2024-2025学年新教材高中数学第五章三角函数5.7三角函数的应用教师用书新人教A版必修第一册

PAGE1-5．7三角函数的应用考点学习目标学科素养三角函数模型的构建了解三角函数是描述周期改变现象的重要函数模型数学抽象、数学建模三角函数模型在实际问题中的应用会用三角函数模型解决简洁的实际问题数学建模、数学运算问题导学预习教材P242－P248，并思索以下问题：1．在简谐运动中，y＝Asin(ωx＋φ)的初相、振幅、周期分别为多少？2．解三角函数应用题有哪四步？1．函数y＝Asin(ωx＋φ)，A＞0，ω＞0中参数的物理意义■名师点拨当A<0或ω<0时，应先用诱导公式将x的系数或三角函数符号前的数化为正数，再确定初相φ.如函数y＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))的初相不是φ＝－eq\f(π,4).2．三角函数模型的建立程序推断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的最大值为A.()(2)函数y＝Asin(ωx－φ)的初相为φ.()(3)“五点法”作函数y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))在一个周期上的简图时，第一个点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，0)).()答案：(1)×(2)×(3)×函数y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,5)))的周期、振幅依次是()A．4π，－2 B．4π，2C．π，2 D．π，－2答案：B函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k的图象如图，则它的振幅A与最小正周期T分别是()A．A＝3，T＝eq\f(5π,6) B．A＝3，T＝eq\f(5π,3)C．A＝eq\f(3,2)，T＝eq\f(5π,6) D．A＝eq\f(3,2)，T＝eq\f(5π,3)答案：D已知某人的血压满意函数解析式f(t)＝24sin(160πt)＋115.其中f(t)为血压(单位：mmHg)，t为时间(单位：min)，则此人每分钟心跳的次数(心跳次数即求频率)为()A．60 B．70C．80 D．90答案：C已知电流强度I(A)随时间t(s)改变的关系是I＝5sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(100πt＋\f(π,3)))，则当t＝eq\f(1,200)s时，电流强度为()A．5A B．2.5AC．2A D．－5A答案：B三角函数在物理中的应用已知弹簧挂着的小球做上下振动，它离开平衡位置(静止时的位置)的距离h(cm)与时间t(s)的函数关系式为h＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2t＋\f(π,4))).(1)求小球起先振动的位置；(2)求小球第一次上升到最高点和下降到最低点时的坐标．【解】(1)令t＝0，得h＝3sineq\f(π,4)＝eq\f(3\r(2),2)，所以起先振动的位置为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3\r(2),2))).(2)由题意知，当h＝3时，t的最小值为eq\f(π,8)，即所求最高点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)，3))；当h＝－3时，t的最小值为eq\f(5π,8)，即所求最低点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,8)，－3)).eq\a\vs4\al()利用三角函数处理物理学问题的策略(1)常涉及的物理学问题有单摆，光波，电流，机械波等，其共同的特点是具有周期性．(2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数学问结合解题．1.如图，从某点给单摆一个作用力后，单摆起先来回摇摆，它离开平衡位置O的距离s(单位：cm)和时间t(单位：s)的函数解析式为s＝5sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2πt＋\f(π,3)))，则单摆摇摆时，从最右边到最左边的时间为()A．2s B．1sC.eq\f(1,2)s D.eq\f(1,4)s解析：选C.由题意，知周期T＝eq\f(2π,2π)＝1(s)．单摆从最右边到最左边的时间是半个周期，为eq\f(1,2)s.2.已知电流I(A)与时间t(s)的关系为I＝Asin(ωt＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al(A＞0，ω＞0，)|φ|＜\f(π,2))).(1)如图所示的是该函数在一个周期内的图象，求该函数的解析式；(2)假如t在随意一段eq\f(1,150)s的时间内，电流I都能取到最大值和最小值，那么ω的最小值是多少？解：(1)由题图知A＝300，周期T＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,180)＋\f(1,900)))＝eq\f(1,75)，所以ω＝eq\f(2π,T)＝150π.又当t＝eq\f(1,180)时，I＝0，即sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(150π·\f(1,180)＋φ))＝0，而|φ|＜eq\f(π,2)，所以φ＝eq\f(π,6).故所求的解析式为I＝300sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(150πt＋\f(π,6))).(2)依题意，周期T≤eq\f(1,150)，即eq\f(2π,ω)≤eq\f(1,150)，所以ω≥300π，故ω的最小值为300π.三角函数在实际生活中的应用如图一个水轮的半径为4m，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮每分钟转动5圈，当水轮上点P从水中出现(图中点P0)时起先计算时间．(1)将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数；(2)求点P第一次到达最高点须要多长时间？