2020北京怀柔高二(上)期末数学含答案

1/92020北京怀柔高二（上）期末数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）抛物线y2＝4x的焦点坐标为（）A．（0，1） B．（1，0） C．（2，0） D．（0，2）2．（5分）如果a＜b＜0，那么下面一定成立的是（）A．a﹣c＞b﹣c B．ac＜bc C．a2＞b2 D．＜3．（5分）双曲线﹣y2＝1的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±3x D．y＝±x4．（5分）过点（﹣1，1）的抛物线的标准方程为（）A．y2＝x B．y2＝﹣x C．x2＝y D．y2＝﹣x或x2＝y5．（5分）已知数列{an}为等差数列，则下面不一定成立的是（）A．若a2＞a1，则a3＞a1 B．若a2＞a1，则a3＞a2 C．若a3＞a1，则a2＞a1 D．若a2＞a1，则a1+a2＞a16．（5分）已知椭圆与双曲线﹣＝1的焦点相同，且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为10，那么椭圆的离心率等于（）A． B． C． D．7．（5分）若＝（1，1，﹣2）是直线l的方向向量，＝（﹣1，3，0）是平面α的法向量，则直线l与平面α的位置关系是（）A．直线l在平面α内 B．平行 C．相交但不垂直 D．垂直8．（5分）已知m＝（a＞0），n＝x+1（x＜0），则m、n之间的大小关系是（）A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．m≤n二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．9．（5分）不等式（x﹣1）（x﹣2）＜0的解集是．10．（5分）双曲线﹣y2＝1的实轴长为，离心率为．11．（5分）若m，n均为正数，且1是m，n的等差中项，则mn的最大值为．12．（5分）在数列1，，，，…，，…中，是它的第项．13．（5分）已知平面α的一个法向量是＝（1，﹣1，2），且点A（0，3，1）在平面α上，若P（x，y，z）是平面α上任意一点，则向量＝，点P的坐标满足的方程是．14．（5分）在平面直角坐标系中，曲线C是由到两个定点A（1，0）和点B（﹣1，0）的距离之积等于的所有点组成的．对于曲线C，有下列四个结论：①曲线C是轴对称图形；②曲线C是中心对称图形；③曲线C上所有的点都在单位圆x2+y2＝1内；其中，所有正确结论的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知等差数列{an}满足a1+a2＝10，S3＝18．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）设等比数列{bn}满足b2＝a3，b3＝a7，问：b5与数列{an}的第几项相等？16．（13分）在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，AD⊥AB，PA＝AD＝2，AB＝BC＝1，Q为PD中点．（Ⅰ）求证：PD⊥BQ；（Ⅱ）求异面直线PC与BQ所成角的余弦值．17．（13分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的右焦点F（，0），且点A（2，0）在椭圆上．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过点F且斜率为1的直线与椭圆C相交于M、N两点，求△OMN的面积．

18．（13分）已知数列{an}满足a1＝1，an+1＝an+2，数列{bn}的前n项和为Sn，且Sn＝2﹣bn．（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；（Ⅱ）设∁n＝an+bn，求数列{∁n}的前n项和Tn．19．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝CC1＝2，点D，E，F分别为棱A1C1，B1C1，BB1的中点．（Ⅰ）求证：AC1∥平面DEF；（Ⅱ）求二面角C1﹣AC﹣B1的大小；（Ⅲ）在线段AA1上是否存在一点P，使得直线DP与平面ACB1所成的角为30°？如果存在，求出线段AP的长；如果不存在，说明理由．20．（14分）已知椭圆C：x2+2y2＝4．（1）求椭圆C的标准方程和离心率；（2）是否存在过点P（0，3）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且满足＝2．若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

