2023届高考数学特训营-第1节-平面向量的概念及线性运算

第1节平面向量的概念及线性运算A级(基础应用练)1.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝()A.eq\o(CD,\s\up6(→)) B．eq\o(CB,\s\up6(→))C.eq\o(AD,\s\up6(→)) D．eq\o(DC,\s\up6(→))答案：D解析：eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，故选D.2．(2022•湖北月考)已知a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则下列说法正确的是()A．a＋b＝0B．a＝bC．a与b共线反向D．存在正实数λ，使a＝λb答案：D解析：因为a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，所以a与b共线同向，故D正确．3．(2022•北京模拟)设m，n为非零向量，则“m•n>0”是“存在整数λ，使得m＝λn”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案：D解析：因为m，n为非零向量，设m，n的夹角为θ，所以cosθ＝eq\f(m·n,|m||n|)，若m•n>0，则cosθ>0，θ是0或锐角，而当θ是锐角时，m＝λn不成立，即“m•n>0”⇏“存在整数λ，使得m＝λn”；若有“存在整数λ，使得m＝λn”，取λ∈Z，λ≤0并且m＝λn，则m•n＝λn•n＝λn2≤0，即m•n>0不成立，所以“存在整数λ，使得m＝λn”⇏“m•n>0”．综上得“m•n>0”是“存在整数λ，使得m＝λn”的既不充分也不必要条件．故选D.4．(2022•宜宾市月考)在£ABCD中，若|eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))|，则必有()A．£ABCD为菱形B．£ABCD为矩形C．£ABCD为正方形D．以上皆错答案：B解析：∵eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，又∵|eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))|，∴|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|，∴BD＝AC，∴£ABCD为矩形，故选B.5．(2022•四川成都市高三三模)已知a，b是两个不共线的非零向量，若(2a＋3b)∥(3a＋λb)，则实数λ＝()A.eq\f(9,2) B．－2C．2 D．－eq\f(9,2)答案：A解析：因为(2a＋3b)∥(3a＋λb)，所以存在t∈R，使得2a＋3b＝t(3a＋λb)，所以(2－3t)a＝(tλ－3)b，又因为a，b是两个不共线的非零向量，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2－3t＝0,tλ－3＝0))，解得λ＝eq\f(9,2)，故选A.6.(2022•江西南昌经开区高三模拟)过△ABC内部一点M任作一条直线EF，AD⊥EF于点D，BE⊥EF于点E，CF⊥EF于点F，都有eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝0，则点M是△ABC的()A．三条高的交点B．三条中线的交点C．三边中垂线的交点D．三个内角平分线的交点答案：B解析：当直线EF经过C点时，eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝0，即eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝0，于是|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|eq\o(BE,\s\up6(→))|，EF是AB边上的中线；同理，当EF经过A点时，EF是BC边上的中线；当EF经过B点时，EF是AC边上的中线．因此，点M是△ABC的三条中线的交点，故选B.7．(2022•辽宁省庄河市期中)有下列说法，其中正确的说法为()A．若a∥b，b∥c，则a∥cB．若2eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋3eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，S△AOC，S△ABC分别表示△AOC，△ABC的面积，则S△AOC∶S△ABC＝1∶6C．两个非零向量a，b，若|a－b|＝|a|＋|b|，则a与b共线且同向D．若a∥b，则存在唯一实数λ使得a＝λb答案：B解析：A选项错误，例如b＝0，推不出a∥c；B选项正确，设AC的中点为M，BC的中点为D，因为2eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋3eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，所以2×2eq\o(OM,\s\up6(→))＋2eq\o(OD,\s\up6(→))＝0，即2eq\o(OM,\s\up6(→))＝－eq\o(OD,\s\up6(→))，所以O是MD的三等分点，可知点O到AC的距离等于点D到AC的距离的eq\f(1,3)，而点B到AC的距离等于点D到AC的距离的2倍，故可知点O到AC的距离等于点B到AC的距离的eq\f(1,6)，根据三角形面积公式可知正确；C选项错误，两边平方可得－2a•b＝2|a||b|，所以cos〈a，b〉＝－1，即夹角为π，两向量反向，结论不正确；D选项错误，例如b＝0.故选B.8．(2022•山东菏泽牡丹区高三月考)已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且eq\o(BC,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b，给出下列命题：①eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a－b；②eq\o(BE,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,2)b；③eq\o(CF,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b；④eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝0.其中所有正确的命题有________．答案：②③④解析：eq\o(BC,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a－b，故①错误；eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,2)b，故②正确；eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(－a＋b)＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b，故③正确；eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝－b－eq\f(1,2)a＋a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)a＝0，故④正确．所以正确的命题序号为②③④.9．