工程力学简明教程 课件 7

第七章应力和应变分析强度理论材料力学第七章应力和应变分析强度理论

§7–1应力状态概述§7–2二向和三向应力状态的实例§7–3二向应力状态分析——解析法§7–4二向应力状态分析——图解法§7–5

三向应力状态应力状态与应变状态§7–8强度理论概述§7–9四种常用强度理论§7–10强度理论的应用§7–6

广义胡克定律§7–7

复杂应力状态的应变能密度应力状态与应变状态§7–１应力状态概述应力状态与应变状态一、引言1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？M低碳钢铸铁PP铸铁拉伸P铸铁压缩2、组合变形杆将怎样破坏？？？MP二、一点的应力状态：

过一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合，称为点的应力状态。应力状态与应变状态

在描述应力时，首先必须指明是哪一点，其次还需指明过这一点哪个方位截面上的应力。因为即使是同一点，不同方位截面上的应力也是不同的。同一截面上各点应力不同！同一点沿着各个方向应力不同！三、单元体：

单元体——构件内的点的代表物，是包围被研究点的无限小的几何体，常用的是正六面体。

单元体的性质——a.三个方向尺寸无穷小

b.各面上应力均布；

c.平行面上，应力相等。应力状态与应变状态xyzs

xsz

s

ytxy以体代点成为可能！应力状态与应变状态四、切应力互等定理:

过一点的两个正交面上,如果有与相交边垂直的切应力分量,则两个面上的这两个切应力分量一定等值、方向相对或相离。

切应力τxy（或τyx）有两个角标，第一个角标x（或y）表示切应力作用平面的法线的方向；第二个角标y（或x）表示切应力的方向平行于y（或x）轴。sxtxysyxyztyx我是否也能正确命名？[例1]

画出下列图中各点的已知单元体。应力状态与应变状态(1)五、原始单元体（已知单元体）：应力状态与应变状态(2)tzx[例2]

画出下列图中的A、B、C点的已知单元体。应力状态与应变状态PPAAsxsxMPxyzBCsxsxBtxztxytyx

以下为抢答时间！六、主单元体、主平面、主应力：

主单元体：

各侧面上切应力均为零的单元体。

主平面：

切应力为零的截面。

主应力：

主平面上的正应力。

主应力排列规定：按代数值大小，应力状态与应变状态s1s2s3xyzsxsysz

三向应力状态：（又称空间应力状态）

三个主应力都不为零的应力状态。

二向应力状态：（又称平面应力状态）

只有两个主应力不为零的应力状态。

应力状态与应变状态

单向应力状态：（又称简单应力状态）

只有一个主应力不为零的应力状态。

AsxsxtzxsxsxBtxz复杂应力状态§7–2

二向和三向应力状态的实例应力状态与应变状态1.圆筒形薄壁压力容器，内径为D、壁厚为

t，承受内压力p作用二向应力状态应力状态与应变状态2.圆球形薄壁容器，壁厚为t，内径为D，承受内压p作用。s30=ss124==pDt二向应力状态应力状态与应变状态3.滚珠轴承中滚珠与外圈接触点处的应力状态三向应力状态§7–3

二向应力状态分析——解析法应力状态与应变状态xysxtxysyOtyx

切应力τxy（或τyx）有两个角标，第一个角标x（或y）表示切应力作用平面的法线的方向；第二个角标y（或x）表示切应力的方向平行于y（或x）轴。sxtxysyxyztyx投影规定：

：截面外法线同向为正；

ta：绕研究对象顺时针转为正；

a：外法线绕x轴逆时针为正。设：斜截面面积为S，由分离体平衡得：一、任意斜截面上的应力应力状态与应变状态xyO图1xysxtxysyOtyxsytxysxsataatn图2tyx应力状态与应变状态sytyxsxsataaxyOtn图2考虑切应力互等和三角变换，得：图1xysxtxysyOtyxtxy上两式即为任意斜截面上正应力和切应力的计算公式！2、极值应力应力状态与应变状态xysxtxysyO即斜截面上极值正应力恰为主应力！此时，和两个极值：由此得两个驻点、0a）20pa+

在切应力相对的项限内，且偏向于

x

及

y大的一侧。应力状态与应变状态222xyyxminmaxtsstt+-±=îíì

）（即极值剪应力与主平面成450！xysxtxysyOtyx[例3]

分析受扭构件的破坏规律。解：确定危险点并画其原始单元体

求极值应力应力状态与应变状态txyCtyxMCxyOtxytyx应力状态与应变状态

破坏分析应力状态与应变状态低碳钢铸铁xyOtt应力状态与应变状态[例4]：求图示单元体的主应力值及主方向，并画在单元体上；确定最大切应力值。单位：MPa解：按应力符号规则选取x应力状态与应变状态

代公式求主应力及其方位应力状态与应变状态

求最大切应力例5

简支梁如图所示.已知mm

截面上A点的弯曲正应力和切应力分别为

=-70MPa，

=50MPa.确定A点的主应力及主平面的方位.A

mmal

A

解：把从A点处截取的单元体放大如图应力状态与应变状态因为

x

<y，所以0=27.5°与

min对应xA

A

0

1

3

1

3应力状态与应变状态

x

y

xy例6图示单元体，已知

x

=-40MPa，

y

=60MPa，

xy=-50MPa.试求ef

截面上的应力情况及主应力和主单元体的方位.n30°ef(1)求

ef截面上的应力应力状态与应变状态(2)求主应力和主单元体的方位

x

=-40MPa

y

=60MPa

x

=-50MPa

=-30°因为

x

<y，所以0=-22.5°与

min对应应力状态与应变状态

x

y

xy22.5°

1

3应力状态与应变状态§7–4

二向应力状态分析——图解法对上述方程移项平方相加，消去参数（2

），得：一、应力圆应力状态与应变状态ysytxysxsataaxyOtn此方程曲线为圆—应力圆（或莫尔圆）xsxtxysyOtyx(1)建

-坐标系,选定比例尺o

二、应力圆作法1、步骤xy

x

x

yx

xy

y

y应力状态与应变状态D

xyo

(2)量取OA=xAD

=xy得D

点xy

x

x

yx

xy

xAOB=y(3)量取BD′=yx得

D′

点

yB

yxD′(4)连接DD′两点的直线与

轴相交于C

点(5)以C为圆心,CD

为半径作圆,该圆就是相应于该单元体的应力圆C应力状态与应变状态(1)该圆的圆心C点到坐标原点的距离为(2)该圆半径为D

xyo

xA

yB

yxD′C2、证明应力状态与应变状态三、应力圆的应用1、求单元体上任一截面上的应力

从应力圆的半径CD按方位角

的转向转动2

得到半径CE.圆周上E

点的坐标就依次为斜截面上的正应力

和切应力

。D

xyo

xA

yB

yxD′C2

0FE2

xya

x

x

yx

xyef

n应力状态与应变状态证明应力状态与应变状态也即，E点的坐标为：对应法线为夹角的斜截面点面之间的对应关系：单元体某一截面上的应力，必对应于应力圆上某一点的坐标。AB

夹角关系：圆周上任意两点所引半径的夹角等于单元体上对应两截面夹角的两倍。两者的转向一致。2

OCBA归纳起来，即：点面对应，转向一致，2倍转角。应力状态与应变状态2、求主应力数值和主平面位置(1)主应力数值A1和B1两点为与主平面对应的点，其横坐标为主应力

1，

2

1

2D

xyo

xA

yB

yxD′C2

0FE2

B1A1应力状态与应变状态2

0D

xyo

xA

yB

yxD′C

1

2A1B1（2）主平面方位由CD顺时针转2

0到CA1所以单元体上从

x

轴顺时针转

0（负值）即到

1对应的主平面的外法线

0确定后，

1对应的主平面方位即确定应力状态与应变状态3、求最大切应力G1和G

两点的纵坐标分别代表最大和最小切应力2

0D

xyo

xA

yB

yxD′C

1

2A1B1G1G2因为最大最小切应力等于应力圆的半径应力状态与应变状态

o例7

从水坝体内某点处取出的单元体如图所示,

x

=-1MPa,

y

=-0.4MPa,

xy=-0.2MPa,

yx

=0.2MPa,(1)绘出相应的应力圆(2)确定此单元体在

=30°和

=-40°两斜面上的应力。

x

y

xy解:(1)画应力圆量取OA=

x=-1,AD

=

xy=-0.2,定出D点;ACBOB

=

y=-0.4和，BD′

=

yx=0.2,定出D′点.(-1,-0.2)DD′(-0.4,0.2)以DD′

为直径绘出的圆即为应力圆。应力状态与应变状态将半径CD

逆时针转动2

=60°到半径CE,E

点的坐标就代表

=30°斜截面上的应力。(2)确定

=30°斜截面上的应力E60°(3)确定

=-40°斜截面上的应力将半径

CD顺时针转2

=80°到半径CF,F

点的坐标就代表

=-40°斜截面上的应力。F80°AD′C

BoD

30°

40°

40°

30°

30°=-0.36MPa

30°=-0.68MPa

40°=-0.26MPa

-40°=-0.95MPa应力状态与应变状态应力状态与应变状态s3[例8]

求图示单元体的主应力及主平面的位置。(单位：MPa)AB

1

2解法1——图解法：

主应力坐标系如图

AB的垂直平分线与sa

轴的交点C便是圆心，以C为圆心，以AC为半径画圆——应力圆

0s1s2BAC2α0sata(MPa)(MPa)O20MPa

在坐标系内画出点应力状态与应变状态s3s1s2BAC2s0sata(MPa)(MPa)O20MPa

主应力及主平面如图

1

0

2AB应力状态与应变状态解法2—解析法：分析——建立坐标系如图60°xyO应力状态与应变状态60°xyO讨论:

1.表达图示各单元体a斜截面上应力随a角变化的应力圆是怎样的？这三个单元体所表示的都是平面应力状态吗？应力状态与应变状态

2.

对于图示各单元体，表示与纸面垂直的斜截面上应力随a角变化的应力圆有什么特点？a=±45˚两个斜截面上的sa,ta分别是多少？二向等值压缩二向等值拉伸纯剪切应力状态与应变状态§7–5

三向应力状态应力状态与应变状态s2s1xyzs3xyzs1s2s3ABCO

1

3

首先研究与其中一个主平面(例如主应力

3所在的平面)垂直的斜截面上的应力

1

2

2

用截面法，沿求应力的截面将单元体截为两部分，取左下部分为研究对象

2

1应力状态与应变状态

主应力

3所在的两平面上是一对自相平衡的力，因而该斜面上的应力

,

与

3无关,只由主应力

1,

2

决定

与

3垂直的斜截面上的应力可由

1,

2作出的应力圆上的点来表示

1

2

3

3

2

1应力状态与应变状态

该应力圆上的点对应于与

3垂直的所有斜截面上的应力

A

1

O

2B

与主应力

2所在主平面垂直的斜截面上的应力

,

可用由

1,

3作出的应力圆上的点来表示C

3与主应力

１所在主平面垂直的斜截面上的应力

,

可用由

2,

3作出的应力圆上的点来表示应力状态与应变状态

该截面上应力和对应的D点必位于上述三个应力圆所围成

的阴影内abc截面表示与三个主平面斜交的任意斜截面abc

1

2

1

2

3应力状态与应变状态

A

1

O

2BC

3结论

三个应力圆圆周上的点及由它们围成的阴影部分上的点的坐标代表了空间应力状态下所有截面上的应力

该点处的最大正应力(指代数值)应等于最大应力圆上A点的横坐标

1应力状态与应变状态

A

1

O

2BC

3

最大切应力则等于最大的应力圆的半径

最大切应力所在的截面与

2所在的主平面垂直，并与

1和

3所在的主平面成450角。应力状态与应变状态[例9]

试根据图a所示单元体各面上的应力作出应力圆，并求出主应力和最大切应力的值及它们的作用面方位。(a)应力状态与应变状态

解:

1.

图a所示单元体上正应力sz=20MPa的作用面(z截面)上无切应力，因而该正应力为主应力。

2.正如以前所述，在与主平面z截面垂直的各截面上的应力与主应力sz无关，故可根据x截面和y截面上的应力画出显示与z截面垂直各截面上应力随截面方位角变化的应力圆。(a)应力状态与应变状态

从圆上得出两个主应力46MPa和-26MPa。这样就得到了包括sz=20MPa在内的三个主应力。他们按代数值大小排序为s1＝46MPa，s2＝20MPa，s3＝-26MPa。(b)(a)3.依据三个主应力值作出的三个应力圆如图b所示。应力状态与应变状态s1的作用面垂直于z截面(sz作用面)，其方位角a0根据通过点D1和D2的应力圆上由代表x截面上应力的点D1逆时针至代表a1的点A的圆心角2a0＝34˚可知为a0＝17˚且由x截面逆时针转动，如图c中所示。(c)(b)应力状态与应变状态§7–6

