1.2 直角三角形 同步练习

第一章三角形的证明第二节直角三角形基础过关全练知识点1直角三角形的性质及其判定1.(2022广西贺州中考)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=56°，则∠A的度数为()A.34° B.44° C.124° D.134°2.(2022辽宁营口期中)已知等腰三角形的底边长为10cm，腰长为13cm，则腰上的高为()A.12cm B.6013cm C.12013cm D.3.(2022浙江台州椒江期末)图1是第七届国际数学教育大会(ICME)的会徽，主体图案是由图2的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1=A1A2=A2A3=…=An-1An=1，若OA5·OAn的值是整数，且1≤n≤50，则符合条件的n有() 图1 图2A.1个 B.2个 C.3个 D.4个4.如图，△ABC中，∠ACB=90°，D为斜边AB上一点，连接CD，过点C作射线CE，若∠ECB+∠ACD=180°，连接DE，求证：△CDE是直角三角形.知识点2互逆命题、互逆定理5.下列命题中，逆命题是真命题的是(只填写序号).①在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行；②有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；④如果三角形的三边长a、b、c(c为最长边)满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.6.写出下列各命题的逆命题，并判断真假，指出其中的互逆定理.(1)全等三角形的对应角相等；(2)如果两个数相等，那么它们的绝对值相等；(3)两直线平行，内错角相等；(4)如果两个角都是45°，那么这两个角相等.知识点3斜边、直角边定理7.如图，AD⊥BD，BC⊥AC，BD=AC，求证△ABD≌△BAC.甲：∵AD⊥BD，CB⊥AC，∴∠D=∠C=90°，又∵BD=AC，AB=BA，∴△ABD≌△BAC(SSA)；乙：∵AD⊥BD，CB⊥AC，∴∠D=∠C=90°，在Rt△ABD和Rt△BAC中，AB=BA,BD=AC,∴Rt△ABDA.甲、乙都正确 B.甲正确，乙不正确 C.甲不正确，乙正确 D.甲、乙都不正确8.如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，若用“HL”判定Rt△ABD和Rt△CDB全等，则需要添加的条件是()A.AD=CB B.∠A=∠C C.BD=DB D.AB=CD9.如图1，D是BC中点，AD⊥BC，E是BC上除B，D，C外任意一点，根据“SAS”可证明△ADB≌△ADC，所以AB=AC，∠B=∠C.在△ABE和△ACE中，AB=AC，AE=AE，∠B=∠C，不能证明△ABE≌△ACE，因为这是“SSA”的情形，△ABE是钝角三角形，△ACE是锐角三角形，它们不可能全等.如果两个三角形都是直角三角形，“SSA”就变成“HL”，就可以用来证明两个三角形全等.同样，如果我们知道两个三角形都是钝角三角形或锐角三角形，并且它们满足“SSA”的情形，也是一定能全等的，但必须通过构造直角三角形来间接证明.已知，如图2，AD=AC，∠ADB=∠ACB>90°.(1)根据现有条件直接证明△ABC≌△ABD，可以吗?为什么?(2)求证：∠ABC=∠ABD. 图1 图2能力提升全练10.(2021四川乐山中考)如图，已知直线l1、l2、l3两两相交，且l1⊥l3，若α=50°，则β的度数为()A.120° B.130° C.140° D.150°11.(2022甘肃兰州期中)如图，四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，添加下列条件后仍不能判定△ABC与△ADC全等的是()A.AB=AD B.∠ACB=∠CAD C.AB=BC D.∠BAC=∠DAC12.(2022广东佛山月考)下列命题的逆命题是真命题的是()A.若a=b，则a2=b2 B.等边三角形是锐角三角形C.相等的角是对顶角 D.全等三角形的面积相等13.(2022河南郑州外国语中学期中)已知△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，则下列条件中：①a=4，b=712，c=812；②a2∶b2∶c2=1∶3∶2；③∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5；④∠A=2∠B=2∠C.其中能判定△ABC是直角三角形的有A.1个 B.2个 C.3个 D.4个14.(2022山东青岛胶州期中)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC延长线上一点，点E在AC上，AD=BE.若∠ABE=35°，则∠BAD的度数为()A.35° B.45° C.55° D.65°15.(2022湖北武汉中考)如图，沿AB方向架桥修路，为加快施工进度，在直线AB上湖的另一边的D处同时施工.取∠ABC=150°，BC=1600m，∠BCD=105°，则C，D两点的距离是m.素养探究全练16.(2022云南昆明二模)如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，点D是边BC上的任意一点，以AD为折痕翻折△ABD，使点B落在点E处，连接EC，当△DEC为直角三角形时，BD的长为.

