立体图形的直观图+高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

人教2019A版必修

第二册第八章立体几何初步

8.2立体图形的直观图1．掌握斜二测画法画水平设置的平面图形的直观图．2．通过观察和类比，利用斜二测画法画出空间几何体的直观图．教学目标请你说出下面几何体分别是什么几何体？长方体五棱锥圆柱圆锥圆台四棱台这些图形就是空间几何体的直观图问题引入把平面图形画在纸上或黑板上，那很简单。要把立体图形画在纸上或黑板上，实际上是把本来不完全在同一个平面内的点的集合，用同一个平面内的点来表示。这时画在纸上或黑板上的图形，已经不是普通地平面图形，而是立体图形的直观图。立体图形的直观图通常是在平行投影下得到的平面图形。思考：如图，矩形窗户在阳光照射下留在地面上的影子是什么形状？眺望远处成块的农田，矩形的农田在我们眼里又是什么形状？利用平行投影，人们获得的画直观图的方法是斜二测画法。要画出空间几何体的直观图,应先学会水平放置的平面图形的的画法．例如：用斜二测画法画水平放置的正方形的直观图．x..........yo解：①以正方形的中心为原点，平行与边的直线为x轴,y轴建立如图所示的坐标系；②建立∠x’o’y’=45°的坐标系③平行于x、y轴的线段在斜二测坐标系中仍平行于x’、y’轴，但横向长度不变，纵向长度减半.....X’.....y’O’x..........yo斜二测画法探究新知观察以下两幅图，①矩形窗户在阳光照射下留在地面上的影子是什么形状?②眺望远处成块的农田，矩形的农田在我们眼里又是什么形状?上述现象与我们初中学习过“投影”有关。一个物体的投影，不仅与这个物体的形状有关，而且还与投影的方式和物体与投影面的位置关系有关。投影规律：1.平行性不变，但形状、长度、夹角会改变；2.平行直线段或同一直线上的两条线段的比不变；3.在太阳光下，平行于地面的直线在地面上的投影长不变。学习新知观察：三角板在不同光照投影下的投影效果在一束平行光线照射下形成的投影平行投影利用平行投影，人们获得了画直观图的斜二测画法PART平面图形的直观图画法02应用新知练习.如图，用斜二测画法画水平放置的正方形的直观图

应用新知例1.用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图

补充新知画直观图时，除多边形外，还经常会遇到画圆的直观图的问题.生活的经验告诉我们，水平放置的圆看起来非常像椭圆，因此我们一般用椭圆作为圆的直观图.实际画图时常用如图所示的椭圆模板.在立体几何中，还常用正等测画法画水平放置的圆。补充新知PART空间几何体的直观图画法03学习新知用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤

学习新知

画几何体的直观图时，与画平面图形的直观图相比，只是多画一个与𝒙轴、𝒚轴都垂直的𝒛轴，并且使平行于𝒛轴的线段的平行性和长度都不变。例2.已知长方体的长、宽、高分别是3cm，2cm，1.5cm，用斜二测画法画出它的直观图

学习新知

应用新知例3.已知圆柱的底面半径为1𝑐𝑚，侧面母线长3𝑐𝑚，画出它的直观图.

ABo'

ABo'

B'A'应用新知对于圆锥的直观图，一般先画圆锥的底面，再借助于圆锥的轴确定圆锥的顶点，最后画出两侧的两条母线。画球的直观图，一般需要画出球的轮廓线，它是一个圆。同时还经常画出经过球心的截面圆，它们的直观图是椭圆，用以衬托球的立体性。应用新知例4.某简单几何体由上下两部分组成，下部是一个圆柱，上部是一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合.画出这个组合体的直观图.已知圆柱的底面半径为1𝑐𝑚，侧面母线长3𝑐𝑚，画出它的直观图.分析：画组合体的直观图，先要分析它的结构特征，知道其中有哪些简单几何体以及它们的组合方式，然后再画直观图本题中没有尺寸要求，画图时只需选择合适的大小，表达出该几何体的结构特征就可以了。解：如图，先画出圆柱的上下底面，再在圆柱和圆锥共同的轴线上确定圆锥的顶点，最后画出圆柱和圆锥的母线，并标注相关字母，就得到组合体的直观图.PART典型例题分析04典例精析题型一：画水平放置的平面图形的直观图典例精析题型二：画空间几何体的直观图例5.画一个底面边长为2cm，高为3cm的正三棱柱和正三棱锥的直观图。画轴。画底面画侧棱成图yxzy'x'O'y'x'O'典例精析题型三：直观图的还原与计算

