2024-2025学年高中数学第3章空间向量与立体几何3.1.2空间向量的基本定理学案新人教B版选修2-1

PAGE1-3．1.2空间向量的基本定理学习目标核心素养1.了解共线向量、共面对量的意义，驾驭它们的表示方法.2.理解共线向量的充要条件和共面对量的充要条件及其推论，并能应用其证明空间向量的共线、共面问题．(重点、难点)3.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念.1.通过共线、共面对量基本定理的学习，培育学生数学抽象、逻辑推理素养.2.借助空间向量分解定理及任一空间向量可用一组基向量线性表示提升数学运算素养.1．共线向量定理与共面对量定理(1)共线向量定理两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在唯一的实数x，使a＝xb.(2)向量共面的条件①向量a平行于平面α的定义已知向量a，作eq\o(OA,\s\up15(→))＝a，假如a的基线OA平行于平面α或在α内，则就说向量a平行于平面α，记作a∥α.②共面对量的定义平行于同一平面的向量，叫做共面对量．③共面对量定理假如两个向量a，b不共线，则向量c与向量a，b共面的充要条件是，存在唯一的一对实数x，y，使c＝xa＋yb.2．空间向量分解定理(1)空间向量分解定理假如三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc.(2)基底假如三个向量a，b，c是三个不共面的向量，则a，b，c的线性组合xa＋yb＋zc能生成全部的空间向量，这时a，b，c叫做空间的一个基底，记作{a，b，c}，其中a，b，c都叫做基向量．表达式xa＋yb＋zc叫做向量a，b，c的线性表示式或线性组合．1．对于空间的随意三个向量a，b,2a－b，它们肯定是()A．共面对量B．共线向量C．不共面对量D．既不共线也不共面的向量[答案]A2．给出的下列几个命题：①向量a，b，c共面，则存在唯一的有序实数对(x，y)，使c＝xa＋yb；②零向量的方向是随意的；③若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb.其中真命题的个数为()A．0B．1C．2D．3B[只有②为真命题．]3．若{a，b，c}是空间的一个基底，且存在实数x，y，z使得xa＋yb＋zc＝0，则x，y，z满意的条件是________．x＝y＝z＝0[若x≠0，则a＝－eq\f(y,x)b＋eq\f(z,x)c，即a与b，c共面．由{a，b，c}是空间向量的一个基底，知a，b，c不共面，故x＝0，同理y＝z＝0.]向量共线问题【例1】如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E在A1D1上，且eq\o(A1E,\s\up15(→))＝2eq\o(ED1,\s\up15(→))，F在对角线A1C上，且eq\o(A1F,\s\up15(→))＝eq\f(2,3)eq\o(FC,\s\up15(→)).求证：E，F，B三点共线．[证明]设eq\o(AB,\s\up15(→))＝a，eq\o(AD,\s\up15(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up15(→))＝c.∵eq\o(A1E,\s\up15(→))＝2eq\o(ED1,\s\up15(→))，eq\o(A1F,\s\up15(→))＝eq\f(2,3)eq\o(FC,\s\up15(→))，∴eq\o(A1E,\s\up15(→))＝eq\f(2,3)eq\o(A1D1,\s\up15(→))，eq\o(A1F,\s\up15(→))＝eq\f(2,5)eq\o(A1C,\s\up15(→)).∴eq\o(A1E,\s\up15(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up15(→))＝eq\f(2,3)b，eq\o(A1F,\s\up15(→))＝eq\f(2,5)(eq\o(AC,\s\up15(→))－eq\o(AA1,\s\up15(→)))＝eq\f(2,5)(eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(AD,\s\up15(→))－eq\o(AA1,\s\up15(→)))＝eq\f(2,5)a＋eq\f(2,5)b－eq\f(2,5)c.∴eq\o(EF,\s\up15(→))＝eq\o(A1F,\s\up15(→))－eq\o(A1E,\s\up15(→))＝eq\f(2,5)a－eq\f(4,15)b－eq\f(2,5)c＝eq\f(2,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(2,3)b－c)).又eq\o(EB,\s\up15(→))＝eq\o(EA1,\s\up15(→))＋eq\o(A1A,\s\up15(→))＋eq\o(AB,\s\up15(→))＝－eq\f(2,3)b－c＋a＝a－eq\f(2,3)b－c，∴eq\o(EF,\s\up15(→))＝eq\f(2,5)eq\o(EB,\s\up15(→)).∴E，F，B三点共线．判定两向量共线就是找寻x使a＝xb(b≠0)成立，为此可结合空间图形并运用空间向量运算法则化简出a＝xb，从而得a∥b.1．如图所示，已知空间四边形ABCD，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是CB、CD上的点，且eq\o(CF,\s\up15(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up15(→))，eq\o(CG,\s\up15(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CD,\s\up15(→)).利用向量法求证四边形EFGH是梯形．