(2022•北京顺义高三一模)设向量e1，e2是两个不共线的向量，已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝2e1－e2，eq\o(AC,\s\up6(→))＝e1＋3e2，eq\o(BD,\s\up6(→))＝2e1－ke2，且B，C，D三点共线，则eq\o(BC,\s\up6(→))＝________(用e1，e2表示)；实数k＝________．答案：－e1＋4e28解析：由向量减法法则得eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝－e1＋4e2.由于B，C，D三点共线，所以eq\o(BD,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))，即2e1－ke2＝λ(－e1＋4e2)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－λ＝2,－k＝4λ))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝－2,k＝8)).10．(2021•河南八市联考改编)在等腰梯形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))，点E是线段BC的中点，若eq\o(AE,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AD,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝________．答案：eq\f(5,4)解析：取AB的中点F，连接CF，则由题意可得CF∥AD，且CF＝AD.因为eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(FC,\s\up6(→))－eq\o(FB,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))，又eq\o(AE,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AD,\s\up6(→))，所以λ＝eq\f(3,4)，μ＝eq\f(1,2)，则λ＋μ＝eq\f(5,4).B级(综合创新练)11．(多选题)(2022•山东省高三段考)若点G是△ABC的重心，BC边的中点为D，则下列结论正确的是()A．G是△ABC的三条中线的交点B.eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝0C.eq\o(AG,\s\up6(→))＝2eq\o(GD,\s\up6(→))D.eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\o(GD,\s\up6(→))答案：ABC解析：对于A，△ABC的中线的交点就是重心，所以A正确；对于B，根据平行四边形法则可知eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝2eq\o(GD,\s\up6(→))，因为点G是△ABC的重心，所以eq\o(GA,\s\up6(→))＝－2eq\o(GD,\s\up6(→))，所以eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝0，所以B正确；对于D，综上所述可知D错误．故选ABC.12．(多选题)设M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是()A．若eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，则M是边BC的中点B．若eq\o(AM,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))，则点M在边BC的延长线上C．若eq\o(AM,\s\up6(→))＝－eq\o(BM,\s\up6(→))－eq\o(CM,\s\up6(→))，则点M是△ABC的重心D．若eq\o(AM,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，且x＋y＝eq\f(1,2)，则△MBC的面积是△ABC面积的eq\f(1,2)答案：ACD解析：若eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，则M是边BC的中点，故A正确；若eq\o(AM,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))，即有eq\o(AM,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))，即eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))，则点M在边CB的延长线上，故B错误；若eq\o(AM,\s\up6(→))＝－eq\o(BM,\s\up6(→))－eq\o(CM,\s\up6(→))，即eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→))＋eq\o(CM,\s\up6(→))＝0，则点M是△ABC的重心，故C正确；如图，eq\o(AM,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，且x＋y＝eq\f(1,2)，可得2eq\o(AM,\s\up6(→))＝2xeq\o(AB,\s\up6(→))＋2yeq\o(AC,\s\up6(→))，设eq\o(AN,\s\up6(→))＝2eq\o(AM,\s\up6(→))，则M为AN的中点，则△MBC的面积是△ABC面积的eq\f(1,2)，故D正确．故选ACD.13．已知非零向量a，b满足|a|＝eq\r(7)＋1，|b|＝eq\r(7)－1，且|a－b|＝4，则|a＋b|＝________．答案：4解析：如图，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则eq\o(BA,\s\up6(→))＝a－b.以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则eq\o(OC,\s\up6(→))＝a＋b.由于(eq\r(7)＋1)2＋(eq\r(7)－1)2＝42，故|eq\o(OA,\s\up6(→))|2＋|eq\o(OB,\s\up6(→))|2＝|eq\o(BA,\s\up6(→))|2.所以△OAB是以∠AOB为直角的直角三角形，从而OA⊥OB，所以£OACB为矩形，根据矩形的对角线相等有|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝|eq\o(BA,\s\up6(→))|＝4，即|a＋b|＝4.14．(2022•杭州市高三月考)在£ABCD中，对角线AC与BD交于点O，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))，则实数λ＝________．若eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BD,\s\up6(→))，且eq\o(AE,\s\up6(→))＝teq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AD,\s\up6(→))，则实数t＝________．答案：－2eq\f(2,3)解析：eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＝－2eq\o(OA,\s\up6(→))，故λ＝－2.eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq