第6节-对数与对数函数

第6节对数与对数函数考纲要求1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用；2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，10，eq\f(1,2)的对数函数的图象；3.体会对数函数是一类重要的函数模型；4.了解指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数.知识梳理1.对数的概念如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.2.对数的性质、运算性质与换底公式(1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1).(2)对数的运算性质如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R).(3)换底公式：logbN＝eq\f(logaN,logab)(a，b均大于零且不等于1，N>0).3.对数函数及其性质(1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).(2)对数函数的图象与性质a>10<a<1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数4.反函数指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称.1.换底公式的两个重要结论(1)logab＝eq\f(1,logba)(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1).(2)logambn＝eq\f(n,m)logab(a>0，且a≠1；b>0；m，n∈R，且m≠0).2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.3.对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，－1))，函数图象只在第一、四象限.诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)log2x2＝2log2x.()(2)函数y＝log2(x＋1)是对数函数.()(3)函数y＝lneq\f(1＋x,1－x)与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同.()(4)当x>1时，若logax>logbx，则a<b.()答案(1)×(2)×(3)√(4)×解析(1)log2x2＝2log2|x|，故(1)错误.(2)形如y＝logax(a＞0，且a≠1)为对数函数，故(2)错误.(4)若0<b<1<a，则当x＞1时，logax＞logbx，故(4)错误.2.log29×log34＋2log510＋log50.25＝()A.0 B.2 C.4 D.6答案D解析原式＝2log23×(2log32)＋log5(102×0.25)＝4＋log525＝4＋2＝6.3.函数y＝loga(x－1)＋2(a>0，且a≠1)的图象恒过的定点是________.答案(2，2)解析当x＝2时，函数y＝loga(x－1)＋2(a>0，且a≠1)的值为2，所以图象恒过定点(2，2).4.(2020·全国Ⅰ卷)设alog34＝2，则4－a＝()A.eq\f(1,16) B.eq\f(1,9) C.eq\f(1,8) D.eq\f(1,6)答案B解析法一因为alog34＝2，所以log34a＝2，则4a＝32＝9，所以4－a＝eq\f(1,4a)＝eq\f(1,9).故选B.法二因为alog34＝2，所以a＝eq\f(2,log34)＝2log43＝log432＝log49，所以4－a＝4－log49＝4log49－1＝9－1＝eq\f(1,9).故选B.5.(2019·天津卷)已知a＝log27，b＝log38，c＝0.30.2，则a，b，c的大小关系为()A.c<b<a B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b答案A解析显然c＝0.30.2∈(0，1).因为log33<log38<log39，所以1<b<2.因为log27>log24＝2，所以a>2.故c<b<a.6.(2021·陕西名校联考)若log2x＋log4y＝1，则()A.x2y＝2 B.x2y＝4 C.xy2＝2 D.xy2＝4答案B解析log2x＋log4y＝log2x＋eq\f(1,2)log2y＝log2x＋log2yeq\s\up6(\f(1,2))＝log2(xyeq\s\up6(\f(1,2)))＝1，所以xyeq\s\up6(\f(1,2))＝2，两边平方得x2y＝4.考点一对数的运算1.设2a＝5b＝m，且eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝2，则m＝()A.eq\r(10)B.10C.20D.100答案A解析由已知，得a＝log2m，b＝log5m，则eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,log2m)＋eq\f(1,log5m)＝logm2＋logm5＝logm10＝2.因此m2＝10，m＝eq\r(10).2.(2019·北京卷)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝eq\f(5,2)lgeq\f(E1,E2)，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1，2).已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为()A.1010.1 B.10.1 C.lg10.1 D.10－10.1答案A解析依题意，m1＝－26.7，m2＝－1.45，代入所给公式得eq\f(5,2)lgeq\f(E1,E2)＝－1.45－(－26.7)＝25.25.所以lgeq\f(E1,E2)＝25.25×eq\f(2,5)＝10.1，即eq\f(E1,E2)＝1010.1.3.计算：eq\f(（1－log63）2＋log62·log618,log64)＝________.