17.小明剪了一些直角三角形纸片，他取出其中的几张进行了如下的操作：操作一：如图①，将Rt△ABC沿某条直线折叠，使斜边的两个端点A与B重合，折痕为DE.如果∠CAD∶∠CDA=1∶2，CD=1cm，试求AB的长；操作二：如图②，小明拿出另一张Rt△ABC纸片，将其折叠，使直角边AC落在斜边AB上，且与AE重合，折痕为AD，已知两直角边AC=6cm，BC=8cm，请你求出CD的长；操作三：如图③，小明又拿出另一张Rt△ABC纸片，将纸片折叠，折痕CD⊥AB于D.请你说明：BC2+AD2=AC2+BD2.图①图②图③

第一章三角形的证明第二节直角三角形答案全解全析基础过关全练1.A∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=56°，∴∠A=90°-∠B=90°-56°=34°.故选A.2.C如图所示，过点A作AD⊥BC于D，过点B作BE⊥AC于E，∵AD⊥BC于D，∴BD=DC，∵BC=10cm，∴BD=DC=5cm，在Rt△ABD中，AD=AB2∵S△ABC=12BC·AD=12AC·∴BE=BC·ADAC=10×1213=12013(cm)，∴腰上的高为120133.C本题以第七届国际数学教育大会的会徽为题材，解决勾股定理问题.由勾股定理得，OA2=12+1OA3=12+(2)2=3，OA4=12+(3)2=4，OA5=5，……，OAn=n，∵OA5·OAn的值是整数，且1≤n≤50，∴5·n=4.证明如图，延长BC到F，则∠ECB+∠ECF=180°，∵∠ECB+∠ACD=180°，∴∠ECF=∠ACD，∵∠ACD+∠DCB=90°，∴∠ECF+∠DCB=90°，∴∠ECD=90°，∴CD⊥CE，∴△CDE是直角三角形.5.答案①②④解析命题①的逆命题：在同一平面内，若两直线平行，则它们垂直于同一条直线，是真命题；命题②的逆命题：等边三角形是有一个角为60°的等腰三角形，是真命题；命题③的逆命题：如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等，是假命题；命题④的逆命题：直角三角形的三边长a，b，c(c为最长边)满足a2+b2=c2，是真命题.故答案为①②④.6.解析(1)逆命题：三个角对应相等的两个三角形全等(假命题).(2)逆命题：如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等(假命题).(3)逆命题：内错角相等，两直线平行(真命题).(4)逆命题：如果两个角相等，那么这两个角都是45°(假命题).(3)的原命题和逆命题都是真命题，它们是互逆定理.7.C甲根据的是“SSA”，不能判定全等.乙正确，故选C.8.A需要添加的条件为AD=CB.理由：在Rt△ABD和Rt△CDB中，AD∴Rt△ABD≌Rt△CDB(HL).故选A.9.解析(1)根据现有条件不能直接证明△ABC≌△ABD，因为边边角不能证明两个三角形全等，需要先构造直角三角形进行证明.(2)证明：如图，作AN⊥BC交BC延长线于N，AM⊥BD交BD延长线于M，∴∠M=∠N=90°，∵∠ADB=∠ACB，∴∠ACN=∠ADM，又∵AD=AC，∴△ACN≌△ADM(AAS)，∴AN=AM，又∵AB=AB，∴Rt△ABN≌Rt△ABM(HL)，∴∠ABC=∠ABD.能力提升全练10.C如图，根据对顶角相等得∠1=α=50°，∵l1⊥l3，∴∠2=90°.∴β=180°-(180°-∠1-∠2)=∠1+∠2=50°+90°=140°，故选C.11.C由题意得∠B=∠D=90°，AC=AC.A.AB=AD，结合已知条件，可用“HL”判定△ABC≌△ADC，不符合题意；B.∠ACB=∠CAD，结合已知条件，可用“AAS”判定△ABC≌△CDA，不符合题意；C.AB=BC，AB，BC为同一个三角形的两条边，不能判定△ABC与△ADC全等，符合题意；D.∠BAC=∠DAC，结合已知条件，可用“AAS”判定△ABC≌△ADC，不符合题意.故选C.12.CA的逆命题是若a2=b2，则a=b.当a，b互为相反数时，平方也相等，故是假命题.B的逆命题是锐角三角形是等边三角形.锐角三角形不一定是等边三角形，故是假命题.C的逆命题是对顶角相等.是真命题.D的逆命题是面积相等的三角形是全等三角形，面积相等的三角形不一定是全等三角形，故是假命题.故选C.13.C①∵a2+b2=2894=1722，c2=8∴a2+b2=c2，∴此三角形是直角三角形；②∵a2∶b2∶c2=1∶3∶2，∴设a2=x，b2=3x，c2=2x，∵x+2x=3x，∴a2+c2=b2，∴此三角形是直角三角形；③∵∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5，∴设∠A=3x，∠B=4x，∠C=5x.∵∠A+∠B+∠C=180°，∴3x+4x+5x=180°，解得x=15°，∴∠A=45°，∠B=60°，∠C=75°，∴此三角形不是直角三角形；④∵∠A=2∠B=2∠C，∴设∠B=∠C=x，∠A=2x，∴x+x+2x=180°，解得x=45°，∴∠A=2x=90°，∴此三角形是直角三角形.故选C.14.C∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠ABC=∠BAC=180°−90°2=45°，∵∠ABE=35°，∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=10°，∵∠ACD=180°-∠ACB=90°，∴△BCE和△ACD为直角三角形，∵在Rt△BCE和Rt△ACD中，BE=AD,BC=AC,∴Rt△BCE≌Rt△ACD(HL)，∴∠CAD=∠EBC=10°，∴∠BAD15.答案8002解析如图所示，过点C作CE⊥BD于点E，则∠BEC=∠DEC=90°，∵∠ABC=150°，∴∠CBD=30°，∴∠BCE=90°-30°=60°，又∵∠BCD=105°，∴∠ECD=45°，∴∠ECD=45°=∠D，∴CE=DE，∵BC=1600m，∴CE=12BC=12∴CD2=CE2+DE2=2CE2，即CD=2CE=8002m.故答案为8002.素养探究全练16.答案3或3解析在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，∴AC=5，根据题意得AE=AB=3，BD=DE，∠AED=∠B=90°，若∠CED=90°，则点E在AC上，如图，∴CE=AC-AE=2，设BD=x，则DE=x，CD=BC-BD=4-x，∵DE2+CE2=CD2，∴x2+22=(4-x)2，解得x=32，即BD=3若∠CDE=90°，则∠BDE=90°，如图，根据题意得∠ADB=∠ADE=12∠BDE=45°∵∠ABC=90°，∴∠BAD=45°，∴BD=AB=3.综上所述，当△DEC为直角三角形时，BD的长为3或32，故答案为3或317.解析操作一：∵∠CAD∶∠CDA=1∶2，∴可设∠CAD=x，∠CDA=2x，∵∠C=90°，∴x+2x=90°，解得x=30°，∴∠CAD=30°.∵CD=1cm，∴AD=2cm，∴AC=AD2−CD2由折叠的性质可得BD=AD，∴∠DBA=∠DAB.∵∠CDA=