第一篇　专题一　第1讲　力与物体的平衡

第1讲力与物体的平衡目标要求1.会分析物体静态平衡问题，会选择合适的方法处理静态平衡问题。2.会分析动态平衡问题，掌握常见的处理动态平衡问题的方法，并会处理平衡中的临界与极值问题。考点一静态平衡问题1.对物体进行受力分析2.处理平衡问题常用的方法

合成法物体受三个共点力的作用而平衡，则任意两个力的合力一定与第三个力大小相等，方向相反分解法按效果分解：物体受三个共点力的作用而平衡，将某一个力按力的作用效果分解，则其分力和其他两个力分别满足平衡条件正交分解法：物体受到三个或三个以上力的作用时，将物体所受的力分解为相互垂直的两组，每组力都满足平衡条件矢量三角形法对受三个共点力作用而平衡的物体，将力的矢量图平移，使三个力组成一个首尾依次相接的矢量三角形，根据正弦定理、余弦定理或相似三角形等数学知识求解未知力例1(2024·河北卷·5)如图，弹簧测力计下端挂有一质量为0.20kg的光滑均匀球体，球体静止于带有固定挡板的斜面上，斜面倾角为30°，挡板与斜面夹角为60°。若弹簧测力计位于竖直方向，读数为1.0N，g取10m/s2，挡板对球体支持力的大小为()A.33N B.1.C.233N D.2答案A解析对小球受力分析如图所示，由几何关系可得力F与力FN与竖直方向的夹角均为30°，因此将力F和FN正交分解可得FNsin30°=Fsin30°，FNcos30°+Fcos30°+FT=mg解得F=FN=33N，故选A例2(2024·江西鹰潭市校考)如图所示为某同学左手从地面上抓取篮球并离开地面的照片。为简单起见，假设只有大拇指、中指和小拇指对篮球有力的作用，三根手指的抓取点在同一水平面内呈对称分布，且与球心的连线和竖直方向成53°角。已知手指与篮球之间的动摩擦因数为0.9，篮球质量为500g，g取10m/s2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，sin53°=0.8，cos53°=0.6，假设三根手指对篮球的作用力大小相等，则每根手指对篮球的压力至少约为()A.14N B.17N C.19N D.20N答案A解析篮球受七个力的作用，除重力外，其余3组力呈空间对称分布，每一组力中的弹力和摩擦力在竖直方向分力的合力，承担了篮球自身重力的三分之一，对篮球受到的一组力受力分析如图所示由竖直方向受力平衡有Ffsin53°=Fcos53°+13mg，Ff=μF，解得F≈14N，故选A例3(2024·北京市石景山区期末)如图所示，为营造节日气氛，同学们用轻质细线在墙角悬挂彩灯。已知两彩灯质量均为m，OA段细线与竖直方向夹角为37°(sin37°=0.6，cos37°=0.8)，BC段细线保持水平，重力加速度为g。关于三段细线拉力FOA、FAB、FBC，下列表达式正确的是()A.FOA=52mg、FAB=132mg、FBC=B.FOA=103mg、FAB=733mg、FBC=C.FOA=433mg、FAB=213mg、FBCD.FOA=4mg、FAB=13mg、FBC=23mg答案A解析将两彩灯看成整体，受力分析如图所示，根据平衡条件可得FOA=2mgcos37°=FBC=2mgtan37°=32mg，对结点B受力分析，根据共点力平衡可得FAB=FBC2+(mg)一题多变变式1(2024·山东菏泽市期中)如图，有40个质量相等的小球(可视为质点)，将它们用长度相等的轻绳依次连接，再将两端固定在天花板上，静止时，连接天花板的轻绳与水平方向夹角为30°，已知每颗小球的重力均为1N，则第15颗小球与第16颗小球之间轻绳的张力大小为()A.14N B.28N C.35N D.45N答案C解析以左侧20个小球为整体，设每个小球的质量为m，受力分析如图甲所示由共点力的平衡条件可知F=20mgtan30°，解得F=203以16到20这五个球为整体，受力分析如图乙所示根据共点力的平衡条件可得第15颗小球与第16颗小球之间轻绳的张力大小为F1=(5mg)2+F2，解得F1变式2如图所示为相邻铁塔间某根输电线的示意图，C点为该段输电线的最低点，输电线质量分布均匀，关于从A点到C点输电线上张力大小的变化情况，下列说法正确的是()A.