答案1解析原式＝eq\f(1－2log63＋（log63）2＋log6\f(6,3)·log6（6×3）,log64)＝eq\f(1－2log63＋（log63）2＋1－（log63）2,log64)＝eq\f(2（1－log63）,2log62)＝eq\f(log66－log63,log62)＝eq\f(log62,log62)＝1.4.已知a>b>1，若logab＋logba＝eq\f(5,2)，ab＝ba，则a＝________，b＝________.答案42解析设logba＝t，则t>1，因为t＋eq\f(1,t)＝eq\f(5,2)，所以t＝2，则a＝b2.又ab＝ba，所以b2b＝bb2，即2b＝b2，又a>b>1，解得b＝2，a＝4.感悟升华1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并.2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.3.ab＝N⇔b＝logaN(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.考点二对数函数的图象及应用【例1】(1)在同一直角坐标系中，函数y＝eq\f(1,ax)，y＝logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))(a>0，且a≠1)的图象可能是()(2)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log2x，x>0，,3x，x≤0，))且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________.答案(1)D(2)(1，＋∞)解析(1)若a>1，则y＝eq\f(1,ax)单调递减，A，B，D不符合，且y＝logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))过定点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，C项不符合，因此0<a<1.当0<a<1时，函数y＝ax的图象过定点(0，1)，在R上单调递减，于是函数y＝eq\f(1,ax)的图象过定点(0，1)，在R上单调递增，函数y＝logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))的图象过定点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞))上单调递减.因此，选项D中的两个图象符合.(2)如图，在同一坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x＋a的图象，其中a表示直线y＝－x＋a在y轴上的截距.由图可知，当a>1时，直线y＝－x＋a与y＝f(x)只有一个交点.感悟升华1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.【训练1】(1)已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，且a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是()A.a>1，c>1 B.a>1，0<c<1C.0<a<1，c>1 D.0<a<1，0<c<1(2)(2021·西安调研)设x1，x2，x3均为实数，且e－x1＝lnx1，e－x2＝ln(x2＋1)，e－x3＝lgx3，则()A.x1<x2<x3 B.x1<x3<x2 C.x2<x3<x1 D.x2<x1<x3答案(1)D(2)D解析(1)由题图可知，函数在定义域内为减函数，所以0<a<1.又当x＝0时，y>0，即logac>0，所以0<c<1.(2)画出函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))eq\s\up12(x)，y＝lnx，y＝ln(x＋1)，y＝lgx的图象，如图所示：由图象直观性，知x2<x1<x3.考点三解决与对数函数性质有关的问题角度1比较对数值大小【例2】(1)(2020·全国Ⅲ卷)设a＝log32，b＝log53，c＝eq\f(2,3)，则()A.a<c<b B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b(2)(2021·衡水中学检测)已知a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(0.2)，b＝logeq\s\do9(\f(1,2))0.2，c＝ab，则a，b，c的大小关系是()A.a<b<c B.c<a<b C.a<c<b D.b<c<a答案(1)A(2)B解析(1)∵3log32＝log38<2，∴log32<eq\f(2,3)，即a<c.∵3log53＝log527>2，∴log53>eq\f(2,3)，即b>c.∴a<c<b.故选A.(2)函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)与y＝logeq\s\do9(\f(1,2))x的图象关于直线y＝x对称，则0<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(0.2)<1<logeq\s\do9(\f(1,2))0.2，∴a<b.又c＝ab＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(0.2log\f(1,2)0.2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(log\s\do9(\f(1,2))0.20.2)＝0.20.2<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(0.2)＝a，所以b>a>c.角度2解简单的对数不等式【例3】已知定义域为R的偶函数f(x)在(－∞，0]上是减函数，且f(1)＝2，则不等式f(log2x)>2的解集为()A.(2，＋∞) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))∪(2，＋∞)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))∪(eq\r(2)，＋∞) D.