函数的最大小值与导数课件人教A版选修

函数的最大小值与导数课程目标掌握函数的最大值、最小值的概念理解函数的最大值、最小值与函数图像的关系。学习利用导数求函数的最大值、最小值掌握导数在求解函数最大值、最小值问题中的应用。提高解决实际问题的分析能力运用导数知识解决生活、生产中的实际问题。1.基本概念回顾函数函数是将一个集合中的元素与另一个集合中的元素之间建立对应关系的一种关系。函数图像函数图像可以直观地展示函数的变化趋势和性质。函数单调性函数的单调性是指函数值随自变量的增大或减小而变化的趋势。函数与函数图像线性函数直线二次函数抛物线三角函数正弦波函数的单调性递增函数的定义域内，当自变量增大时，函数值也随之增大，则该函数为递增函数。递减函数的定义域内，当自变量增大时，函数值也随之减小，则该函数为递减函数。单调性函数在某个区间内保持递增或递减，则该函数在这个区间内具有单调性。函数的极值1最大值在函数的定义域内，函数取得的最大值称为函数的最大值。2最小值在函数的定义域内，函数取得的最小值称为函数的最小值。3极值函数在某点取得的值比该点附近其他点的函数值都大（或都小），则称该点取得的值为函数的极大值（或极小值）。2.导数的概念瞬时变化率导数反映了函数在某一点的瞬时变化率，即函数值随自变量变化的速率。微分运算导数是微积分的核心概念之一，代表了函数在某一点的微小变化率。导数的定义定义函数f(x)在x=x0处的导数定义为：f'(x0)=lim(h->0)[f(x0+h)-f(x0)]/h解释当h趋近于0时，函数f(x)在x0处变化率的极限值。导数的几何意义导数的几何意义是函数曲线在某一点的切线的斜率。也就是说，导数表示函数在该点变化的快慢程度，数值越大，变化越快。导数的基本性质加减法两个函数的和或差的导数等于这两个函数的导数的和或差。乘法两个函数的积的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数加上第一个函数乘以第二个函数的导数。除法两个函数的商的导数等于分母的平方除以分子导数乘以分母减去分子乘以分母导数。3.利用导数求最大最小值极值与导数的关系导数为零的点是函数的极值点，但导数为零的点不一定是极值点。求最大最小值步骤求导数、找出极值点、比较极值与端点值。导数的应用求函数的单调区间利用导数判断函数的单调性，确定函数的递增区间和递减区间。求函数的极值利用导数求函数的极值点，并判断极值点的类型（极大值或极小值）。求函数的最大值或最小值利用导数求函数在给定区间上的最大值或最小值，解决实际应用问题。最大值问题问题分析寻找函数在定义域上的最大值方法选择利用导数求函数的最值，确定极值点比较大小比较极值与端点处的函数值，找到最大值最小值问题1最小值导数为零或不存在的点2极小值函数在该点附近取得最小值3最小值点函数在该点取得最小值最小值问题是寻找函数在指定区间内的最小值。使用导数求最小值时，需要先找到函数的极小值点，然后与函数在区间的端点处的值比较，最终确定最小值。分段函数的极值分段函数是指在一个定义域内，根据不同的自变量取值，函数表达式不同的函数。定义域分段函数的定义域是一个集合，包含了所有可能的自变量值。表达式每个分段函数的表达式都是一个数学表达式，用于描述函数在特定定义域内的输出值。分段函数的概念分段函数是指由多个函数片段组成，每个函数片段在定义域的某个子集上起作用。不同片段的函数表达式可能不同，但它们的定义域必须互斥且覆盖整个定义域。例如，分段函数可以用于描述不同情况下的不同价格、速度或其他物理量。分段函数求导1定义法根据分段函数的定义，分别求出各个函数段的导数。2导数公式利用已知的导数公式，求出各个函数段的导数。3导数性质运用导数的性质，简化分段函数求导的过程。分段函数求极值1定义域每个子函数的定义域2导数分别求各子函数的导数3极值点在每个子函数定义域内求极值点4比较比较所有子函数的极值点，确定最大/最小值反函数的极值反函数的极值问题，即求反函数的最大值和最小值。求导法利用反函数求导公式，求出反函数的导数，再利用导数的性质来确定反函数的极值。图像法利用反函数图像的对称性，结合原函数的图像来确定反函数的极值。反函数的概念互为反函数若函数f(x)的定义域为A，值域为B，且存在函数g(x)的定义域为B，值域为A，满足：f(g(x))=x(x∈B)，g(f(x))=x(x∈A)，则称g(x)为f(x)的反函数，记作f-1(x)。图形关系函数f(x)与其反函数f-1(x)的图像关于直线y=x对称。反函数的导数导数公式反函数的导数等于原函数导数的倒数，即：(f-1(x))'=1/f'(f-1(x))示例例如，函数f(x)=x2的反函数为f-1(x)=√x，则(f-1(x))'=1/(2√x)反函数的极值反函数的定义如果函数y=f(x)的定义域为D，值域为R，且对于每个y∈R，都有唯一的x∈D使得y=f(x)成立，那么就称x是y的函数，记作x=f-1(y)，这个函数称为f(x)的反函数。反函数的导数设y=f(x)的反函数为x=f-1(y)，若f(x)在点x0处可导且f'(x0)≠0，则f-1(y)在点y0=f(x0)处可导，且有：(f-1)'(y0)=1/f'(x0).综合案例我们将通过具体的案例分析，深入理解函数最大小值与导数的应用。案例分析1实际问题例如，某公司要生产一种产品，需要确定最佳生产规模，以获得最大利润。2数学模型将实际问题转化为数学模型，用函数表示利润与生产规模的关系。3求解过程利用导数求函数的极值，找到最佳生产规模，从而获得最大利润。问题求解过程1确定目标函数根据题目要求确定需要求最大值或最小值的函数，并将其表示为自变量的函数。2求导对目标函数求导，得到导函数。3求驻点令导函数为零，求出驻点。4判断极值利用导数的性质判断驻点处函数的极值情况，并求出极值。5确定最大最小值比较所有极值和端点处的函数值，确定最大值和最小值。结果应用分析实际问题解决通过求函数的最大值或最小值，可以解决实际问题中关于最优解的寻找。模型优化利用导数求最大值或最小值，可以帮助优化模型，提高其效率或效果。决策支持通过对函数的分析，可以提供更准确的数据和信息，帮助做出更明智的决策。课程小结本节课我们学习了函数的最大最小值与导数的关系，以及如何利用导数求函数的最大最小值。思考与练习学习函数的最大最小值与导数，我们不仅要掌握理论知识，更要学会运用这些知识去解决实