典例精析题型三：直观图的还原与计算

题型三：直观图的还原与计算(1)利用平行

：利用在斜坐标轴上的线段、与斜坐标轴平行的线段、平行线段仍然平行的性质等确定原平面图形的形状;(2)注意长度

：根据“横不变、纵减半”的计算法则求出相应线段的长度,再计算面积、周长等直观图的还原技巧

圆的直观图一般不用斜二测画法，因此它们的面积不一定满足此关系.直观图与原图形面积之间的关系例１用斜二测画法画水平放置的六边形的直观图解：（1）在六边形ABCDEF中，取AD所在的直线为x轴，对称轴MN所在直线为y轴，两轴交于点O。画相应的轴和轴，两轴相交于点，使（2）以为中心，在轴上取，在轴上取，以点为中心，画平行与轴，并且等于BC；再以为中心，画平行于轴，并且等于EF。(3)连接，并擦去辅助线轴和轴，便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图。斜二测画法规则：（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于点O.画直观图时,把它们画成对应的轴和轴,两轴相交于O,且使,它们确定的平面表示水平面；（2）已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴或轴的线段；（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半。横同竖半画直观图时，除多边形外，还会遇到画圆的直观图的问题，生活经验告诉我们，水平放置的圆看起来象椭圆，因此一般用椭圆作为圆的直观图，画图时，常用如图椭圆模板。常用的一些空间图形的平面画法例2.已知长方体的长,宽,高分别是3cm,2cm,1.5cm，用斜二测画法画出它的直观图。解：画法：（1）画轴。画x轴，y轴，z轴，三轴交于点O，使(2)画底面.在x轴正半轴上取线段AB,使AB=3cm;在y轴上取线段AD,使AD=1cm.过点B作y轴的平行线过点D作x轴的平行线,设它们的交点为C,则平行四边形ABCD就是长方体的底面ABCD的直观图。(3)画侧棱.在z轴正半轴上取线段AA'，使AA'=1.5cm,过B，C，D各点分别作z轴的平行线,并在这些平行线上分别截取1.5cm长的线段BB',CC',DD'.(4)成图.顺次连接A',B',C',D',并加以整理（去掉辅助线,将被遮挡住的部分改为虚线)就可得到长方体的直观图.例3.已知圆柱的底面半径为1cm.侧面母线长3cm，画出它的直观图。解：（1）画轴。如图，画x轴，y轴，z轴，使AB（2）画下底面。以O为中点，在x轴上取线段AB，使OA=OB=1cm,利用椭圆模板画椭圆，使其经过A，B两点。这个椭圆就是圆柱的下底面。（3）画上底面。在Oz上截取点

，使

=3cm，过点

作平行于Ox的轴

。

类似下底面的做法作出圆柱的上底面。

（4）成图。连接，整理得到圆柱的直观图。圆锥的直观图，一般先画圆锥的底面，再借助于圆锥的轴确定圆锥的顶点，最后画出两侧的两条母线。画球的直观图，一般需要画出球的轮廓线，它是一个圆，同时还经常画出经过球心得截面圆，它们的直观图是椭圆，用以衬托球的立体性。例4.某简单组合体由上下两部分组成，下部是一个圆柱，上部是一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合。画出这个组合体的直观图。解：画法：如图，先画出圆柱的上下底面，再在圆柱和圆锥共同的轴线上确定圆锥的顶点，最后画出圆柱和圆锥的母线，并标注相关字母。C10(1)过点C作CE⊥x轴，垂足为点E，如图①所示，画出对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°，如图②所示．(2)如图②所示，在x′轴上取点