(eq\r(2)，＋∞)答案B解析因为偶函数f(x)在(－∞，0]上是减函数，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数.又f(1)＝2，所以不等式f(log2x)>2＝f(1)，即|log2x|>1，解得0<x<eq\f(1,2)或x>2.角度3对数型函数性质的综合应用【例4】(2020·合肥调研)已知函数f(x)＝log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2x)＋a)).(1)若函数f(x)是R上的奇函数，求a的值；(2)若函数f(x)的定义域是一切实数，求a的取值范围；(3)若函数f(x)在区间[0，1]上的最大值与最小值的差不小于2，求实数a的取值范围.解(1)若函数f(x)是R上的奇函数，则f(0)＝0，∴log2(1＋a)＝0，∴a＝0.当a＝0时，f(x)＝－x是R上的奇函数.所以a＝0.(2)若函数f(x)的定义域是一切实数，则eq\f(1,2x)＋a>0恒成立.即a>－eq\f(1,2x)恒成立，由于－eq\f(1,2x)∈(－∞，0)，故只要a≥0，则a的取值范围是[0，＋∞).(3)由已知得函数f(x)是减函数，故f(x)在区间[0，1]上的最大值是f(0)＝log2(1＋a)，最小值是f(1)＝log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋a)).由题设得log2(1＋a)－log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋a))≥2，则log2(1＋a)≥log2(4a＋2).∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋a≥4a＋2，,4a＋2>0，))解得－eq\f(1,2)<a≤－eq\f(1,3).故实数a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－\f(1,3))).感悟升华1.比较对数值的大小与解形如logaf(x)>logag(x)的不等式，主要是应用函数的单调性求解，如果a的取值不确定，需要分a>1与0<a<1两种情况讨论.2.与对数函数有关的复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.【训练2】(1)已知a＝log23＋log2eq\r(3)，b＝log29－log2eq\r(3)，c＝log32，则a，b，c的大小关系是()A.a＝b<c B.a＝b>c C.a<b<c D.a>b>c(2)已知函数f(x)＝loga(8－ax)(a>0，且a≠1)，若f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围是________.答案(1)B(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(8,3)))解析(1)因为a＝log23＋log2eq\r(3)＝log23eq\r(3)＝eq\f(3,2)log23>1，b＝log29－log2eq\r(3)＝log23eq\r(3)＝a，c＝log32<log33＝1.所以a＝b>c.(2)当a>1时，f(x)＝loga(8－ax)在[1，2]上是减函数，由f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，则f(x)min＝f(2)＝loga(8－2a)>1，即8－2a>a，且8－2a>0，解得1<a<eq\f(8,3).当0<a<1时，f(x)在[1，2]上是增函数，由f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，知f(x)min＝f(1)＝loga(8－a)>1，且8－2a>0.∴8－a<a且8－2a>0，此时解集为∅.综上可知，实数a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(8,3))).A级基础巩固一、选择题1.设a＝log0.20.3，b＝log20.3，则()A.a＋b<ab<0 B.ab<a＋b<0C.a＋b<0<ab D.ab<0<a＋b答案B解析由题设，得eq\f(1,a)＝log0.30.2>0，eq\f(1,b)＝log0.32<0.∴0<eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝log0.30.4<1，即0<eq\f(a＋b,ab)<1.又a>0，b<0，故ab<a＋b<0.2.(2021·濮阳模拟)已知函数f(x)＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(4,3x)＋m))的值域是全体实数，则实数m的取值范围是()A.(－4，＋∞) B.[－4，＋∞)C.(－∞，－4) D.(－∞，－4]答案D解析由题意可知3x＋eq\f(4,3x)＋m能取遍所有正实数.又3x＋eq\f(4,3x)＋m≥m＋4，所以m＋4≤0，即m≤－4.∴实数m的取值范围为(－∞，－4].3.已知lga＋lgb＝0，则函数f(x)＝a－x与函数g(x)＝logbx的图象可能是()答案C解析由lga＋lgb＝0，得ab＝1.∴f(x)＝a－x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)))eq\s\up12(－x)＝bx，因此f(x)＝bx与g(x)＝logbx单调性相同.A，B，D中的函数单调性相反，只有C的函数单调性相同.4.若函数f(x)＝|x|＋x3，则f(lg2)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lg\f(1,2)))＋f(lg5)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lg\f(1,5)))＝()A.2 B.4 C.6 D.8答案A解析由于f(x)＝|x|＋x3，得f(－x)＋f(x)＝2|x|.又lgeq\f(1,2)＝－lg2，lgeq\f(1,5)＝－lg5.所以原式＝2|lg2|＋2|lg5|＝2(lg2＋lg5)＝2.5.