【解】(1)如图，建立直角坐标系，设角φeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)<φ<0))是以Ox为始边，OP0为终边的角，OP每秒钟所转过的弧度为eq\f(5×2π,60)＝eq\f(π,6)，又水轮的半径为4m，圆心O距离水面2m，所以z＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)t＋φ))＋2.当t＝0时，z＝0，得sinφ＝－eq\f(1,2)，即φ＝－eq\f(π,6).故所求的函数表达式为z＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)t－\f(π,6)))＋2.(2)令z＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)t－\f(π,6)))＋2＝6，得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)t－\f(π,6)))＝1.取eq\f(π,6)t－eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)，得t＝4.故点P第一次到达最高点须要4s.eq\a\vs4\al()解三角函数应用问题的基本步骤下表所示的是芝加哥1951～1981年的月平均气温().月份123456平均气温21.426.036.048.859.168.6月份789101112平均气温73.071.964.753.539.827.7以月份为x轴，x＝月份－1，平均气温为y轴建立直角坐标系．(1)描出散点图；(2)用正弦曲线去拟合这些数据；(3)这个函数的周期是多少？(4)估计这个正弦曲线的振幅A；(5)下面四个函数模型中哪一个最适合这些数据？①eq\f(y,A)＝coseq\f(πx,6)；②eq\f(y－46,A)＝coseq\f(πx,6)；③eq\f(y－46,－A)＝coseq\f(πx,6)；④eq\f(y－26,A)＝sineq\f(πx,6).解：(1)(2)依据表中数据画出散点图，并用曲线拟合这些数据，如图所示．(3)1月份的平均气温最低，为21.4，7月份的平均气温最高，为73.0，依据散点图知eq\f(T,2)＝7－1＝6，所以T＝12.(4)2A＝最高气温－最低气温＝73.0－21.4＝51.6，所以A＝25.8.(5)因为x＝月份－1，所以不妨取x＝2－1＝1，y＝26.0，代入①，得eq\f(y,A)＝eq\f(26.0,25.8)>1≠coseq\f(π,6)，所以①不适合．代入②，得eq\f(y－46,A)＝eq\f(26.0－46,25.8)<0≠coseq\f(π,6)，所以②不适合，同理，④不适合，所以③最适合．1．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一节某商场的人流量满意函数F(t)＝50＋4sineq\f(t,2)(t≥0)，则在下列哪个时间段内人流量是增加的()A．[0，5] B．[5，10]C．[10，15] D．[15，20]解析：选C.由2kπ－eq\f(π,2)≤eq\f(t,2)≤2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，知函数F(t)的增区间为[4kπ－π，4kπ＋π]，k∈Z.当k＝1时，t∈[3π，5π]，而[10，15]⊆[3π，5π]，故选C.2．一弹簧振子的位移y与时间t的函数关系式为y＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0)，若弹簧振子运动的振幅为3，周期为eq\f(2π,7)，初相为eq\f(π,6)，则这个函数的解析式为________．解析：由题意得A＝3，T＝eq\f(2π,7)，φ＝eq\f(π,6)，则ω＝eq\f(2π,T)＝7，故所求函数的解析式为y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7t＋\f(π,6))).答案：y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7t＋\f(π,6)))3．某动物种群数量1月1日低至700，7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线改变．(1)求出种群数量y关于时间t的函数解析式；(其中t以年初以来经过的月份数为计量单位)(2)画出种群数量y关于时间t改变的草图．解：(1)设表示该曲线的函数为y＝Asin(ωt＋a)＋b(A＞0，ω＞0，|a|＜π)，由已知平均数为800，最高数与最低数差为200，数量改变周期为12个月，故振幅A＝eq\f(200,2)＝100，ω＝eq\f(2π,12)＝eq\f(π,6)，b＝800.又因为7月1日种群数量达到最高，所以eq\f(π,6)×6＋a＝eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)．又因为|a|＜π，所以a＝－eq\f(π,2).故种群数量y关于时间t的函数解析式为y＝800＋100sineq\f(π,6)(t－3)．(2)种群数量关于时间改变的草图如图所示．[A基础达标]1．函数y＝－2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(x,2)))的周期、振幅、初相分别是()A．2π，－2，eq\f(π,4) B．4π，－2，eq\f(π,4)C．2π，2，－eq\f(π,4) D．4π，2，－eq\f(π,4)解析：选D.y＝－2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(x,2)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(π,4)))，所以周期T＝eq\f(2π,\f(1,2))＝4π，振幅A＝2，初相φ＝－eq\f(π,4).2．(2024·河南灵宝试验中学月考)在一个港口，相邻两次高潮发生的时间间隔为12h，低潮时水深9m，高潮时水深15m．每天潮涨潮落时，该港口水的深度y(m)关于时间t(h)的函数图象可以近似地看成函数y＝Asin(ωt＋φ)＋k的图象，其中0≤t≤24，且t＝3时涨潮到一次高潮，则该函数的解析式可以是()A．y＝3sineq\f(π,6)t＋12 B．y＝－3sineq\f(π,6)t＋12C．y＝3sineq\f(π,12)t＋12 D．y＝3coseq\f(π,12)t＋12解析：选A.