基本计数原理+高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第二册

第三章排列、组合与二项式定理

3.1.1基本计数原理（1）一个由3个元素组成的集合，共有多少种不同的子集？（2）由3个数字组成的密码锁，如果忘记了密码，最多要试多少次才能打开密码锁？（3）有4位同学和1位老师站成一排照相，如果老师要站在正中间，则有多少种不同的站法？创设情境8种24种1000次如果仔细观察，你会发现二维码就像一个由许多小方块组成的n×n的大棋盘，每个小方块可以是黑色或者白色.规定：一个黑色小方块对应一个1，一个白色小方块对应一个0，从而形成不同的二进制编码，对应不同的信息.试问：从理论上来说，一个25×25尺寸的二维码可以产生多少种不同的二进制编码？创设情境计数问题尝试与发现如果用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的一个座位编号，那么总共能够编出多少种不同的号码呢？请同学们思考以下问题，并归纳特征.①要完成一件什么事？②完成这件事有几类办法？③每类办法中分别有几种方法？④完成这件事共有多少种办法？给一个座位编号可以是一个大写的英文字母或者一个阿拉伯数字英文字母26个，阿拉伯数字10个共有26+10=36种方法36种尝试与发现完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中共有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法.关键词：1.完成一件事；

3.相加；

2.分类.每一类的每种方法都能独立完成；分类加法计数原理尝试与发现例1在填写高考志愿表时，一名高中生了解到，A，B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：问：如果这名同学只能选择一个专业，那么他有多少种选择呢？A大学B大学生物学数学化学统计学医学计算机科学与技术物理学法学工程学根据分类加法计数原理可知，共有5+4=9种不同的选择.尝试与发现变式1在填写高考志愿表时，一名高中生了解到，A、B、C两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：问：如果这名同学只能选择一个专业，那么他有多少种选择呢？A大学B大学C大学生物学数学新闻学化学统计学经济学医学计算机科学与技术金融学物理学法学工程学根据分类加法计数原理可知，共有5+4+3=12种选择.一般地，如果完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，···，在n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+···+mn种不同方法.分类加法计数原理（枚举法）A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8，A9B1，B2，B3，B4，B5，B6，B7，B8，B9C1，C2，C3，C4，C5，C6，C7，C8，C9D1，D2，D3，D4，D5，D6，D7，D8，D9E1，E2，E3，E4，E5，E6，E7，E8，E9F1，F2，F3，F4，F5，F6，F7，F8，F9尝试与发现如果用前六个大写英文字母中的一个和1~9九个阿拉伯数字中的一个，组成编码形如A1，B2的方式给座位编号，那么总共能够编出多少种不同的号码呢？54种尝试与发现如果用前六个大写英文字母中的一个和1~9九个阿拉伯数字中的一个，组成编码形如A1，B2的方式给座位编号，那么总共能够编出多少种不同的号码呢？54种请同学们思考以下问题，并归纳特征.①要完成一件什么事？②完成这件事有几个步骤？③每个步骤中有几种不同的方法？④完成这件事共有多少种办法？给一个座位编号分两步，先确定英文字母，再确定阿拉伯数字第一步选英文字母6种，第二步选阿拉伯数字9种共有6×9=54种方法完成一件事有两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法.尝试与发现关键词：1.完成一件事；

3.相乘；

2.分步.每一步的每种方法都不能独立完成；分步乘法计数原理例2某班有男生30名，女生24名，现要从中选出男、女生各一名代表班级参加公益活动，共有多少种不同的选法？尝试与发现答：

任选男生和女生各1名，可以分为两个步骤完成：第1步，从30名男生中选出1名，有30种不同的选法；第2步，从24名女生中选出1名，有24种不同的选法.根据分步乘法计数原理，共有30×24=720种不同的选法.变式2某班有男生30名，女生24名，任课老师6名，现要从中选出男、女生各一名代表班级参加公益活动，还要从中选派1名老师作为领队，组成代表队，共有多少种不同的选法？尝试与发现答：

任选男生、女生和老师各1名，可以分为三个步骤完成：第1步，从30名男生中选出1名，有30种不同的选法；第2步，从24名女生中选出1名，有24种不同的选法；根据分步乘法计数原理，共有30×24×6=4320种不同的选法.第3步，从6名老师中选出1名作为领队，有6种不同的选法.一般地，如果完成一件事有n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，···，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×···×mn种不同方法.分步乘法计数原理尝试与发现思考：分类加法计数原理和分步乘法计数原理有什么联系和区别？①联系：都是解决计数问题的基本方法.②区别：分类加法计数原理是分类，每种方法都能完成这件事，采用加法计数.

分步乘法计数原理是分步，单独某一步不能完成这件事，并且所有步骤缺一不可，采用乘法计数.如果仔细观察，你会发现二维码就像一个由许多小方块组成的n×n的大棋盘，每个小方块可以是黑色或者白色.规定：一个黑色小方块对应一个1，一个白色小方块对应一个0，从而形成不同的二进制编码，对应不同的信息.试问：从理论上来说，一个25×25尺寸的二维码可以产生多少种不同的二进制编码？练习1

已知n是一个小于10的正整数，且由集合A=｛x|x∈N+，x≤n｝中的元素可以排成数字不重复的两位数共20个，求n的值.答：第1步，确定十位上的数字，共有n种选法；根据分步乘法计数原理，排成数字不重复的两位数共有n×（n-1）=20个；第2步，确定个位上的数字，共有n-1种选法；解得n=5或n=-4（舍），故n的值为5.练习2

已知A是一个有限集，且A中的元素个数为n，求A的子集的个数.答：设集合A={a1，a2，a3，···，an}；只需完成上面n个步骤即可得到集合A的子集，根据分步乘法计数原理，集合A的子集数为2×2×···×2=2n个；第2步，判断元素a2是否在子集内，有2种可能，在或不在；第1步，判断元素a1是否在子集内，有2种可能，在或不在；···第n步，判断元素an

是否在子集内，有2种可能，在或不在；练习3

某单位3个科室分别有7名、9名和6名职工。现抽调2名来自不同科室的职工参加调研活动，问：有多少种不同的挑选方式？7×9+7×6+9×6=159种练习4用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成多少个：

（1）三位数；

（2）无重复数字的三位数；

（3）小于500无重复数字的三位数；

（4）小于100的无重复数字的自然数；

（5）小于12345的无重复数