一直增大 B.一直减小C.先增大后减小 D.先减小后增大答案B解析由于从A点到C点，张力的水平分量保持不变，而输电线与水平方向的夹角逐渐减小，因此张力减小，故选B。例4(2022·湖南卷·3)如图(a)，直导线MN被两等长且平行的绝缘轻绳悬挂于水平轴OO'上，其所在区域存在方向垂直指向OO'的磁场，与OO'距离相等位置的磁感应强度大小相等且不随时间变化，其截面图如图(b)所示。导线通以电流I，静止后，悬线偏离竖直方向的夹角为θ。下列说法正确的是()A.当导线静止在图(a)右侧位置时，导线中电流方向由N指向MB.电流I增大，静止后，导线对悬线的拉力不变C.tanθ与电流I成正比D.sinθ与电流I成正比答案D解析当导线静止在题图(a)右侧位置时，对导线受力分析如图所示，可知要让安培力为图示方向，则导线中电流方向应由M指向N，A错误；由于与OO'距离相等位置的磁感应强度大小相等且不随时间变化，有sinθ=BILmg，FT=mgcosθ则可看出sinθ与电流I成正比，当I增大时θ增大，则cosθ减小，静止后，导线对悬线的拉力FT减小，B、C错误，D正确。1.对于静电场、磁场中的平衡问题，受力分析时要注意静电力、磁场力方向的判断，再结合平衡条件分析求解。2.涉及安培力的平衡问题，画受力示意图时要注意将立体图转化为平面图。考点二动态平衡问题平衡中的临界、极值问题例5(2024·广东湛江市检测)如图所示，用光滑铁丝弯成的四分之一圆弧轨道竖直固定在水平地面上，O为圆心，A为轨道上的一点，一中间带有小孔的小球套在圆弧轨道上，对小球施加一个拉力，若在拉力方向从水平向左在纸面内顺时针转至竖直向上的过程中，小球始终静止在A点，则拉力F()A.先变大，后变小 B.先变小，后变大C.一直变大 D.一直变小答案B解析根据题意可知，小球始终静止在A点，对小球受力分析可知，小球受重力、轨道的弹力及拉力处于平衡状态，三力可组成一个闭合的三角形，如图所示则拉力方向从水平向左在纸面内顺时针转至竖直向上的过程中，拉力F先变小，后变大。故选B。例6(2022·河北卷·7)如图，用两根等长的细绳将一匀质圆柱体悬挂在竖直木板的P点，将木板以底边MN为轴向后方缓慢转动直至水平，绳与木板之间的夹角保持不变，忽略圆柱体与木板之间的摩擦，在转动过程中()A.圆柱体对木板的压力逐渐增大B.圆柱体对木板的压力先增大后减小C.两根细绳上的拉力均先增大后减小D.两根细绳对圆柱体拉力的合力保持不变答案B解析方法一：解析法设两根细绳对圆柱体拉力的合力大小为FT，木板对圆柱体的支持力大小为FN，从右向左看，受力分析如图所示，绳子与木板间的夹角不变，α也不变，在矢量三角形中，根据正弦定理有sinαmg=sinβ在木板以底边MN为轴向后方缓慢转动直至水平的过程中，α不变，γ从90°逐渐减小到0，又γ+β+α=180°，且α<90°，可知90°<γ+β<180°，则0<β<180°，可知β从锐角逐渐增大到钝角，根据sinαmg=sinβsinγ不断减小，FT逐渐减小，sinβ先增大后减小，FN先增大后减小，结合牛顿第三定律可知，圆柱体对木板的压力先增大后减小，设两根细绳之间的夹角为2θ，一根细绳的拉力大小为FT'，则2FT'cosθ=FT，可得FT'=FT2cosθ，θ不变，FT逐渐减小，可知两根细绳上的拉力不断减小，两根细绳对圆柱体拉力的合力不断减小，故B正确，A、C方法二：辅助圆法作出圆柱体的重力mg、木板对圆柱体的支持力FN、两根细绳对圆柱体拉力的合力FT初始状态矢量三角形，并画出它的外接圆，使A点在圆上顺时针移动，FT与竖直方向夹角变大，由图可知，FT逐渐减小，FN先增大后减小。1.三力作用下的动态平衡2.四力作用下的动态平衡(1)在四力平衡中，如果有两个力为恒力，或这两个力的合力方向恒定，为了简便，可用这两个力的合力代替这两个力，转化为三力平衡，例如：如图甲所示，qE<mg，把挡板沿逆时针方向缓慢转至水平的过程中，可以用重力与静电力的合力F合=mg-qE代替重力与静电力。(2)对于一般的四力平衡及多力平衡，可采用正交分解法。甲乙(3)在力的方向发生变化的平衡问题中求力的极小值时，一般利用三角函数求极值。也可利用“摩擦角”将四力平衡转化为三力平衡，从而求拉力的最小值。