依据题意，由ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(2π,12)＝eq\f(π,6)，解除选项C，D.当t＝3时，3sineq\f(π,6)t＋12＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)×3))＋12＝15，符合题意，－3sineq\f(π,6)t＋12＝－3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)×3))＋12＝9.不符合题意，故选项B错误．3．(2024·山东聊城期末考试)已知点P是单位圆上的一个质点，它从初始位置P0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(\r(3),2)))起先，按逆时针方向以角速度1rad/s做圆周运动，则点P的纵坐标y关于运动时间t(单位：s)的函数关系式为()A．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(π,3)))，t≥0 B．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(π,6)))，t≥0C．y＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(π,3)))，t≥0 D．y＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(π,6)))，t≥0解析：选A.由题意，知圆心角∠POP0的弧度数为t·1＝t，则∠POx的弧度数为t－eq\f(π,3)，则由随意角的三角函数的定义，知点P的纵坐标y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(π,3)))，t≥0，故选A.4．某港口在一天24小时内的潮水的高度近似满意关系式f(t)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)t－\f(π,6)))，其中f(t)的单位为m，t的单位是h，则12点时潮水的高度是________m.解析：当t＝12时，f(12)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5π－\f(π,6)))＝2sineq\f(5π,6)＝1.答案：15．某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm，秒针匀称地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B重合，若将A，B两点的距离d(cm)表示成时间t(s)的函数，则d＝________，其中t∈[0，60]．解析：秒针1s转eq\f(π,30)弧度，ts后秒针转了eq\f(π,30)t弧度，如图所示，sineq\f(πt,60)＝eq\f(\f(d,2),5)，所以d＝10sineq\f(πt,60).答案：10sineq\f(πt,60)6．如图，某游乐园内摩天轮的中心O点距地面的高度为50m，摩天轮做匀速运动．摩天轮上的一点P自最低点A点起，经过tmin后，点P的高度h＝40sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)t－\f(π,2)))＋50(m)，那么在摩天轮转动一圈的过程中，点P的高度在距地面70m以上的时间将持续____________min.解析：40sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)t－\f(π,2)))＋50>70，即coseq\f(π,6)t<－eq\f(1,2)，从而eq\f(2π,3)<eq\f(πt,6)<eq\f(4π,3)，4<t<8，即持续时间为4min.答案：47．健康成年人的收缩压和舒张压一般为120～140mmHg和60～90mmHg.心脏跳动时，血压在增加或减小．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80mmHg为标准值．记某人的血压满意函数式p(t)＝115＋25sin(160πt)，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，试回答下列问题：(1)求函数p(t)的周期；(2)求此人每分钟心跳的次数；(3)求出此人的血压在血压计上的读数，并与正常值比较．解：(1)T＝eq\f(2π,|ω|)＝eq\f(2π,160π)＝eq\f(1,80)(min)．(2)f＝eq\f(1,T)＝80.(3)p(t)max＝115＋25＝140(mmHg)，p(t)min＝115－25＝90(mmHg)．即收缩压为140mmHg，舒张压为90mmHg.此人的血压在血压计上的读数为140/90mmHg，在正常值范围内．8.如图，弹簧上挂的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的改变曲线是一个三角函数的图象．(1)经过多长时间，小球往复振动一次？(2)求这条曲线的函数解析式；(3)小球在起先振动时，离开平衡位置的位移是多少？解：(1)由题图可知，周期T＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,12)－\f(π,12)))＝π，所以小球往复振动一次所须要的时间为π≈3.14s.(2)可设该曲线的函数解析式为s＝Asin(ωt＋φ)(A＞0，ω＞0，0≤φ＜2π)，t∈[0，＋∞)，从题图中可以看出A＝4，T＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,12)－\f(π,12)))＝π.即eq\f(2π,ω)＝π，即ω＝2，将t＝eq\f(π,12)，s＝4代入解析式，得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋φ))＝1，解得φ＝eq\f(π,3).所以这条曲线的函数解析式为s＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2t＋\f(π,3)))，t∈[0，＋∞)．(3)当t＝0时，s＝4sineq\f(π,3)＝2eq\r(3)(cm)，故小球在起先振动时，离开平衡位置的位移是2eq\r(3)cm.[B实力提升]9．如图所示，一个大风车的半径为8m，每12min旋转一周，最低点离地面2m．