已知a＝log3eq\f(7,2)，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(\f(1,3))，c＝logeq\f(1,3)eq\f(1,5)，则a，b，c的大小关系为()A.a>b>c B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b答案D解析logeq\f(1,3)eq\f(1,5)＝log3－15－1＝log35，因为函数y＝log3x在(0，＋∞)上为增函数，所以log35>log3eq\f(7,2)>log33＝1，因为函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(x)在R上为减函数，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(\f(1,3))<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(0)＝1，故c>a>b.6.若函数f(x)＝logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(3,2)x))(a>0，且a≠1)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))内恒有f(x)>0，则f(x)的单调递增区间为()A.(0，＋∞) B.(2，＋∞) C.(1，＋∞) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))答案A解析令M＝x2＋eq\f(3,2)x，当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))时，M∈(1，＋∞)，恒有f(x)>0，所以a>1，所以函数y＝logaM为增函数，又M＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,4)))eq\s\up12(2)－eq\f(9,16)，因为M的单调递增区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)，＋∞)).又x2＋eq\f(3,2)x>0，所以x>0或x<－eq\f(3,2)，所以函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞).二、填空题7.若log43＝mlog23，则logeq\r(2)m＝________.答案－2解析∵log43＝eq\f(1,2)log23，∴m＝eq\f(1,2)，∴logeq\r(2)m＝－2.8.(2021·济南一中检测)已知函数y＝loga(2x－3)＋2(a>0且a≠1)的图象恒过定点A，若点A也在函数f(x)＝3x＋b的图象上，则b＝________.答案－7解析令2x－3＝1，得x＝2，∴定点为A(2，2)，将定点A的坐标代入函数f(x)中，得2＝32＋b，解得b＝－7.9.设函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(21－x，x≤1，,1－log2x，x>1，))则满足f(x)≤2的x的取值范围是________.答案[0，＋∞)解析当x≤1时，由21－x≤2，解得x≥0，所以0≤x≤1；当x>1时，由1－log2x≤2，解得x≥eq\f(1,2)，所以x>1.综上可知，x≥0.三、解答题10.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝loga(x＋1)(a>0，且a≠1).(1)求函数f(x)的解析式；(2)若－1<f(1)<1，求实数a的取值范围.解(1)当x<0时，－x>0，由题意知f(－x)＝loga(－x＋1)，又f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(－x)＝f(x).所以当x<0时，f(x)＝loga(－x＋1)，所以函数f(x)的解析式为f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(loga（x＋1），x≥0，,loga（－x＋1），x<0.))(2)因为－1<f(1)<1，所以－1<loga2<1，所以logaeq\f(1,a)<loga2<logaa.①当a>1时，原不等式等价于eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)<2，,a>2，))解得a>2；②当0<a<1时，原不等式等价于eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)>2，,a<2，))解得0<a<eq\f(1,2).综上，实数a的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))∪(2，＋∞).11.已知函数f(x)＝log2eq\f(1＋ax,x－1)(a为常数)是奇函数.(1)求a的值与函数f(x)的定义域；(2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋log2(x－1)>m恒成立，求实数m的取值范围.解(1)因为函数f(x)＝log2eq\f(1＋ax,x－1)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以log2eq\f(1－ax,－x－1)＝－log2eq\f(1＋ax,x－1)，即log2eq\f(ax－1,x＋1)＝log2eq\f(x－1,1＋ax)，所以a＝1，f(x)＝log2eq\f(1＋x,x－1)，令eq\f(1＋x,x－1)>0，解得x<－1或x>1，所以函数的定义域为{x|x<－1或x>1}.(2)f(x)＋log2(x－1)＝log2(1＋x)，当x>1时，x＋1>2，所以log2(1＋x)>log22＝1.因为x∈(1，＋∞)时，f(x)＋log2(x－1)>m恒成立，所以m≤1，所以m的取值范围是(－∞，1].B级能力提升12.(2021·西安调研)设函数f(x)的定义域为D，若满足：①f(x)在D内是单调增函数；②存在[m，n]⊆D(n>m)，使得f(x)在[m，n]上的值域为[m，n]，那么就称y＝f(x)是定义域为D的“成功函数”.若函数g(x