[证明]∵E、H分别是边AB、AD的中点，∴eq\o(AE,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up15(→))，eq\o(AH,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up15(→))，eq\o(EH,\s\up15(→))＝eq\o(AH,\s\up15(→))－eq\o(AE,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up15(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up15(→))－eq\o(AB,\s\up15(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(CD,\s\up15(→))－eq\o(CB,\s\up15(→)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)\o(CG,\s\up15(→))－\f(3,2)\o(CF,\s\up15(→))))＝eq\f(3,4)(eq\o(CG,\s\up15(→))－eq\o(CF,\s\up15(→)))＝eq\f(3,4)eq\o(FG,\s\up15(→))，∴eq\o(EH,\s\up15(→))∥eq\o(FG,\s\up15(→))且|eq\o(EH,\s\up15(→))|＝eq\f(3,4)|eq\o(FG,\s\up15(→))|≠|eq\o(FG,\s\up15(→))|，又F不在EH上，∴四边形EFGH是梯形.共面对量定理及应用【例2】对于随意空间四边形ABCD，E、F分别是AB、CD的中点．试证：eq\o(EF,\s\up15(→))与eq\o(BC,\s\up15(→))、eq\o(AD,\s\up15(→))共面．[解]空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，则eq\o(EF,\s\up15(→))＝eq\o(EA,\s\up15(→))＋eq\o(AD,\s\up15(→))＋eq\o(DF,\s\up15(→))，eq\o(EF,\s\up15(→))＝eq\o(EB,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→))＋eq\o(CF,\s\up15(→)).①又E、F分别是AB、CD的中点，故有eq\o(EA,\s\up15(→))＝－eq\o(EB,\s\up15(→))，eq\o(DF,\s\up15(→))＝－eq\o(CF,\s\up15(→))，②将②代入①中，两式相加得2eq\o(EF,\s\up15(→))＝eq\o(AD,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→)).所以eq\o(EF,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up15(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up15(→))，即eq\o(EF,\s\up15(→))与eq\o(BC,\s\up15(→))、eq\o(AD,\s\up15(→))共面．利用向量法证明四点共面，实质上是证明的向量共面问题，解题的关键是娴熟地进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过程中要留意区分向量所在的直线的位置关系与向量的位置关系.2．如图所示，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，连接PA，PB，PC，PD，点E，F，G，H分别是△PAB，△PBC，△PCD，△PDA的重心，分别延长PE，PF，PG，PH，交对边于M，N，Q，R，并顺次连接MN，NQ，QR，RM.应用向量共面定理证明：E，F，G，H四点共面．[证明]∵E，F，G，H分别是所在三角形的重心，∴M，N，Q，R为所在边的中点，顺次连接M，N，Q，R，所得四边形为平行四边形，且有eq\o(PE,\s\up15(→))＝eq\f(2,3)eq\o(PM,\s\up15(→))，eq\o(PF,\s\up15(→))＝eq\f(2,3)eq\o(PN,\s\up15(→))，eq\o(PG,\s\up15(→))＝eq\f(2,3)eq\o(PQ,\s\up15(→))，eq\o(PH,\s\up15(→))＝eq\f(2,3)eq\o(PR,\s\up15(→)).∵MNQR为平行四边形，∴eq\o(EG,\s\up15(→))＝eq\o(PG,\s\up15(→))－eq\o(PE,\s\up15(→))＝eq\f(2,3)eq\o(PQ,\s\up15(→))－eq\f(2,3)eq\o(PM,\s\up15(→))＝eq\f(2,3)eq\o(MQ,\s\up15(→))＝eq\f(2,3)(eq\o(MN,\s\up15(→))＋eq\o(MR,\s\up15(→)))＝eq\f(2,3)(eq\o(PN,\s\up15(→))－eq\o(PM,\s\up15(→)))＋eq\f(2,3)(eq\o(PR,\s\up15(→))－eq\o(PM,\s\up15(→)))＝eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)\o(PF,\s\up15(→))－\f(3,2)\o(PE,\s\up15(→))))＋eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)\o(PH,\s\up15(→))－\f(3,2)\o(PE,\s\up15(→))))＝eq\o(EF,\s\up15(→))＋eq\o(EH,\s\up15(→)).