数学游戏与数学文化课件 -神奇的莫比乌斯带

小故事聪明的执事官

据说有一个小偷偷了一位很老实农民的东西，并被当场捕获，将小偷送到县衙，县官发现小偷正是平日受他庇护的窃贼，原告却是老实农民。他闭着眼睛听了一会双方供词，又胡乱问了几句。县太爷想：如果由我本人宣读审判结果，肯定会引起众怒，他考虑了一会儿，于是在一张纸条的正面写上：小偷立即放掉，而在纸的反面写了：农民立即关押。县官将纸条交给执事官，要求严格按纸条的意思去办理，就匆匆离开了县衙大堂。执事官拿起纸条一看，犯了难：放掉农民吧，得罪县官，自己将来要丢饭碗，放掉小偷吧，自己将被全县老百姓所唾骂。执事官不想误判此案，但是又不敢得罪县官，你们猜他怎么做？

执事官想了会，将纸条一端扭转180度，将两端粘在一起。将这个纸圈放在案牍上,然后向大家宣布：根据县太爷的命令应当放掉农民，立即关押小偷。过了一会儿，县官回来，一听，县官大怒，责问执事官。执事官将纸圈从案牍上拿起给县官看，指给县太爷道：“老爷，你的纸条上可清楚地写着——立即关押小偷立即放掉农民，我可是完全按照你的意思办的，现在全县老百姓都在说你是个包青天一样的好官那”。县太爷仔细观看字迹，确实没错，也没有涂改，县官不知其中奥秘，只好哑巴吃黄连，自认倒霉。

执事官并没有挪动纸条上的字，而是将纸条一端扭转180度，将两端粘在一起。这时纸条上的字就形成了多个循环字链。你来验证一下莫比乌斯带神奇的莫比乌斯带神奇的莫比乌斯带

莫比乌斯带是德国数学家莫比乌斯在1858年在偶然间发现的，所以就以他的名字命名叫“莫比乌斯带”，也有人叫它“莫比乌斯圈”，还有人管他叫“怪圈”。中文名：奥古斯特·费迪南德·莫比乌斯（1790-11-17至1868-9-26）国籍：德国出生地：萨克森州职业：德国数学家和天文学家主要成就：拓扑学的先驱。最著名的成就是发现了三维欧几里德空间中的一种奇特的二维单面环状结构——莫比乌斯带。其他重要成就包括在射影几何中引进齐次坐标系、莫比乌斯变换，数论中的莫比乌斯变换、莫比乌斯函数、莫比乌斯反演公式等等。

莫比乌斯带具有单侧性（单侧曲面）

如果拿出一支水彩笔，给莫比乌斯带着色，色笔始终沿曲面移动，且不越过它的边界，最后可把莫比乌斯带两面均涂上颜色，即区分不出何是正面，何是反面，里面或者外面。单侧性又称不可定向性，即莫比乌斯带是不可定向的，在莫比乌斯带上谁无法确定哪个点是起点或者终点，无法确定哪里是莫比乌斯带前面或者后面。莫比乌斯带的第一个奇特性质1858年

莫比乌斯带真是一条边、一个面吗？检验一下。生活中的莫比乌斯带生活中的莫比乌斯带

打印机的色带就是莫比乌斯带。这样就不会只磨损一面，节约了材料。莫比乌斯带的应用

传输带、传动带设计成莫比乌斯带，就不会只磨损一面，使它们的寿命提高了一倍。传输带传动带传送带音乐有些过山车的跑道采用的就是莫比乌斯原理莫比乌斯爬梯莫比乌斯带环往复的几何特征，蕴含着永恒、无限的意义垃圾回收标志微处理器厂商PowerArchitecture的商标莫比乌斯环餐桌

以2007年世界夏季特殊奥林匹克运动会会标“眼神”为主题的纪念雕塑“眼神”代表：期盼、关爱、关心理念是：“转换一种方式，你将获得无限发展”2007年世界特殊奥林匹克的主火炬上海世博会湖南馆哈萨克斯坦新标志性建筑：国家图书馆