广义胡克定律一、单拉下的应力--应变关系应力状态与应变状态xyzsx二、纯剪的应力--应变关系应力状态与应变状态xyz

x

y三、复杂状态下的应力---应变关系应力状态与应变状态

xyzszsytxysxtxztyxtyztzytzx

在线弹性范围内，线应变只与正应力有关，与切应力无关，切应变只与切应力有关，而与正应力无关。

y

y

x方向的线应变用叠加原理，分别计算出

x,y,z

分别单独存在时,x，y，z方向的线应变

x,y，

z，然后代数相加.单独存在时单独存在时

单独存在时xyyz

z

z

x

x应力状态与应变状态在

x

、

y

、

z同时存在时,x

方向的线应变

x为同理，在

x

、

y

、

z同时存在时,y,z

方向的线应变为在xy，yz，zx三个面内的切应变为应力状态与应变状态上式称为广义胡克定律——沿x、y、z轴的线应变

——在xy、yz、zx面上的角应变应力状态与应变状态主应力---主应变关系应力状态与应变状态s1s3s2主应变和主应力的方向重合!四、平面状态下的应力---应变关系:应力状态与应变状态xysxtxysyOtyx

1

2

3a1a2a3构件每单位体积的体积变化,称为体积应变用θ表示.各向同性材料在三向应力状态下的体应变如图所示的单元体，三个边长为a1,a2,a3变形后的边长分别为变形后单元体的体积为a1(1+

，a2(1+

2

，a3(1+

3

V1=a1(1+

·

a2(1+

2

·

a3(1+

3

五、体积应变与应力分量间的关系应力状态与应变状态体积应变为应力状态与应变状态应力状态与应变状态式中：——体积弹性模量——体积胡克定律——主应力的平均值1、纯剪切应力状态下的体积应变即在小变形下，切应力不引起各向同性材料的体积改变.2、三向等值应力单元体的体积应变三个主应力为单元体的体积应变

m

m

m应力状态与应变状态这两个单元体的体积应变相同

m

m

m

1

2

3a1a2a3单元体的三个主应变为应力状态与应变状态

如果变形前单元体的三个棱边成某种比例，由于三个棱边应变相同，则变形后的三个棱边的长度仍保持这种比例.所以在三向等值应力

m的作用下，单元体变形后的形状和变形前的相似，称这样的单元体是形状不变的.

在最一般的空间应力状态下，材料的体积应变只与三个线应变

x

，y，z

有关，仿照上述推导有

在任意形式的应力状态下,各向同性材料内一点处的体积应变与通过该点的任意三个相互垂直的平面上的正应力之和成正比,而与切应力无关.应力状态与应变状态例10

边长a=0.1m的铜立方块，无间隙地放入体积较大，变形可略去不计的钢凹槽中,如图所示.已知铜的弹性模量E=100GPa，泊松比

=0.34，当受到F=300kN的均布压力作用时，求该铜块的主应力、体积应变以及最大切应力.解：铜块横截面上的压应力aaaFzyx

z

x

y铜块受力如图所示变形条件为应力状态与应变状态解得铜块的主应力为最大切应力体积应变为应力状态与应变状态例11

一直径d=20mm的实心圆轴，在轴的的两端加扭矩m=126N·m.在轴的表面上某一点A处用变形仪测出与轴线成-45°方向的应变

=5.010-4,试求此圆轴材料的剪切弹性模量G.mmA45°x应力状态与应变状态解：围绕A点取一单元体A

1

3

x

y

-45°A应力状态与应变状态例12已知一受力构件自由表面上某一点处的两个面内主应变分别为：

1=24010-6，

2=–16010-6，弹性模量E=210GPa，泊松比为

=0.3，试求该点处的主应力及另一主应变。所以，该点处于平面应力状态应力状态与应变状态应力状态与应变状态§7－7复杂应力状态的应变能密度应力状态与应变状态1、单向应力状态下,