2020北京怀柔高二（上）期末数学参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．【分析】直接利用抛物线方程求解焦点坐标即可．【解答】解：抛物线y2＝4x的焦点坐标为（1，0）．故选：B．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查．2．【分析】根据a＜b＜0及不等式的性质即可判断每个选项的正误，从而找出正确的选项．【解答】解：∵a＜b＜0，∴a﹣c＜b﹣c，∴A错误；∵c不确定，∴ac与bc的大小不等确定，∴B错误；a2＞b2正确，∴C正确；，∴D错误．故选：C．【点评】本题考查了不等式的性质，考查了计算能力，属于基础题．3．【分析】由双曲线方程求得a，b的值，则渐近线方程可求．【解答】解：由双曲线﹣y2＝1，得a2＝9，b2＝1，即a＝3，b＝1．∴双曲线﹣y2＝1的渐近线方程为y＝．故选：A．【点评】本题考查双曲线的简单性质，是基础题．4．【分析】由题意设出抛物线方程为y2＝ax或x2＝ay，结合抛物线过点（﹣1，1）分类求得a的值得答案．【解答】解：由题意可设抛物线方程为y2＝ax或x2＝ay，∵抛物线过点（﹣1，1），∴当抛物线方程为y2＝ax时，得a＝﹣1；当抛物线方程为x2＝ay时，得a＝1．∴抛物线的标准方程是y2＝﹣x或x2＝y．故选：D．【点评】本题考查抛物线标准方程的求法，考查了分类讨论的数学思想方法，是中档题．5．【分析】利用等差数列的单调性即可判断出结论．【解答】解：利用等差数列的单调性可得：若a2＞a1，则a1+a2＞a1；例如a1＜0时不成立．故选：D．【点评】本题考查了等差数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．【分析】求得双曲线的焦点，可得椭圆的c＝4，再由椭圆的定义可得a＝5，运用离心率公式计算即可得到．【解答】解：双曲线﹣＝1的焦点为（，0），即为（±4，0），即有椭圆的c＝4，由椭圆的定义可得2a＝10，可得a＝5，则椭圆的离心率为e＝＝．故选：B．【点评】本题考查双曲线和椭圆的定义、方程和性质，主要考查离心率的求法，运用定义和离心率公式是解题的关键．7．【分析】先判断与是否共线或垂直，即可得出结论．【解答】解：由不存在实数使得＝k成立，因此l与α不垂直．由•＝2≠0，可得直线l与平面α不平行．因此直线l与平面α的位置关系是相交但不垂直．故选：C．【点评】本题考查了向量共线定理、数量积运算性质、线面位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8．【分析】利用基本不等式求出m的最小值，一次函数的性质判断n的最大值，然后比较大小即可．【解答】解：因为a＞0，∴m＝＝a+﹣1≥2﹣1＝1当且仅当a＝1时去等号，∵x＜0，∴n＝x+1＜1；∴m＞n；故选：A．【点评】本题考查基本不等式的应用，函数的单调性的应用，考查基本知识的理解与应用．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．9．【分析】将“不等式（x﹣1）（x﹣2）＜0”转化为“不等式组或”，利用一元一次不等式的解法求解．【解答】解：依题意，不等式化为不等式组或，解得1＜x＜2，故答案为：（1，2）【点评】本题主要考查不等式的解法，关键是将不等式转化为特定的不等式去解．10．【分析】根据方程可得a，b，c即可【解答】解：根据题意得a＝2，b＝1，所以c＝，则2a＝4，e＝＝，故答案为：4，．【点评】本题考查根究双曲线方程求实轴长和离心率，根据条件正确求出a，b，c是关键，属于基础题．11．【分析】根据题意，m+n＝2，利用基本不等式求出即可．【解答】解：若m，n均为正数，且1是m，n的等差中项，则m+n＝2，故mn≤，当且仅当m＝n＝1取等号，故答案为：1．【点评】考查等差中项的定义，还考查了基本不等式的应用，基础题．12．【分析】根据题意，分析可得数列的通项公式an＝，进而解＝可得n的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，数列1，，，，…，，…中，其通项公式an＝，若＝，解可得n＝6，即是它的第6项；故答案为：6【点评】本题考查数列的表示方法，注意数列通项公式的定义，属于基础题．13．【分析】由点A（0，3，1）在平面α上，P（x，y，z）是平面α上任意一点，利用向量坐标运算法则能求出向量，再由平面α的一个法向量是＝（1，﹣1，2），得到＝x﹣（y﹣3）+2z＝0，由此能求出点P的坐标满足的方程．【解答】解：∵平面α的一个法向量是＝（1，﹣1，2），点A（0，3，1）在平面α上，P（x，y，z）是平面α上任意一点，∴向量＝（x，y﹣3，z﹣1），＝x﹣（y﹣3）+2z＝0，∴点P的坐标满足的方程是x﹣y+2z﹣3＝0．故答案为：（x，y﹣3，z﹣1），x﹣y+2z﹣3＝0．【点评】本题考查向量的求法，考查平面向量坐标运算法则、法向量等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14．【分析】由题意曲线C是平面内与两个定点F1（﹣1，0）和F2（1，0）的距离的积等于常数，利用直接法，设动点坐标为（x，y），及可得到动点的轨迹方程，然后由方程特点即可加以判断．【解答】解：由题意设动点坐标为（x，y），利用题意及两点间的距离公式的得：[（x+1）2+y2]•[（x﹣1）2+y2]＝，对于①，方程中的x被﹣x代换，y被﹣y代换，方程不变，故关于y轴对称和x轴对称，故曲线C是轴对称图形，故①正确对于②，把方程中的x被﹣x代换，y被﹣y代换，方程不变，故此曲线关于原点对称，曲线C是中心对称图形，故②正确；对于③y＝0可得，（x+1）2•（x﹣1）2＝，即（x2﹣1）2＝⇒x2＝1±2；当x2＝1+时，x＞1；此时对应的点不在单位圆x2+y2＝1内，故③错误．故答案为：①②．【点评】本题考查了利用直接法求出动点的轨迹方程，考查了运算能力和转化能力，属于中档题目．