瑞典1982年发行的一枚《不可能的图形》邮票。其实这是一个立体化的“莫比乌斯带”。发行这枚“不可能的图形”邮票，意在引导人们关注科学，探索宇宙不解之谜。

莫比乌斯带与艺术莫比乌斯带为很多艺术家提供了灵感，比如美术家M.C.Escher（摩里茨·科奈里斯·埃舍尔（1898-1972）荷兰图形艺术家，他以其源自数学灵感的木刻、版画等作品而闻名）最著名的作品之一就是《紅蚁》，图画中表现一些蚂蚁在莫比乌斯带上面前行。M.C.Escher莫比乌斯带与艺术

莫比乌斯带也经常出现在科幻小说里面，比如亚瑟•克拉克的《黑暗之墙》。科幻小说常常想象我们的宇宙就是一个莫比乌斯带。由A.J.Deutsch创作的短篇小说《一个叫莫比乌斯的地铁站》为波士顿地铁站创造了一个新的行驶线路，整个线路按照莫比乌斯带方式扭曲，走入这个线路的火车都消失不见。另外一部小说《星际旅行：下一代》中的情节“时间拐弯”中也用到了莫比乌斯带的概念。“事业号”飞船进入到莫比乌斯带与艺术一个特殊的时间带，这个时间带的形状像莫比乌斯传送带一样，使他们陷入一个无尽的同样顺序事件的重复，直至船长发现一种解答为止。

莫比乌斯带实际是拓扑学中的一个小部分。

拓扑学是19世纪发展起来的一个重要的几何分支。主要是研究几何图形连续改变形状时的一些特征和规律的，“莫比乌斯带”是拓扑学中最有趣的单侧面问题之一。

莫比乌斯带常被认为是无穷大符号“∞”的创意来源，

因为如果某个人站在一个巨大的莫比乌斯带的表面上沿着他能看到的“路”一直走下去，他就永远不会停下来。探寻莫比乌斯带性质1、从认识普通环开始

将长方形纸带一端分别扭转00,3600,7200

后将两头粘在一起，猜一猜：

⑴将纸条沿平行于边线的一条直线剪开，结果会怎样？

⑵将纸条沿平行于边线的两条直线剪开，如三等分线剪开，结果会怎样？

验证你的猜想，这些环各有几个面，几条边？探寻莫比乌斯带性质2、走进“魔带”

将一张长方形纸条画上二等分线（即中线），然后动手做成莫比乌斯带。探寻莫比乌斯带性质猜一猜：⑴将莫比乌斯带沿二等分线（中线）剪开，剪开后结果会怎样？是一个圈还是两个圈，或是更多？⑵将上述沿带子中线剪开得到的圈儿继续沿中线剪开，结果怎样？动手验证一下探寻莫比乌斯带性质将一张长方形纸条画上三等分线，然后动手做成莫比乌斯带。猜一猜：

将莫比乌斯带沿三等分线剪开，剪开后结果会怎样？是一个大圈？还是三个圈儿？验证一下二、探寻莫比乌斯带性质将纸条四等分、五等分……，做成莫比乌斯带，沿线剪开，会出现什么结果？试试看，找找规律。将莫比乌斯带剪的结果填在下表中：

（设原莫比乌斯带周长为L，宽度为a）序号剪法得到的结果结果中圈的特点（周长、宽度、圈的扭法）1沿中线剪开2将上得到的大圈儿继续沿中线剪开3沿三等分线剪开4沿四等分线剪开５