例如：如图乙所示，物体在拉力F作用下做匀速直线运动，改变θ大小，求拉力的最小值时，可以用支持力与摩擦力的合力F'代替支持力与摩擦力，Fmin=mgsinθ，其中FN与Ff的合力方向一定，“摩擦角”θ满足tanθ=Ff3.数学知识在力学中的应用数学知识图示公式注意事项cosθ+μsinθ=1+μ2sin(α+其中sinα=11+μ2，cos即tanα=1物体受4个共点力，合力恒定，当F方向变化时，求F的极小值正弦定理asinA=bsinB=csinC=2R(物体受三个共点力平衡，把表示三个力的有向线段作闭合矢量三角形，求某一个力或分析力的变化拉密定理当三个共点力的合力为0时，其中任意一个力与其他两个力的夹角正弦的比值相等F1sinα=其实质为正弦定理的变形直接画出三个合力为0的共点力，应用拉密定理，比正弦定理更加便捷

专题强化练［分值：60分］1~6题每题4分，7~9、11题每题6分，10题12分，共60分［保分基础练］1.(2023·广东卷·2)如图所示，可视为质点的机器人通过磁铁吸附在船舷外壁面检测船体。壁面可视为斜面，与竖直方向夹角为θ。船和机器人保持静止时，机器人仅受重力G、支持力FN、摩擦力Ff和磁力F的作用，磁力垂直壁面。下列关系式正确的是()A.Ff=G B.F=FNC.Ff=Gcosθ D.F=Gsinθ答案C解析如图所示，将机器人(包括磁铁)重力垂直于斜面方向和沿斜面方向分解。沿斜面方向，由平衡条件得Ff=Gcosθ，故A错误，C正确；垂直斜面方向，由平衡条件得F=Gsinθ+FN，故B、D错误。2.(2024·黑吉辽·3)利用砚台将墨条研磨成墨汁时讲究“圆、缓、匀”，如图，在研磨过程中，砚台始终静止在水平桌面上。当墨条的速度方向水平向左时，()A.砚台对墨条的摩擦力方向水平向左B.桌面对砚台的摩擦力方向水平向左C.桌面和墨条对砚台的摩擦力是一对平衡力D.桌面对砚台的支持力与墨条对砚台的压力是一对平衡力答案C解析当墨条速度方向水平向左时，墨条相对于砚台向左运动，故砚台对墨条的摩擦力方向水平向右，故A错误；根据牛顿第三定律，墨条对砚台的摩擦力方向水平向左，由于砚台始终处于静止状态，故桌面对砚台的摩擦力方向水平向右，故B错误；由于砚台始终处于静止状态，水平方向上桌面和墨条对砚台的摩擦力是一对平衡力，故C正确；桌面对砚台的支持力大小等于砚台的重力加上墨条对其的压力，故桌面对砚台的支持力大于墨条对砚台的压力，故D错误。3.(2024·山东卷·2)如图所示，国产人形机器人“天工”能平稳通过斜坡。若它可以在倾角不大于30°的斜坡上稳定地站立和行走，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则它的脚和斜面间的动摩擦因数不能小于()A.12 B.33 C.22答案B解析根据题意可知机器人“天工”可以在倾角不大于30°的斜坡上稳定地站立和行走，对“天工”分析有mgsin30°≤μmgcos30°可得μ≥tan30°=3故选B。4.(多选)(2024·山东省实验中学开学考)如图所示，一条细线一端与水平地板上的物体B相连，另一端绕过质量不计的光滑定滑轮与小球A相连，定滑轮用另一条细线悬挂在天花板上的O'点，细线与竖直方向所成角度为α，则()A.如果将物体B在地板上向右移动一点，α角将增大B.无论物体B在地板上左移还是右移，只要距离足够小，α角将不变C.增大小球A的质量，α角一定减小D.悬挂定滑轮的细线的弹力不可能等于小球A的重力答案AD解析对小球A受力分析可得FT=mAg，如果将物体B在地板上向右移动一点，则∠AOB增大，由于两端细线的拉力的合力一定沿其角平分线方向，对定滑轮受力分析如图所示可得∠AOB=2α，可知如果将物体B在地板上向右移动一点，α角将增大，故A正确，B错误；增大小球A的质量，只要物体B与地板的摩擦力足够大，物体B的位置不变，α角不变，故C错误；由于∠AOB=2α<90°<120°，两端细线的拉力的大小均为mAg，根据力的合成可知悬挂定滑轮的细线的弹力一定大于小球A的重力，故D正确。5.