物体内所积蓄的应变能密度为将广义胡克定律代入上式,经整理得2、三个主应力同时存在时,单元体的应变能密度为应力状态与应变状态

单元体的变形一方面表现为体积的增加或减小；另一方面表现为形状的改变，即由正方体变为长方体。因此应变能密度可以看作由两部分组成（1）因体积变化而储存的应变能密度（2）体积不变，由正方体改变为长方体而储存的应变能密度——体积改变能密度；——畸变能密度。应力状态与应变状态

2

3

1图a图

c

3-

m

1-

m

2-

m

m图b

m

m体积改变部分形状改变部分应力状态与应变状态由广义胡克定律：代入上式：应力状态与应变状态——体积改变能密度；——畸变能密度。代入应变能密度公式：例13

用能量法证明三个弹性常数间的关系。

纯剪单元体的比能为：

纯剪单元体比能的主应力表示为：应力状态与应变状态

1

3txyAtyx应力状态与应变状态一、问题的引出组合变形杆将怎样破坏？满足是否强度就没有问题了？§7–8

强度理论概述MP二、强度理论：是关于“构件发生强度失效起因”的假说。三、材料的破坏形式：⑴屈服；⑵断裂。强度理论四、两类强度理论：

关于断裂的强度理论和关于屈服的强度理论第一强度理论（最大拉应力理论）第二强度理论（最大伸长线应变理论）断裂理论第三强度理论（最大切应力理论）第四强度理论（畸变能密度理论）屈服理论2、马里奥特关于变形过大引起破坏的论述，是第二强度理论的萌芽；3、杜奎特(C.Duguet)提出了最大切应力理论；4、麦克斯威尔最早提出了最大畸变能理论，这是后来人们在他的书信出版后才知道的.五、四个强度理论1、伽利略播下了第一强度理论的种子；

第一类强度理论—以脆断作为破坏的标志包括：最大拉应力理论和最大伸长线应变理论

第二类强度理论—以出现屈服现象作为破坏的标志包括：最大切应力理论和形状改变比能理论强度理论§7–9

四种常用强度理论一、最大拉应力（第一强度）理论：

认为构件的断裂是由最大拉应力引起的。当最大拉应力达到单向拉伸的强度极限时，构件就断了。1、断裂准则：2、强度条件：3、实用范围：适用于破坏形式为脆断的构件。强度理论应力状态与应变状态铸铁拉伸铸铁扭转二、最大伸长线应变（第二强度）理论：

认为构件的断裂是由最大伸长线应变引起的。当最大伸长线应变达到单向拉伸试验下的极限应变时，构件就断了。1、断裂准则：2、强度条件：3、实用范围：适用于破坏形式为脆断的构件。

强度理论三、最大切应力（第三强度）理论：

认为构件的屈服是由最大切应力引起的。当最大切应力达到单向拉伸试验的极限切应力时，构件就破坏了。1、屈服准则：3、实用范围：适用于破坏形式为屈服的构件。

2、强度条件：强度理论应力状态与应变状态低碳钢拉伸低碳钢扭转四、畸变能密度（第四强度）理论：

认为构件的屈服是由畸变能密度引起的。当畸变能密度达到单向拉伸试验屈服时的畸变能密度时，构件就破坏了。1、屈服准则：2、强度条件:3、实用范围：适用于破坏形式为屈服的构件。

强度理论强度理论

不同材料固然可以发生不同形式的失效，但即使同一种材料，在不同的应力状态下也有可能有不同的失效形式。

无论是塑性或脆性材料，在三向拉应力相近的情况下，都将以断裂的形式失效，宜采用最大拉应力理论。在三向压应力相近的情况下，都可以引起塑性变形，宜采用第三或第四强度理论。

带尖锐环形深切槽的低碳钢试样，由于切槽根部附近材料处于接近三向等值拉伸的应力状态而发生脆性断裂。对于像低碳钢一类的塑性材料，除了处于三向拉伸应力状态外，不会发生脆性断裂。强度理论

圆柱形大理石试样，在轴向压缩并利用液体径向施压时会产生显著的塑性变形而失效。强度理论

思考:

试按第四强度理论分析比较某塑性材料在图(a)和图(b)两种应力状态下的危险程度。已知σ和τ的数值相等。如果按第三强度理论分析，那么比较的结果又如何？答案：按第四强度理论，(a),(b)两种情况下同等危险。按第三强度理论则(a)较(b)危险。(a)(b)强度理论