2024-2025学年高中数学第2讲直线与圆的位置关系第2课时圆内接四边形的性质与判定定理课后提能训练新人教A版选修4-1

PAGE1-第2课时圆内接四边形的性质与判定定理素养训练1．圆内接四边形ABCD中，AB＝39，BC＝25，CD＝60，DA＝52，则圆的直径为()A．62 B．63C．65 D．66【答案】C【解析】连接BD，由余弦定理得BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cosA＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos(π－A)，即392＋522－2×39×52×cosA＝252＋602＋2×25×60×cosA，∴cosA＝0.∴A＝90°.∴BD为圆的直径，BD＝eq\r(BC2＋CD2)＝eq\r(252＋602)＝65.故选C．2．如图所示，圆内接四边形ABCD中，AB＝2，BC＝6，CD＝DA＝4，则四边形的面积为()A．eq\f(16,3) B．8C．eq\f(32,3) D．8eq\r(3)【答案】D【解析】连接BD，由余弦定理得BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cosA＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos(π－A)，即22＋42－2×2×4×cosA＝62＋42＋2×6×4×cosA，∴cosA＝－eq\f(1,2).∴A＝120°.∴S＝S△ABD＋S△BCD＝eq\f(1,2)AB·AD·sinA＋eq\f(1,2)BC·CD·sinC＝8eq\r(3).故选D．3．如图所示，圆内接四边形ABCD中，AC为BD的垂直平分线，∠ACB＝60°，AB＝a，则CD＝()A．eq\f(\r(3),3)a B．eq\f(\r(3),2)aC．eq\f(1,2)a D．eq\f(1,3)a【答案】A【解析】由已知AC为直径，∴∠ABC＝90°.又∠ACB＝60°，∴BC＝eq\f(1,\r(3))a.∴CD＝BC＝eq\f(1,\r(3))a＝eq\f(\r(3),3)a.故选A．4．圆内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，则∠D的度数是________．【答案】90°【解析】设∠A＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，∠D＝180°－2x，由∠A＋∠C＝x＋3x＝180°，∴x＝45°.∴∠A＝45°，∠B＝90°，∠C＝135°，∠D＝90°.5．如图所示，AD，BE是△ABC的两条高，∠ABC＝60°，则∠CED＝________.【答案】60°【解析】∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴△ABD和△ABE均为直角三角形，D，E均在以AB为直径的圆上．∴A，B，D，E四点共圆．∴∠CED＝∠ABC＝60°.6．如图所示，已知四边形ABCD内接于圆，延长AB和DC相交于E，EG平分∠AED且与BC，AD分别相交于F，G.若∠CFG＝80°，则∠DGF＝________.【答案】80°【解析】∵A，B，C，D四点共圆，∴∠FCE＝∠A．∵∠CFG＝∠FCE＋∠CEF，∠DGF＝∠A＋∠AEG，而∠AEG＝∠CEF，∴∠CFG＝∠DGF＝80°.7．如图所示，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点且EC＝ED．(1)求证：CD∥AB；(2)延长CD到F，延长DC到G，使得EF＝EG，求证：A，B，G，F四点共圆．【证明】(1)因为EC＝ED，所以∠EDC＝∠ECD．因为A，B，C，D四点在同一圆上，所以∠EDC＝∠EBA．故∠ECD＝∠EBA，所以CD∥AB．(2)因为EF＝EG，故∠EFD＝∠EGC．又由(1)知∠EDC＝∠ECD，从而∠FED＝∠GEC．由∠EDC＝∠EBA，∠ECD＝∠EAB，可得∠EAB＝∠EBA，所以AE＝BE.连接AF，BG，则△EFA≌△EGB，故∠FAE＝∠GBE.所以∠FAB＝∠GBA．又CD∥AB，所以∠AFG＋∠GBA＝180°.故A，B，G，F四点共圆．8．(2015年庆阳模拟)如图，A，B，C，D四点在同一圆上，BC与AD的延长线交于点E，点F在BA的延长线上．(1)若eq\f(EC,EB)＝eq\f(1,3)，eq\f(ED,EA)＝eq\f(1,2)，求eq\f(DC,AB)的值；(2)若EF2＝FA·FB，求证：EF∥CD．【解析】(1)∵A，B，C，D四点共圆，∴∠ECD＝∠EAB，∠EDC＝∠B．∴△EDC∽△EBA，可得eq\f(ED,EB)＝eq\f(EC,EA)＝eq\f(DC,AB).∴eq\f(ED,EB)·eq\f(EC,EA)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(DC,AB)))2，即eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(DC,AB)))2.∴eq\f(DC,AB)＝eq\f(\r(6),6).(2)∵EF2＝FA·FB，∴eq\f(EF,FA)＝eq\f(FB,FE).又∠EFA＝∠BFE，∴△FAE∽△FEB．∴∠FEA＝∠B．∵A，B，C，D四点共圆，∴∠EDC＝∠B．∴∠FEA＝∠EDC．∴EF∥CD．实力提升9．如图所示，已知△ABC的两条角平分线AD和CE相交于H，∠B＝60°，F在AC上且AE＝AF.(1)求证：B，D，H，E四点共圆；(2)求证：CE平分∠DEF.【证明】(1)在△ABC中，因为∠B＝60°，所以∠BAC＋∠BCA＝120°.因为AD，CE是角平分线，所以∠HAC＋∠HCA＝60°.故∠AHC＝120°.于是∠EHD＝∠AHC＝120°.因为∠EBD＋∠EHD＝180°，所以B，D，H，E四