2024-2025学年高中数学第三章空间向量与立体几何3.2.4用向量方法求空间中的距离练习含解析新人教A版选修2-1

PAGEPAGE1第4课时用向量方法求空间中的距离课时过关·实力提升基础巩固1若O为原点,OAA.C.解析:∵∴∴|答案:D2已知平面α的一个法向量n=(-2,-2,1),点A(-1,3,0)在α内,则点P(-2,1,4)到平面α的距离为()A.10 B.3 C.解析:PA=(1,2,-4),又平面α的一个法向量为n=(-2,-2,1),所以点P答案:D3已知AB,BC,CD为两两垂直的三条线段,且它们的长都为2,则AD的长为()A.4 B.2C.3 D.2解析:因为答案:D4若三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直,且满意PA=PB=PC=1,则点P到平面ABC的距离是()A.解析:分别以PA,PB,PC所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略),则A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1).可以求得平面ABC的一个法向量为n=(1,1,1),则d=答案:D5在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB=AA1=4,点D是AA1的中点,则点A1到平面DBC1的距离是()A.C.答案:A6已知点A(2,3,1),B(4,1,2),C(6,3,7),D(-5,-4,8),则点D到平面ABC的距离为.

解析:设平面ABC的法向量n=(x,y,z),则∴可取n=又∴点D到平面ABC的距离d=答案:497在长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知AA1=9,BC=63答案:98已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,E,F分别是BB1,CD的中点,求点F到平面A1D1E的距离.解:建立空间直角坐标系,如图所示,则A1(a,0,a),D1(0,0,a),A(a,0,0),B(a,a,0),B1(a,a,a),E设平面A1D1E的法向量为n=(x,y,z),则n·A1D1即∴-ax=0,ay-∴x=0,y=z又∴所求距离d=9如图,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1,∠BCA=90°,AC=BC=2,A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D,又知BA1⊥AC1.(1)求证:AC1⊥平面A1BC;(2)求CC1到平面A1AB的距离.(1)证明如图,取AB的中点E,连接DE,则DE∥BC.因为BC⊥AC,所以DE⊥AC.又A1D⊥平面ABC,以DE,DC,DA设A1D=t(t>0),则A(0,-1,0),C(0,1,0),B(2,1,0),A1(0,0,t),C1(0,2,t),所以由AC1·CB又BA1⊥AC1,从而AC1⊥平面A1BC.(2)解由AC设平面A1AB的法向量为n=(x,y,z),所以设z=1,则n=(又CC1∥AA1,所以CC1∥平面A1AB.所以CC1到平面A1AB的距离可转化为点C1到平面A1AB的距离d,且d=实力提升1已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4,点E是CC1的中点,则点E到直线A1B的距离为()A.C.2答案:D2正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,则平面AB1D1与平面BDC1的距离为()A.C.解析:建立空间直角坐标系如图.则A(a,0,0),B(a,a,0),D(0,0,0),C1(0,a,a),D1(0,0,a),B1(a,a,a),∴设n=(x,y,z)为平面AB1D1的法向量,则得y=-z,x=z又∵AD1∥BC1,AB1∥DC1,AD1∩AB1=A,DC1∩BC1=C1,∴平面AB1D1∥平面BDC1.∴平面AB1D1与平面BDC1的距离可转化为点C1到平面AB1D1的距离d.∵C1B1=(a,0,0),平面AB1D1答案:D3已知二面角α-l-β为60°,动点P,Q分别在平面α,β内,点P到β的距离为3A.解析:作PM⊥β,QN⊥α,垂足分别为M,N.分别在平面α,β内作PE⊥l,QF⊥l,垂足分别为E,F,如图所示,连接ME,NF,则ME⊥l,∴∠PEM为二面角α-l-β的平面角.∴∠PEM=60°.在Rt△PME中,|同理又∴|PQ|2=4∴当|EF|此时答案:C4已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长是1,则点D1到AC的距离为.

解析:以A为原点,AB,AD,AA1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略),则A(0,0,0),C(1,1,0),D1(0,1,1).设M为AC的中点,则∵AD1=CD1,∴MD1即为D1到AC的距离.而|MD答案:65若向量a=(1,0,2),b=(0,2,1),a,b所在平面的一个法向量为n=(x,y,z),则向量c=(1,21,2)在n上的射影长是.解析:由已知得取z=2,则n=(-4,-1,2).则c在n上的射影长为d=答案:16在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点A到平面A1BD的距离为.

解析:以D为原点,以DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略),则D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),A1(a,0,a).设n=(x,y,z)为平面A1BD的法向量,则有∴x+∴n=(1,-1,-1).∴点A到平面A1BD的距离d=答案:37★如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,∠ACB=90°,侧棱AA1=2,D,E分别是CC1与A1B的中点,点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G.(1)求A1B与平面ABD所成角的余弦值;(2)求点A1到平面AED的距离.解:(1)连接BG,则BG是BE在平面ABD内的射影,即∠A1BG是A1B与平面ABD所成的角.建立如图所示的空间直角坐标系,坐标原点为C.设CA=2a(a>0),则A(2a,0,0),B(0,2a,0),D(0,0,1),A1(2a,0,2),E(a,a,1),G∴∴GE·BD∴∴cos∠A1BG=(2)由(1)有A(2,0,0),A1(2,0,2),E(1,1,1),D(0,0,1),则AE·ED=(-1,1,1)·AA1·ED=(0,0,2)·(∴ED⊥平面AA1E.又ED⊂平面AED,∴平面AED⊥平面AA1E.又平面AED∩平面AA1E=AE,∴点A1在平面AED上的射影K在AE上.设AK=λAE则由A1K·AE=0,得λ+λ+∴故点A1到平面AED的距离为8★如图,在矩形ABCD中,点E,F分别在线段AB,AD上,AE=EB=AF=23FD=4.沿直线EF将△AEF翻折成△(1)求二面角A'-FD-C的余弦值;(2)点M,N分别在线段FD,BC上,若沿直线MN将四边形MNCD向上翻折,使点C与点A'重合,求线段FM的长.解:(1)取线段EF的中点H,连接A'H.因为A'E=A'F,H是EF的中点,所以A'H⊥EF.又因为平面A'EF⊥平面BEF,且A'H⊂平面A'EF,所以A'H⊥平面BEF.如图,建立空间直角坐标系,则A'(2,2,2故设n=(x,y,z)为平面A'FD的一个法向量,所以