∴由共面对量定理得eq\o(EG,\s\up15(→))，eq\o(EF,\s\up15(→))，eq\o(EH,\s\up15(→))共面，所以E，F，G，H四点共面.基底的推断及应用[探究问题]1．构成空间向量的基底唯一吗？是否共面？[提示]不唯一，不共面．2．怎样理解空间向量基本定理？[提示](1)空间向量基本定理表明，用空间三个不共面已知向量组{a，b，c}可以线性表示出空间随意一个向量，而且表示的结果是唯一的．(2)空间中的基底是不唯一的，空间中随意三个不共面对量均可作为空间向量的基底．(3)拓展：设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组{x，y，z}，使eq\o(OP,\s\up15(→))＝xeq\o(OA,\s\up15(→))＋yeq\o(OB,\s\up15(→))＋zeq\o(OC,\s\up15(→))，当且仅当x＋y＋z＝1时，P，A，B，C四点共面．【例3】(1)若{a，b，c}是空间的一个基底，试推断{a＋b，b＋c，c＋a}能否作为该空间的一个基底．(2)如图，在三棱柱ABC­A′B′C′中，已知eq\o(AA′,\s\up15(→))＝a，eq\o(AB,\s\up15(→))＝b，eq\o(AC,\s\up15(→))＝c，点M，N分别是BC′，B′C′的中点，试用基底{a，b，c}表示向量eq\o(AM,\s\up15(→))，eq\o(AN,\s\up15(→)).[思路探究](1)推断a＋b，b＋c，c＋a是否共面，若不共面，则可作为一个基底，否则，不能作为一个基底．(2)借助图形找寻待求向量与a，b，c的关系，利用向量运算进行分析，直至向量用a，b，c表示出来．[解](1)假设a＋b，b＋c，c＋a共面．则存在实数λ、μ使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，∴a＋b＝λb＋μa＋(λ＋μ)c. ∵{a，b，c}为基底，∴a，b，c不共面．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝μ，,1＝λ，,0＝λ＋μ.))此方程组无解，∴a＋b，b＋c，c＋a不共面．∴{a＋b，b＋c，c＋a}可以作为空间的一个基底．(2)eq\o(AM,\s\up15(→))＝eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BM,\s\up15(→))＝eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC′,\s\up15(→))＝eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BB′,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→)))＝eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BB′,\s\up15(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up15(→))－eq\o(AB,\s\up15(→)))＝b＋eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)(c－b)＝b＋eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)c－eq\f(1,2)b＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c.eq\o(AN,\s\up15(→))＝eq\o(AA′,\s\up15(→))＋eq\o(A′B′,\s\up15(→))＋eq\o(B′N,\s\up15(→))＝eq\o(AA′,\s\up15(→))＋eq\o(A′B′,\s\up15(→))＋eq\f(1,2)eq\o(B′C′,\s\up15(→))＝a＋b＋eq\f(1,2)(eq\o(A′C′,\s\up15(→))－eq\o(A′B′,\s\up15(→)))＝a＋b＋eq\f(1,2)(c－b)＝a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c.1．(变换条件)若把本例3(2)中的eq\o(AA′,\s\up15(→))＝a改为eq\o(AC′,\s\up15(→))＝a，其他条件不变，则结果又是什么？[解]eq\o(AM,\s\up15(→))＝eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BM,\s\up15(→))＝eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC′,\s\up15(→))＝eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AC′,\s\up15(→))－eq\o(AB,\s\up15(→)))＝b＋eq\f(1,2)(a－b)＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b.eq\o(AN,\s\up15(→))＝eq\o(AC′,\s\up15(→))＋eq\o(C′N,\s\up15(→))＝eq\o(AC′,\s\up15(→))＋eq\f(1,2)eq\o(C′B′,\s\up15(→))＝eq\o(AC′,\s\up15(→))－eq\f(1,2)eq\o(B′C′,\s\up15(→))＝eq\o(AC′,\s\up15(→))－eq\f(1,2)(eq\o(A′C′,\s\up15(→))－eq\o(A′B′,\s\up15(→)))＝a－eq\f(1,2)(c－b)＝a＋eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)c.2.