若风车翼片从最低点按逆时针方向起先旋转，则该翼片的端点P离地面的距离h(m)与时间t(min)之间的函数关系是()A．h＝8coseq\f(π,6)t＋10 B．h＝－8coseq\f(π,3)t＋10C．h＝－8sineq\f(π,6)t＋10 D．h＝－8coseq\f(π,6)t＋10解析：选D.依题意可设h＝Asin(ωt＋φ)＋B(A>0，ω>0)，易知T＝12，A＝8，B＝10，所以ω＝eq\f(2π,12)＝eq\f(π,6)，则h＝8sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(πt,6)＋φ))＋10，当t＝0时，8sinφ＋10＝2，得sinφ＝－1，可取φ＝－eq\f(π,2)，所以h＝8sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)t－\f(π,2)))＋10＝－8coseq\f(π,6)t＋10.10．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋Acoseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)（x－6）))(A＞0，x＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的月平均气温值为________℃.解析：依题意知，a＝eq\f(28＋18,2)＝23，A＝eq\f(28－18,2)＝5，所以y＝23＋5coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)（x－6）))，当x＝10时，y＝23＋5coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)×4))＝20.5.答案：20.511．某港口一天内的水深y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：时)的函数，下面是水深数据：t(时)03691215182124y(米)10.013.09.97.010.013.010.17.010.0据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦型函数y＝Asinωt＋B(A>0，ω>0)的图象．(1)试依据数据和曲线，求出y＝Asinωt＋B的解析式；(2)一般状况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是平安的，假如某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够平安进港？若该船欲当天平安离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？(忽视离港所用的时间)解：(1)从拟合的曲线可知，函数y＝Asinωt＋B的一个周期为12小时，因此ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(π,6).又因为ymin＝7，ymax＝13，所以A＝eq\f(1,2)(ymax－ymin)＝3，B＝eq\f(1,2)(ymax＋ymin)＝10.所以函数的解析式为y＝3sineq\f(π,6)t＋10(0≤t≤24)．(2)由题意，水深y≥4.5＋7，即y＝3sineq\f(π,6)t＋10≥11.5，t∈[0，24]，所以sineq\f(π,6)t≥eq\f(1,2)，所以eq\f(π,6)t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,6)，2kπ＋\f(5π,6)))，k＝0，1，所以t∈[1，5]或t∈[13，17]．所以该船在1：00至5：00或13：00至17：00能平安进港．若欲于当天平安离港，则船在港内停留的时间最多不能超过16小时．12．为迎接夏季旅游旺季的到来，少林寺单独设置了一个特地支配游客住宿的客栈，寺庙的工作人员发觉为游客打算的一些食物有些月份剩余不少，奢侈很严峻，为了限制经营成本，削减奢侈，就想适时调整投入，为此他们统计每个月入住的游客人数，发觉每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的改变，并且有以下规律：①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人；③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多．(1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系；(2)请问哪几个月份要打算400份以上的食物？解：(1)设该函数为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0，0＜|φ|＜π)，依据条件①，可知这个函数的周期是12；由②可知，f(2)最小，f(8)最大，且f(8)－f(2)＝400，故该函数的振幅为200；由③可知，f(x)在[2，8]上单调递增，且f(2)＝100，所以f(8)＝500.依据上述分析可得，eq\f(2π,ω)＝12，故ω＝eq\f(π,6)，且eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－A＋B＝100，,A＋B＝500，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A＝200，,B＝300.))依据分析可知，当x＝2时，f(x)最小，当x＝8时，f(x)最大，故sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(π,6)＋φ))＝－1，且sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8×\f(π,6)＋φ))＝1.又因为0＜|φ|＜π，故φ＝－eq\f(5π,6).所以入住客栈的游客人数与月份之间的关系式为f(x)＝200sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)x－\f(5π,6)))＋300.(2)由条件可知，200sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)x－\f(5π,6)))＋300≥400，化简，得sineq\b\lc\(\rc\)(\a