(2024·安徽淮北市质检)如图所示，在竖直墙壁上固定水平轻杆OB，B为铰链装置，OA为轻质细绳且与水平方向夹角θ=30°，小球质量为m，通过轻绳系于O点，初始时整个装置处于静止状态，现保证O点位置不变，逐渐减小绳OA的长度，使绳的上端由A点缓慢移动至C点。已知重力加速度为g，不计所有摩擦，则下列说法正确的是()A.初始时OA绳的拉力大小为3mgB.移动过程中OA绳的拉力大小逐渐增大C.移动过程中OB杆的弹力逐渐减小D.最终OA绳的拉力大小减小至0答案C解析初始时整个装置处于静止状态，则根据平衡条件，竖直方向上可得mg=FTsin30°，解得FT=2mg，故A错误；根据平衡条件，竖直方向上可得mg=FTsinθ则FT=mgsinθ，水平方向上可得FNB=mgtanθ，绳的上端由A点缓慢移动至C点，θ增大，则sinθ增大，tanθ增大，则FT逐渐减小到mg，FNB减小，故B、6.(2024·天津市南开区质检)千斤顶在汽车维修、地震救灾中经常用到。如图所示是剪式(菱形)千斤顶，当摇动把手时，螺纹杆迫使A、B间距离变小，千斤顶的两臂靠拢(螺旋杆始终保持水平)，从而将重物缓慢顶起。若重物的重力为G，AB与AC间的夹角为θ，不计千斤顶杆件自重，下列说法正确的是()A.AC、BC两杆受到的弹力大小均为GB.当θ=60°时，AC、BC两杆受到的弹力大小均为GC.摇动把手将重物缓慢顶起的过程，AC、BC杆受到的弹力将减小D.摇动把手将重物缓慢顶起的过程，重物受到的支持力将增大答案C解析根据题意，设AC、BC两杆受到的弹力大小均为F，由平衡条件及几何关系有2Fcos(90°-θ)=G，解得F=G2sinθ，故A错误；由A项分析可知，当θ=60°时，AC、BC两杆受到的弹力大小均为F=G2sin60°=33G，故B错误；摇动把手将重物缓慢顶起的过程，θ增大，sinθ增大，则F减小，故［争分提能练］7.(2022·海南卷·8)我国的石桥世界闻名，如图，某桥由六块形状完全相同的石块组成，其中石块1、6固定，2、5质量相同为m，3、4质量相同为m'，不计石块间的摩擦，则m∶m'为()A.32 B.3 C.1答案D解析六块形状完全相同的石块围成半圆对应的圆心角为180°，每块石块对应的圆心角为30°，对第3块石块受力分析如图结合力的合成可知tan60°=F对第2块和第3块石块整体受力分析如图tan30°=F4(m+m')8.(多选)(2024·湖南省九校联盟联考)如图所示，倾角为θ的斜面体c置于水平地面上，小物块b置于斜面上，绝缘细绳一端与b相连(绳与斜面平行)，另一端跨过光滑的轻质定滑轮与带电小球M连接，定滑轮的正下方也有一带电小球N，M、N质量均为m，带电荷量大小均为q。M静止时细绳与竖直方向成β角(β<90°)，M、N处于同一水平线上。现在同一竖直面内向下方缓慢移动N，直到N移动到M的正下方，此过程中b、c、M始终处于静止状态。M、N均可视为点电荷，静电力常量为k，重力加速度为g。下列说法中正确的是()A.M、N间的库仑力先增大后减小B.绝缘细绳对M的拉力逐渐增大C.地面对c的摩擦力逐渐减小D.M、N间距离最大值为k答案CD解析画出小球M的受力示意图如图所示当小球M位置不动，N缓慢向下方移动时，绝缘细绳对M的拉力FT逐渐减小，N对M的库仑力F库先减小后增大，M、N间库仑力最小时，M、N间距离最大，则有mgsinβ=kq2r2，解得r=kq2mgsinβ，故D正确，A、B错误；将b和c看成一个整体，受重力、绳子沿斜面向上的拉力、地面的支持力以及水平向左的摩擦力，根据正交分解法，可知地面对9.(2024·湖北卷·6)如图所示，两拖船P、Q拉着无动力货船S一起在静水中沿图中虚线方向匀速前进，两根水平缆绳与虚线的夹角均保持为30°。假设水对三艘船在水平方向的作用力大小均为Ff，方向与船的运动方向相反，则每艘拖船发动机提供的动力大小为()A.33Ff B.213C.2Ff D.3Ff答案B解析根据题意对S受力分析如图甲正交分解可知2FTcos30°=Ff所以有FT=33F对P受力分析如图乙则有(FTsin30°)2+(Ff+FTcos30°)2=F2解得F=21Ff310.(12分)(2024·河南南阳市六校联考)一个底面粗糙、质量为M=3m的劈放在粗糙水平地面上，劈的斜面光滑且与水平地面成30°角。现用一端固定的轻绳系一质量为m的小球，小球放在