数学游戏与数学文化课件 -一笔画

想一想，画一画：

对于下面的图形，你能一笔画出来吗？试试看第一组：

如果一个图形可以用笔不离纸且每条线都画到并不准重复，则这个图形就叫做一笔画图形.一笔画一、哥尼斯堡七桥问题

故事发生在18世纪的东普鲁士哥尼斯堡城.流经那里的一条河中有两个小岛，还有七座桥把这两个小岛与河岸联系起来.那里风景优美，游人众多.在这美丽的地方，人们议论着一个有趣的问题：

一个游人怎样才能不重复地一次走遍七座桥，最后又回到出发点呢？问题提出后，很多人对此感兴趣，纷纷进行计算试验，但在相当长的时间里，始终未能解决。而利用普通数学知识，每座桥均走一次，那这七座桥所有的走法一共有5040种，而这么多情况，要一一试验，这将会是很大的工作量。因而形成了著名的“哥尼斯堡七桥问题”。

直到1836年，瑞士著名的数学家欧拉才解决了这个问题。当时有人请教了正在俄罗斯的圣彼得堡科学院任职的欧拉，欧拉亲自观察了哥尼斯堡七桥后，认真思考走法。欧拉认为：人们关心的只是一次不重复地走遍这七座桥，而并不关心桥的长短和岛的大小，因此，岛和岸都可以看作一个点，而桥则可以看成是连接这些点的一条线.这样，此问题就转化为一个几何图形能否一笔画出的问题了.什么叫一笔画？是否所有的图都可以一笔画出呢？所谓图的一笔画，指的就是：从图的一点出发，笔不离纸，遍历每条边恰好一次，即每条边都只画一次，不准重复.

二、图与一笔画定理能一笔画出的图首先必须是连通图什么样的连通图可以一笔画出？

1736年，欧拉在圣彼得堡科学院作了一次学术报告。在报告中，他给出并证明了哥尼斯堡七桥问题的结论。后来他又给出了鉴别任一图形能否一笔画出的准则，即欧拉定理。由此开创了数学新分支-----图论，他也成为图论的奠基人。他解决问题的思想方法，为后来的数学新分支——拓扑学的建立也奠定了基础。

图论以图为研究对象。图论中的图指由点和线段（或弧）组成的图形。作为一个图，其图形还必须满足以下条件：（1）每条边都有两个端点（可以重合）作为结点；（2）各条边之间互不相交。

图形中的点叫图的结点，线段（或弧）叫做图的边。

一个图完全由它的结点和边的个数以及它们相互连结的情况来确定，而与边的曲直长短无关。

在一个图G中，若从顶点vi到顶点vj有路径相连，则称vi和vj是连通的。如果图中任意两点都是连通的（任何两点间都有线连接），那么图被称作连通图。否则称为不连通的。图的连通性是图的基本性质。

图中与一个结点相连结的边的条数称为这个结点的度数。度数为偶数的结点叫做偶结点。度数为奇数的结点叫做奇结点。图论的基本概念

一个图可以一笔画的充要条件是：这个图是连通的，并且奇结点的个数等于0或2。欧拉一笔画定理下列图形能一笔画出吗？七桥问题有解吗？一笔画问题进一步思考问题思考：（1）如果能一笔画，什么时候可回到出发点，什么时候又不能？（2）对不能回到起点的一笔画，应把何处作为起点？何处作为终点？（3）若一个图形不能一笔画，那么至少需要几笔画成？试一试：下面的几个图形分别能用几笔画成？若能一笔画能否回到起点？结论（1）凡是由偶结点组成的连通图，一定可以一笔画成。画时可以把任一偶结点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。（2）凡是只有两个奇结点的连通图（其余都为偶结点），一定可以一笔画成。画时必须把一个奇结点为起点，另一个奇结点作终点。多笔画定理与图论的基本定理多笔画定理有2n（n＞1）个奇结点的连通图形，可以用n笔画完，而且至少要n次画完.握手定理设G=<V,E>为任意无向图或有向图，V={v1,v2,…,vn}，|E|=m，则所有顶点的度数和为2m。推论任何图中，奇结点的个数是偶数。三、图的应用（1）例1、

右图是某展览馆的平面图.每个房间都有一扇门通往馆外，每相邻两个房间之间各有一扇门相通.参观者能不能一次无重复地穿过每一扇门？如不能，关闭哪一扇门后就能无重复地穿过每一扇门了？并问出、入口在哪里？练习下图是蓬莱仙境区某处的地貌图，小河上有15座桥.问能不能设计一条路线，一次不重复地走遍所有的桥？三、图的应用（2）中国邮递员问题

一名邮递员每次从邮局出发送信，要走遍他负责投递的范围内的每条街道，完成任务后回到邮局。问他按怎样的路线走，所走的路程最短？——此问题是我国数学家管梅谷先生（山东师范大学数学系教授）在1962年首次提出的，因此在国际上称之为中国邮递员问题．例2、