(变换条件、变更问法)如图所示，本例3(2)中增加条件“P在线段AA′上，且AP＝2PA′”，试用基底{a，b，c}表示向量eq\o(MP,\s\up15(→)).[解]eq\o(MP,\s\up15(→))＝eq\o(MC′,\s\up15(→))＋eq\o(C′A′,\s\up15(→))＋eq\o(A′P,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC′,\s\up15(→))－eq\o(A′C′,\s\up15(→))－eq\f(1,3)eq\o(AA′,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BB′,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→)))－eq\o(AC,\s\up15(→))－eq\f(1,3)eq\o(AA′,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)[eq\o(AA′,\s\up15(→))＋(eq\o(AC,\s\up15(→))－eq\o(AB,\s\up15(→)))]－eq\o(AC,\s\up15(→))－eq\f(1,3)eq\o(AA′,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)(a＋c－b)－c－eq\f(1,3)a＝eq\f(1,6)a－eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)c.用基底表示向量的步骤1定基底：依据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底.2找目标：用确定的基底或已知基底表示目标向量，须要依据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最终求出结果.(3)下结论：利用空间向量的一个基底{a，b，c}可以表示出空间全部向量．表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量．提示：利用三角形法则或平行四边形法则，把所求向量用已知基向量表示出来．1．给出下列命题：①若{a，b，c}可以作为空间的一个基底，d与c共线，d≠0，则{a，b，d}也可作为空间的基底；②已知向量a∥b，则a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底；③A，B，M，N是空间四点，若eq\o(BA,\s\up15(→))，eq\o(BM,\s\up15(→))，eq\o(BN,\s\up15(→))不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面；④已知向量组{a，b，c}是空间的一个基底，若m＝a＋c，则{a，b，m}也是空间的一个基底．其中正确命题的个数是()A．1B．2C．3D．4D[依据基底的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底，否则就不能构成空间的一个基底．明显②正确，③中由eq\o(BA,\s\up15(→))、eq\o(BM,\s\up15(→))、eq\o(BN,\s\up15(→))共面且过相同点B，故A，B，M，N共面．下面证明①④正确．①假设d与a，b共面，则存在实数λ，μ，使d＝λa＋μb，∵d与c共线，c≠0，∴存在实数k，使d≠kc，∵d≠0，∴k≠0，从而c＝eq\f(λ,k)a＋eq\f(μ,k)b，∴c与a，b共面与条件冲突．∴d与a，b不共面．同理可证④也是正确的．]2．对空间任一点O和不共线三点A、B、C，能得到P，A，B，C四点共面的是()A.eq\o(OP,\s\up15(→))＝eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\o(OB,\s\up15(→))＋eq\o(OC,\s\up15(→))B.eq\o(OP,\s\up15(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up15(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up15(→))C.eq\o(OP,\s\up15(→))＝－eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up15(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up15(→))D．以上皆错B[∵eq\o(OP,\s\up15(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up15(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up15(→))，∴3eq\o(OP,\s\up15(→))＝eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\o(OB,\s\up15(→))＋eq\o(OC,\s\up15(→))，∴eq\o(OP,\s\up15(→))－eq\o(OA,\s\up15(→))＝(eq\o(OB,\s\up15(→))－eq\o(OP,\s\up15(→)))＋(eq\o(OC,\s\up15(→))－eq\o(OP,\s\up15(→)))，∴eq\o(AP,\s\up15(→))＝eq\o(PB,\s\up15(→))＋eq\o(PC,\s\up15(→))，∴eq\o(PA,\s\up15(→))＝－eq\o(PB,\s\up15(→))－eq\o(PC,\s\up15(→))，∴P，A，B，C共面．]3．已知正方体ABCD­A′B′C′D′，点E是A′C′的中点，点F是AE的三等分点，且AF＝eq\f(1,2)EF，则eq