以rJk

(|

x

r)|

，在[0,

a]上积分，根据函数的带权正交性，有)nn

)k(cm0

=

a2

J212(x(0)

)ja0

(r

)rJ0

r))|dr

=

"a2

J

(x(0)

)j

j

f

(r,9)rJ0

r))|drd9"mm020a1210a6.5.2

二重傅里叶－贝塞尔级数的边值问题(6.5-15)(6.5-16)(6.5-17)m=1

\a

)

"m=1

\a

)"式中a0

(r)、an

(r

)、bn

(r

)取值如下：(6.5-18)\a

)55cmn

=

a2

J

(x(n)

)j

an

(r

)rJn

r))|dr

=

"a2

J

(x(n)

)j

j

f

(r,9)rJn

r))|cos

n9drd9dmn

=

a2

J

(x(n)

)j

bn

(r

)rJn

r))|dr

=

"a2

J

(x(n)

)j

j

f

(r,9)rJn

r))|sin

n9drd9++++++++++++++++++m"m1m+020an20a11n2++++++++++++++++++m"m1m+020an20a11n26.5.2

二重傅里叶－贝塞尔级数的边值问题例6.6(6.5-20)(6.5-19)56§6.6.1

修正的贝塞尔函数§6.6.2

修正的贝塞尔函数边值问题6.6

虚宗量贝塞尔函数57r2R,+rR,-(入,r2

+n2

)R

=0

令

入,r

=x,R(r)=y(x)，上式可以写成x2

y,+xy,-x2

y

-n2

y

=

0式(6.6-3)与(6.1-1)式只有x2

y

项前符号有差别。为了能利用贝塞尔方程的解，作代换x

=-jt，可以得到以前一直讨论入>0的情况，现在来考虑入<0的方程解。令入=-入,,入,>0，上式是带参量的贝塞尔方程是r2R,+rR,+(入r2

-n2

)R

=0dy

1

dy

d

2

y

d

2

y

dx

=

-

j

dt

,

dx2

=

-

dt26.6.1

修正的贝塞尔函数(6.6-1)(6.6-2)(6.6-3)58y

=AJn

(jx)+

BYn

(jx)式(6.6-5)中的贝塞尔函数是Jn

(jx)

=

j

k!展(n

k

+

1)

))|

J-n

(jx)

=

j

k!展(-

n1+

k

+

1)

))|

-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-nk2+-n-n-n-nnnnnnnnnnnnnnnnnnk2+nn式(6.6-4)是标准的n

阶贝塞尔方程，它的解是y

=AJn

(t)+BYn

(t)将t

=

jx

代入上式，得到(6.6-3)的解为上述结果代入(6.6-3)后得到t2

y，，+ty，+(t2

-n2

)y

=06.6.1

修正的贝塞尔函数(6.6-6)(6.6-7)(6.6-4)(6.6-5)59In

(x)=j-nJn

(jx)因此In

(x)的表达式是In

(x)

=

k!展(n

k

+

1)

))|

容易验证In

(x)是修正的贝塞尔方程(6.6-3)的解。k2+nn+2k式(6.6-9)称为第一类修正的贝塞尔函数，又称为虚宗量贝塞尔函数。称它是虚宗量贝塞尔函数，它的函数值可以不是虚数，而是实数。修正的第一类贝塞尔函数式(6.6-9)与第一类贝塞尔函数相比少了(-

1)k