2024-2025学年高中数学第1章数列2.1等差数列第2课时等差数列的性质教案北师大版必修5

PAGE1-第2课时等差数列的性质学习目标核心素养1.驾驭等差中项的概念及其应用．2．驾驭等差数列的项与序号的性质．(重点)3．理解等差数列的项的对称性．(重点)4．能够娴熟应用等差数列的性质解决有关实际问题．(难点)1.通过对等差数列性质的探讨培育逻辑推理的素养．2．通过学习等差中项的概念提升数学运算的素养.1．等差数列的单调性与图像阅读教材P13“练习1”以下“例5”以上部分，完成下列问题(1)等差数列的图像由an＝dn＋(a1－d)，可知其图像是直线y＝dx＋(a1－d)上的一些等间隔的点，其中公差d是该直线的斜率．(2)从函数角度探讨等差数列的性质与图像由an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，可知其图像是直线y＝dx＋(a1－d)上的一些等间隔的点，这些点的横坐标是正整数，其中公差d是该直线的斜率，即自变量每增加1，函数值增加d.当d＞0时，{an}为递增数列，如图(甲)所示．当d＜0时，{an}为递减数列，如图(乙)所示．当d＝0时，{an}为常数列，如图(丙)所示．甲乙丙思索：(1)等差数列{an}中，a3＝4，a4＝2，则数列{an}是递增数列，还是递减数列？[提示]因为公差d＝a4－a3＝－2＜0，所以数列{an}是递减数列．(2)等差数列的公差与直线的斜率之间有什么关系？[提示]等差数列的公差相当于图像法表示数时直线的斜率．2．等差中项假如在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫作a与b的等差中项．思索：(1)若A是a与b的等差中项，如何用a和b表示A?[提示]A＝eq\f(a＋b,2).(2)若数列{an}中，an是an－1和an＋1的等差中项，那么数列{an}是等差数列吗？为什么？[提示]是．因为an是an－1和an＋1的等差中项，所以an－1，an，an＋1成等差数列，故an－an－1＝an＋1－an，由等差数列的定义知数列{an}是等差数列．1．等差数列a1，a2，a3，…，an的公差为d，则数列5a1,5a2,5a3，…，5A．公差为d的等差数列B．公差为5d的等差数列C．非等差数列D．以上都不对B[由等差数列的定义知an－an－1＝d，所以5an－5an－1＝5(an－an－1)＝5d，故选B．]2．等差数列{an}中，a2＝3，a7＝18，则公差为()A．3 B．eq\f(1,3)C．－3 D．－eq\f(1,3)A[a7－a2＝5d，即5d＝15，d＝3.]3．eq\r(2)＋1和eq\r(2)－1的等差中项为________．eq\r(2)[eq\f(\r(2)＋1＋\r(2)－1,2)＝eq\r(2).]4．等差数列{an}中，a3＝1，则a2＋a3＋a4＝________.3[a2＋a3＋a4＝(a2＋a4)＋a3＝2a3＋a3＝3a等差数列的性质【例1】(1)已知等差数列{an}中，a2＋a6＋a10＝1，求a4＋a8；(2)设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，求a11＋a12＋[解](1)法一：(通项公式法)依据等差数列的通项公式，得a2＋a6＋a10＝(a1＋d)＋(a1＋5d)＋(a1＋9d)＝3a1＋15d由题意知，3a1＋15d＝1，即a1＋5d＝eq\f(1,3).∴a4＋a8＝2a1＋10d＝2(a1＋5d)＝eq\f(2,3).法二：(等差数列性质法)依据等差数列性质a2＋a10＝a4＋a8＝2a6由a2＋a6＋a10＝1，得3a6＝1，解得a6＝eq\f(1,3)，∴a4＋a8＝2a6＝eq\f(2,3).(2){an}是公差为正数的等差数列，设公差为d(d>0)，∵a1＋a3＝2a2，∴a1＋a2＋a3＝15＝3a2，∴a2＝5，又a1a2a3＝80，∴a1a3＝(5－d)(5＋d)＝16⇒d＝3或d＝－3(舍去)，∴a12＝a2＋10d＝35，a11＋a12＋a13＝3a12＝105.等差数列性质的应用解决本类问题一般有两种方法：一是运用等差数列{an}的性质：若m＋n＝p＋q＝2ω，则am＋an＝ap＋aq＝2aω(m，n，p，q，ω都是正整数)；二是利用通项公式转化为数列的首项与公差的结构完成运算，属于通性通法，两种方法都运用了整体代换与方程的思想．1．在公差为d的等差数列{an}中．(1)已知a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13；(2)已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求d.[解]法一：(1)化成a1和d的方程如下：(a1＋d)＋(a1＋2d)＋(a1＋22d)＋(a1＋23d)＝48，即4(a1＋12d)＝48.∴4a13＝48.∴a13＝12.(2)化成a1和d的方程组如下：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋d＋a1＋2d＋a1＋3d＋a1＋4d＝34，,a1＋d·a1＋4d＝52，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,d＝3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝16，,d＝－3.))∴d＝3或－3.法二：(1)由等差数列性质知a2＋a24＝a3＋a23，又a2＋a3＋a23＋a24＝48，∴a3＋a23＝24＝2a13，∴a13＝12.(2)由等差数列性质知，a2＋a5＝a3＋a4，又a2＋a3＋a4＋a5＝34，∴a2＋a5＝17.又∵a2·a5＝52，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝4，,a5＝13))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝13，,a5＝4，))∴d＝eq\f(13－4,5－2)＝3或d＝eq\f(4－13,5－2)＝－3.等差中项及其应用【例2】已知a，b，c成等差数列，求证：b＋c，c＋a，a＋b也成等差数列．[证明]因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，所以(b＋c)＋(a＋b)＝a＋2b＋c＝a＋(a＋c)＋c＝2(a＋c)，所以b＋c，c＋a，a＋b成等差数列．