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．【分析】（I）设等差数列{an}的公差为d，由a1+a2＝10，S3＝18．可得2a1+d＝10，3a1+3d＝18，联立解得：a1，d．即可得出．（Ⅱ）设等比数列{bn}的公比为q，由b2＝a3＝8＝b1q，b3＝a7＝16＝b1q2，联立解得：b1，q．即可得出．【解答】解：（I）设等差数列{an}的公差为d，∵a1+a2＝10，S3＝18．∴2a1+d＝10，3a1+3d＝18，联立解得：a1＝4，d＝2．∴an＝4+2（n﹣1）＝2n+2．（Ⅱ）设等比数列{bn}的公比为q，∵b2＝a3＝8＝b1qb3＝a7＝16＝b1q2，联立解得：b1＝4，q＝2．∴bn＝2n+1．∴b5＝64＝2n+2，解得n＝31．．∴b5与数列{an}的第31项相等．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16．【分析】（I）建立空间直角坐标系，只要证明•＝0，即可证明结论．（Ⅱ）＝（﹣1，﹣1，2），利用向量夹角公式即可得出．【解答】（I）证明：如图所示，A（0，0，0），B（1，0，0），P（0，0，2），D（0，2，0），Q（0，1，1），C（1，1，0），＝（0，2，﹣2），＝（﹣1，1，1），由•＝2﹣2＝0，∴⊥，∴PD⊥BQ；（Ⅱ）解：＝（﹣1，﹣1，2），cos＜，＞＝＝．∴异面直线PC与BQ所成角的余弦值为．【点评】本题考查了异面直线所成的角、向量夹角公式、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．17．【分析】（Ⅰ）由题意可得a，c的值，由a，b，c的关系可得b，进而点到椭圆方程；（Ⅱ）过点F且斜率为1的直线方程设为y＝x﹣，联立椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，可得|MN|，再由点到直线的距离公式可得O到MN的距离d，运用三角形的面积公式，计算可得所求值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得a＝2，c＝，b＝＝1，则椭圆的标准方程为+y2＝1；（Ⅱ）过点F且斜率为1的直线方程设为y＝x﹣，联立椭圆方程可得5x2﹣8x+8＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），可得x1+x2＝，x1x2＝，则|MN|＝•＝•＝，又O到MN的距离为d＝＝，则三角形OMN的面积为d•|MN|＝××＝．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查点到直线的距离公式和三角形的面积求法，考查运算能力和推理能力，属于中档题．18．【分析】（Ⅰ）由题意可得数列{an}是以1为首项，以2为公差的等差数列，数列{bn}是以1为首项，以为公比的等比数列，则数列{an}，{bn}的通项公式可求；（Ⅱ）利用数列的分组求和与等差数列和等比数列的前n项和求解．【解答】解：（Ⅰ）由a1＝1，an+1＝an+2，可得数列{an}是以1为首项，以2为公差的等差数列，则an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；由Sn＝2﹣bn，得b1＝1，当n≥2时，Sn﹣1＝2﹣bn﹣1，可得Sn﹣Sn﹣1＝2﹣bn﹣2+bn﹣1，即（n≥2），则数列{bn}是以1为首项，以为公比的等比数列．∴；（Ⅱ）∁n＝an+bn＝（2n﹣1）+．则Tn＝C1+C2+…+∁n＝＝＝．【点评】本题考查等差数列与等比数列的通项公式，训练了数列的分组求和与等差数列和等比数列的前n项和，是中档题．19．【分析】（I）如图所示，连接A1B，交AB1于点O，连接OD，OB1．利用三角形中位线定理、正方形的性质、平行四边形的判定定理可得：四边形OFED是平行四边形．即OE⊂平面DEF；又OE∥AC1，利用线面平行的判定定理即可证明结论AC1∥平面DEF．（II）利用直接三棱柱的性质可得：C1C⊥AC，可得∠BCC1是二面角C1﹣AC﹣B1的平面角．进而得出结论．（III）如图所示，建立空间直角坐标系．设P（2，0，t），t∈[0，2，设平面ACB1的法向量为＝（x，y，z），则•＝•＝0，可得．利用sin30°＝|cos＜，＞|，向量夹角公式即可得出．【解答】（I）证明：如图所示，连接A1B，交AB1于点O，连接OD，OB1．OFAB，DEA1B1，ABA1B1，∴OFDE．则四边形OFED是平行四边形．∴OE⊂平面DEF；又OE∥AC1，AC1⊄平面DEF；OE⊂平面DEF．∴AC1∥平面DEF．（II）解：∵AC⊥BC，C1C⊥AC，∴∠BCC1是二面角C1﹣AC﹣B1的平面角．由CC1⊥CB，∴∠BCC1＝90°，∴二面角C1﹣AC﹣B1是90°．（III）解：如图所示，建立空间直角坐标系．C（0，0，0），A（2，0，0），B1（0，2，2），D（1，0，2），设P（2，0，t），t∈[0，2].＝（﹣1，0，2﹣t），＝（2，0，0），＝（0，2，2），设平面ACB1的法向量为＝（x，y，z），则•＝•＝0，∴2x＝0，2y+2z＝0，取＝（0，1，﹣1）．∴sin30°＝|cos＜，＞|＝，化为：t2﹣4t+3＝0．t∈[0，2]．解得t＝1．∴P（2，0，1