沿五等分线剪开

６

找规律莫比乌斯带的第二个特性当我们沿莫比乌斯带中心线剪开，我们得到一个周长是原周长2倍，表面宽度是原宽度一半的普通环圈。（端头扭转了四个半圈再结合的带）将已经沿莫比乌斯带中心线剪开的莫比乌斯带继续沿其中线剪开，我们得到两个周长是原莫比乌斯带周长2倍，表面宽度是原莫比乌斯带宽度四分之一，且互相套在一起的普通环圈。沿莫比乌斯带三等分划线剪开，将得到两个不同大小且相互套在一起的环圈，其中一条是周长等于原周长，表面宽度是原宽度三分之一的莫比乌斯带，另一个是周长为原来的莫比乌斯带2倍，表面宽度是原宽度三分之一的普通环圈。沿莫比乌斯带三等分划线剪开沿莫比乌斯带四等分划线剪开沿莫比乌斯带四等分划线剪开，得到二条比原来的莫比乌斯带空间大一倍的圈，二条圈套在一起。哪个是普通圈，哪个是莫比乌斯带？沿莫比乌斯带五等分划线剪开沿划线剪开，得到二条周长为原来的莫比乌斯带2倍的圈和一条与原来同大小的圈，三条圈套在一起。哪个是普通圈，哪个是莫比乌斯带？

猜猜看：沿莫比乌斯带9等分线、10等分线剪开，结果是什么，道理何在？想想看

设莫比乌斯带宽度为a,沿平行于边线且与边线距离为d(即平行于莫比乌斯带中心线且与中心线距离相等）的对称线剪开，结果是什么？莫比乌斯带的第三个特性当我们沿与莫比乌斯带中心线距离相等的对称线剪开，我们得到两个从外观形状到存在方式及称谓上都完全不同的两个环圈，其中一个是莫比乌斯带，另一个是普通环圈。

由莫比乌斯带的第三个特性，我们也可以认为当我们沿莫比乌斯圈中心线剪开，我们得到一个普通环圈和一个处于虚拟状态的莫比乌斯带。这样莫比乌斯带里永远存在两个环圈，一个是莫比乌斯带，另一个是普通环圈。

这个特性的哲学意义是：和谐，包容，合二为一，对立统一。

一般地，如果把莫比乌斯带的纸面宽n等分，并沿着n等分线剪开，将会得到：当n为偶数时，得到n/2个普通环圈；当n为奇数时，得到(n-1)/2个普通环圈和一个莫比乌斯带。

思考并自由剪：

当纸带的一头扭转后将两头粘在一起时，按前面方式剪开，结果会怎样？拓展学习一、探究“双层”莫比乌斯带

取两张叠在一起的纸条，把它们同时扭转半圈，然后把端头胶结在一起．这就做成了一个“双层”的莫比乌斯带．整个看起来像是两条紧贴在一起的莫比乌斯带．果真是这样吗？检验一下：把你的手指放进两条带的中间隔层并让它移动，看会发生什么情形？如果你试着不让它们紧贴，又会发生什么呢？拓展学习一你能把松开后的“它”摆弄回去，继续变成一个“双层”莫比乌斯带吗？如果同时沿两者（“双层”莫比乌斯带）的中间线剪下，你会得到什么结果？结果提示：并非紧偎在一起的“双层”圈！你会发现这是一个扭转了四个半圈的环（普通环）．它与沿着中线剪开一个莫比乌斯带后得到的图形是拓扑等价的。若同时沿两者的中间线剪下，结果你会得到两个连着的环．一、探究“双层”莫比乌斯带

把三条带合在一起，同时扭转半圈，然后把它们的端头依次胶接在一起，一个三层的莫比乌斯带便做成了．

猜一猜：当该模型松开时，其结果是什么？二、探究“三层”莫比乌斯带结果提示：当该模型松开时，你会得到两个环，一个是窄一些的莫比乌斯带，另一个则是四次扭转半圈后接合起来的普通环圈。它与把莫比乌斯带的纸面宽3等分，并沿着3等分线剪开后得到的图形是拓扑等价的。二、探究“三层”莫比乌斯带

如果是4层、5层、…、n层的呢?大家不妨先猜猜，然后动手试试，再观察各个结果,看看有什么规律?拓展学习二有趣的克莱因瓶