2023届高考数学特训营第1节-导数的概念及其运算

第三单元第1节导数的概念及其运算2023届1《高考特训营》·数学0102知识特训能力特训01知识特训知识必记拓展链接对点训练

2．导数的几何意义函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝__________．[注意]

曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，斜率为k＝f′(x0)的切线，是唯一的一条切线．f′(x0)

0αxα－1

cosx

－sinx

exaxln

a

4.导数的运算法则若f′(x)，g′(x)存在，则有(1)[f(x)±g(x)]′＝____________；(2)[f(x)•g(x)]′＝_____________________；f′(x)±g′(x)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)5．复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝____________．[注意]

要分清每一步的求导是哪个变量对哪个变量的求导，不能混淆，常出现如下错误：(cos2x)′＝－sin2x，实际上应是(cos2x)′＝－2sin2x.yu′•ux′1．[知识拓展]微提醒，大作用(1)f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，且(f(x0))′＝0.(3)曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点．(4)函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．2．[学科融合]导数的物理意义函数s＝s(t)在点t0处的导数s′(t0)是物体在t0时刻的瞬时速度v，即v＝s′(t0)，v＝v(t)在点t0处的导数v′(t0)是物体在t0的瞬时加速度a，即a＝v′(t0)．3．[思想方法]记住结论，巧运算奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．如：观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由归纳推理可得，若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝________.解：偶函数的导函数为奇函数，因此当f(x)是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g(－x)＝－g(x)．解：据归纳猜想可知(2πr4)′＝8πr3，所以四维测度W＝2πr4.1．[易错诊断]函数f(x)＝x2在区间[1，2]上的平均变化率为______，在x＝2处的导数为______．答案：3

4【易错点拨】对导数概念的理解不清致误．2．[教材改编]若f(x)＝x•ex，则f′(1)＝________．答案：2e解析：∵f′(x)＝ex＋xex，∴f′(1)＝2e.3．[模拟演练](2021·四川高三零模)曲线y＝f(x)在x＝1处的切线如图所示，则f′(1)－f(1)＝(

)

A．0 B．2C．－2 D．－1C所以曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝x＋2，所以f′(1)＝1，f(1)＝1＋2＝3，故f′(1)－f(1)＝1－3＝－2.故选C.答案：5x－y＋2＝002能力特训特训点1特训点2

特训点1导数的计算【自主冲关类】ABC

2．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，f(x)＝2x2－3xf′(1)＋lnx，则f(1)＝________．[锦囊·妙法]导数运算的葵花宝典(1)求导之前，应利用代数运算、三角恒等式等对函数进行化简，然后求导，尽量避免不必要的商的求导，这样可以减少运算量，提高运算速度、减少差错．(2)①若函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导．②复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时可进行换元．考向1求切线方程典例1

(2020·新课标Ⅰ卷)函数f(x)＝x4－2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为(

)A．y＝－2x－1 B．y＝－2x＋1C．y＝2x－3 D．y＝2x＋1特训点2导数的几何意义【多维考向类】B解析：由f(x)＝x4－2x3，得f′(x)＝4x3－6x2，∴f′(1)＝4－6＝－2，又f(1)＝1－2＝－1，∴函数f(x)＝x4－2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y－(－1)＝－2(x－1)，即y＝－2x＋1.故选B.考向2求参数范围典例2

(2022·四川省内江市月考)若函数f(x)＝lnx＋2x2－ax的图象上存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是________．答案：[2，＋∞)解析：直线2x－y＝0的斜率k＝2，又曲线f(x)上存在与直线2x－y＝0平行的切线，

利用导数的几何意义求参数的基本方法：利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围．考向3切线问题典例3

(2021·新高考Ⅰ卷)若过点(a，b)可以作曲线y＝ex的两条切线，则(

)A．eb<a B．ea<bC．0<a<eb D．0<b<ea[解题指导]画出函数的图象→判断点(a，b)与函数图象的位置关系→确定选项．答案：D解析：函数y＝ex是增函数，y′＝ex>0恒成立，函数的图象如图，y>0，即取得坐标在x轴上方，如果点(a，b)在x轴下方，连线的斜率