图1、2表示街道图，图中A是邮局的位置，问邮递员应如何设计他的邮递路线，才能使他所走的路程最短？

最优投递路线→重复的路线最短→所添弧线（虚线）的总长度最短

为保证总路程最短，连虚线的原则是：（1）连线（虚线）不能有重叠线段；（2）在每个圈上，连线长度之和不能超过圈长的一半。最短的一组连线称为最优解。

已知邮递员要投递的街道如图所示，试求最优邮路．练习计算最优邮路方法总结方法1：找出所有奇结点，把奇结点两两配对，在一对奇结点之间连一条虚线当做增添的重复边，奇结点就变成了偶结点，原图变成欧拉图，在此基础上，根据连线原则1、2，不断改进，得到最优。方法2：找出所有奇结点，在图上添线段，使奇点变成偶点。得到所有不同的添法，计算每一种添法对应的总路程，比较得出哪一种添法能使总路程最短，此即最优。上面例题所用的求最优邮路的方法叫“奇偶点图上作业法”．练习

某邮递员每天早晨去邮局取邮件，然后走遍他所投递的街道社区，最后回家，问他按何路线投递，可以使他走的路程最短？数学家欧拉简介

莱昂哈德•欧拉（LeonhardEuler公元1707-1783年）瑞士数学家和物理学家。他被一些数学史学者称为历史上最伟大的两位数学家之一（另一位是卡尔•弗里德里克•高斯。）。

欧拉是科学史上最多产的一位杰出的科学家，他从19岁开始发表论文，直到76岁，他一生共写下了886本书籍和论文，其中在世时发表了700多篇论文。其中分析、代数、数论占40%，几何占18%，物理和力学占28%，天文学占11%，弹道学、航海学、建筑学等占3%，圣彼得堡科学院为了整理他的著作，足足忙碌了四十七年。在他双目失明后的17年间，也没有停止对数学的研究，口述了好几本书和400余篇的论文。有许多公式、定理、解法、函数、方程、常数等是以欧拉名字命名的。欧拉写的数学教材在当时一直被当作标准教程。19世纪伟大的数学家高斯曾说过“研究欧拉的著作永远是了解数学的好方法”。欧拉的贡献从初等几何的欧拉线多面体的欧拉定理立体解析几何的欧拉变换公式四次方程的欧拉解法数论中的欧拉函数微分方程的欧拉方程级数论的欧拉常数变分学的欧拉方程复变函数的欧拉公式......欧拉的贡献几乎每一个数学领域都可以看到欧拉的名字：欧拉在数学上的贡献多得不胜枚举:

"分析学的化身"。“拓扑学的鼻祖”“图论的奠基人”欧拉创立了一个新的数学分支──变分法第一个使用“函数”一词来描述包含各种参数的表达式的人;最先把对数定义为乘方的逆运算；他使三角学成为一门系统的科学，首先用比值来给出三角函数的定义,对整个三角学作了分析性的研究。发现最优美的数学公式欧拉的贡献多面体的欧拉定理

定理：简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间有关系

V+F-E=2

这个公式叫欧拉公式。

V-E+F被称为欧拉示性数，成为拓扑学的基础概念。2302012正二十面体2301220正十二面体21286正八面体21268正六面体2644正四面体V+F-E棱数E面数F顶点数V正多面体

欧拉还是数学符号发明者，欧拉创设了许多数学符号，至今沿用。例如π（1736年）e（1748年）i（1777年）sin和cos（1748年）tg（1753年）△x（1755年）Σ（1755年）f(x)（1734年)欧拉的贡献

欧拉研究了天文学，并与达朗贝尔及拉格朗日一起成为天体力学的创立者。欧拉研究了流体的运动性质，建立了理想流体运动的基本微分方程，成为流体力学的创始人。

欧拉把自己所建立的理想流体运动的基本方程用于人体血液的流动，从而在生物学上添上了他的贡献，又以流体力学、潮汐理论为基础，丰富和发展了船舶设计制造及航海理论。欧拉的贡献欧拉1707年出生在瑞士的巴塞尔城。13岁进巴塞尔大学读书，15岁大学毕业,16岁获得硕士学位。19岁时写了一篇关于船桅的论文，获得巴黎科学院的奖金。1727年5月17日欧拉来到了俄国圣彼得堡科学院从事研究工作。1733年，年仅26岁的欧拉担任了圣彼得堡科学院数学教授。1735年，欧拉三天解决了一个天文学的难题（计算慧星轨道）。但这一年过度的工作使他得了眼病，不幸右眼失明。1741年欧拉应普鲁士彼德烈大帝的邀请，到柏林担任科学院物理数学所所长。1766年，在沙皇喀德林二世的诚恳敦聘下重回圣彼得堡。不料没有多久，左眼视力衰退，最后完全失明。

欧拉的生平1771年圣彼得堡的大火灾殃及欧拉住宅，带病而失明的64岁的欧拉被围困在大火中，虽然他被别人从火海中救了出来，但他的书房和大量研究成果全部化为灰烬了。沉重的打击，没有使欧拉倒下，他要把损失夺回来。在他完全失明之前，还能朦胧地看见东西，他抓紧这最后的时刻，在一块大黑板上疾书他发现的公式，然后口述其内容，由他的学生特别是大儿子A·欧拉（数学家和物理学家）笔录。欧拉完全失明以后，仍然以惊人的毅力与黑暗搏斗，凭着记忆和心