推断一个数列是等差数列的方法(1)定义法：an－an－1＝d(常数)(n≥2且n∈N＋)⇔{an}是等差数列．(2)通项法：an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N＋)⇔{an}是等差数列．(3)等差中项法：2an＝an－1＋an＋1(n≥2且n∈N＋)⇔{an}是等差数列．2．已知eq\f(1,a)，eq\f(1,b)，eq\f(1,c)成等差数列，求证：eq\f(b＋c,a)，eq\f(a＋c,b)，eq\f(a＋b,c)也成等差数列．[证明]因为eq\f(1,a)，eq\f(1,b)，eq\f(1,c)成等差数列，所以eq\f(2,b)＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,c)，即2ac＝b(a＋c)．因为eq\f(b＋c,a)＋eq\f(a＋b,c)＝eq\f(cb＋c＋aa＋b,ac)＝eq\f(c2＋a2＋ba＋c,ac)＝eq\f(a2＋c2＋2ac,ac)＝eq\f(2a＋c2,ba＋c)＝eq\f(2a＋c,b)，所以eq\f(b＋c,a)，eq\f(a＋c,b)，eq\f(a＋b,c)成等差数列．等差数列性质的综合应用[探究问题]1．若数列{an}是公差为d的等差数列，am和an分别是数列的第m项和第n项，怎样用am，an表示公差d？在等差数列中，d的几何意义是什么？[提示]d＝eq\f(am－an,m－n)，d的几何意义是等差数列所在图像的斜率．2．等差数列{an}中，若m＋n＝p，是否有am＋an＝ap成立？[提示]am＋an＝a1＋(m－1)d＋a1＋(n－1)d＝2a1＋(m＋n－2)dap＝a1＋(p－1)d＝a1＋(m＋n－1)d，∴am＋an≠ap.3．若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列{λan＋b}(λ，b是常数)是等差数列吗？若是，公差是多少？[提示](λan＋1＋b)－(λan＋b)＝λ(an＋1－an)＝λd(与n无关的常数)，故{λan＋b}为等差数列，公差为λd.【例3】在等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝84，a9＝73，求数列{an}的通项公式．思路探究：法一：由条件列出关于a1和d的方程组，求出a1和d，可得an；法二：利用等差数列的性质求d，利用an＝am＋(n－m)d，求an.[解]法一(方程组法)：由a3＋a4＋a5＝84，a9＝73，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a1＋9d＝84，,a1＋8d＝73，))解得d＝9，a1＝1，故an＝1＋9(n－1)＝9n－8.法二(等差数列性质法)：因为a3＋a4＋a5＝3a4，a3＋a4＋a5＝84，故3a4＝84，得a4＝28，又a9－a4＝5d＝45，解得d＝9.所以an＝a4＋(n－4)d＝28＋9(n－4)＝9n－8.1．(变条件)在例3中，若条件“a3＋a4＋a5＝84”改为“a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝100”，其余不变，求an.[解]因为a2＋a10＝a4＋a8＝2a6，故5a6＝100，a6＝20，又a9＝73，故a9－a6＝53＝3d，故d＝eq\f(53,3).所以an＝a6＋(n－6)d＝20＋eq\f(53,3)(n－6)＝eq\f(53,3)n－86.2．(变结论)例3的条件不变，若数列{bn}是等差数列，其公差为3，那么数列{2an＋3bn}是等差数列吗？若是，求出其公差．[解](2an＋1＋3bn＋1)－(2an＋3bn)＝2(an＋1－an)＋3(bn＋1－bn)＝2×9＋3×3＝27，所以数列{2an＋3bn}是等差数列，其公差为27.等差数列的性质若数列{an}是公差为d的等差数列，则有下列性质：(1)在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则am＋an＝ap＋aq.(2)若给出等差数列的第m项am和第n项an(n＞m)，则an＝am＋(n－m)d或d＝eq\f(an－am,n－m).(3){an}是有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和相等，且等于首末两项之和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ai＋an－i＋1＝….(4)若数列{an}为等差数列，则数列{λan＋b}(λ，b是常数)是公差为λd的等差数列．(5)若数列{an}为等差数列，则下标成等差数列且公差为m的项ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N＋)组成公差为md(6)若数列{an}与{bn}均为等差数列，则{Aan＋Bbn}(A，B是常数)也是等差数列．1．等差数列{an}的公差本质上是相应直线的斜率，所以等差数列的单调性仅与公差d的正负有关．特殊地，假如已知等差数列{an}的随意两项an，am，由an＝am＋(n－m)d，类比直线方程的斜率公式，得d＝eq\f(an－am,n－m)(m≠n)．2．在等差数列{an}中，每隔相同数目的项抽出来的项依据原来的依次排列，构成的新数列仍旧是等差数列．3．在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，假如条件与结论间的联系不明显，则均可依据a1，d的关系列方程组求解，但是，要留意公式的变形及整体计算，以削减计算量．1．推断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)等差数列的图像要么是上升的、要么是下降的．()(2)等差数列{an}中，a3＋a4＝a2＋a5.()(3)任何两个数都有等差中项．()[答案](1)×(2)√(3)√[提示](1)不正确，当公差d＝0时，其图像的连线平行于x轴；(2)(3)正确．2．已知在等差数列{an}中，a1＋a2＋…＋a10＝30，则a5＋a6＝()A．3 B．6C．9 D．36B[因为数列{an}是等差数列，所以a1＋a2＋…＋a10＝5(a5＋a6)＝30，所以a5＋a6＝6.]3．在等差数列{an}中，若a4和a10的等差中项是3，又a2＝2，则an＝________