2024-2025学年高中物理第3章万有引力定律及其应用章末复习课学案含解析粤教版必修2

PAGE8-章末复习课[体系构建][核心速填]一、开普勒行星运动定律和万有引力定律1．开普勒行星运动定律(1)第肯定律(又称轨道定律)：全部的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上(2)其次定律(又称面积定律)：行星和太阳之间的连线，在相等的时间内扫过相同的面积．(3)第三定律(又称周期定律)：行星绕太阳公转周期的平方和轨道半长轴的立方成正比，即eq\f(a3,T2)＝k.2．万有引力定律(1)内容：宇宙间的一切物体都是相互吸引的．两个物体间引力的方向在它们的连线上，引力的大小跟它们的质量的乘积成正比，跟它们之间的距离的二次方成反比．(2)公式：F＝Geq\f(m1m2,r2).二、计算天体的质量1．地球质量的计算：若月球绕地球做匀速圆周运动，则月球绕地球做匀速圆周运动的向心力是由它们之间的万有引力供应的，依据Geq\f(Mm,r2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq\s\up20(2)r可得M＝eq\f(4π2r3,GT2)，知道月球绕地球运动的周期T以及它和地球之间的距离r就可以算出地球的质量．2．行星(或中心天体)的质量计算：已知卫星绕行星(或行星绕中心天体)运动的周期和卫星与行星(或行星与中心天体)之间的距离，同样可以计算出行星(或中心天体)的质量．三、人造卫星和宇宙速度1．近地卫星的速度：(1)原理：飞行器绕地球做匀速圆周运动，运动所需的向心力由万有引力供应，所以meq\f(v2,r)＝eq\f(GMm,r2)，解得v＝eq\r(\f(GM,r)).(2)结果：用地球半径R代表近地卫星到地心的距离r，可算出v＝eq\r(\f(6.67×10－11×5.98×1024,6.37×106))m/s≈7.9km/s.2．宇宙速度数值意义第一宇宙速度7.9km/s卫星在地球表面旁边绕地球做匀速圆周运动的速度其次宇宙速度11.2km/s使卫星摆脱地球引力束缚的最小地面放射速度第三宇宙速度16.7km/s使卫星摆脱太阳引力束缚的最小地面放射速度万有引力与重力的关系1.万有引力和重力的关系事实上，地面上物体所受的万有引力F可以分解为物体所受的重力mg和随地球自转而做圆周运动的向心力F′.其中F＝Geq\f(Mm,R2)，F′＝mrω2，质量为m的物体在地面上的万有引力F大小不变，且F≫F′.(1)当物体在赤道上时，F、mg、F′三力同向．此时满意F′＋mg＝F，物体的重力最小，方向指向地心．(2)当物体在两极点时，F′＝0，F＝mg＝Geq\f(Mm,R2).(3)当物体在地球的其他位置时，三力方向不同，F＞mg，重力略小于万有引力，重力的方向不指向地心．(4)当忽视地球自转时，重力等于万有引力，即mg＝Geq\f(Mm,R2).(5)对于绕地球运行的近地卫星，所受的万有引力可认为等于卫星的重力．2．赤道上物体的向心加速度和卫星的向心加速度的区分放在赤道地面上的物体随地球自转所需的向心力是地球对物体的引力和地面支持力的合力供应的；而环绕地球运行的卫星所需的向心力完全由地球对卫星的引力供应(如图)．两个向心力的数值相差很大(如质量为1kg的物体在赤道上随地球自转所需的向心力只有0.034N，而它所受地球引力约为9.8N，近地卫星上每千克的物体所需的向心力是9.8N)，对应的两个向心加速度的计算方法也不同，赤道上的物体随地球自转的向心加速度a1＝ω2R＝(eq\f(2π,T))2R，式中T为地球自转周期，R为地球半径；卫星环绕地球运行的向心加速度a2＝eq\f(GM,r2)，式中M为地球质量，r为卫星与地心的距离．【例1】某星球“一天”的时间是T1＝6h，用弹簧测力计在星球的“赤道”上比在“两极”处测同一物体的重力时读数小10%，设想该星球自转的角速度加快，使赤道上的物体自动飘起来，这时星球的“一天”是多少小时？[解析]“一天”的含义是指该星球自转的周期设该物体在星球的“赤道”上时重力为G1，在两极处的重力为G2.在“赤道”处：Geq\f(Mm,R2)－G1＝meq\f(4π2,T\o\al(2,1))R ①在“两极”处：Geq\f(Mm,R2)＝G2 ②G2－G1＝G2·10% ③由①②③式得Geq\f(Mm,R2)·10%＝meq\f(4π2,T\o\al(2,1))R ④赤道上的物体自动飘起来也就是万有引力全部供应自转向心力，设星球自转的周期为T2时，即Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(4π2,T\o\al(2,2))R ⑤由④⑤两式可得T2＝eq\f(\r(10),10)T1≈1.9h.[答案]1.9h1．设地球自转周期为T，质量为M，引力常数为G.假设地球可视为质量匀称分布的球体，半径为R.同一物体在南极和赤道水平面上静止时所受到的支持力之比为()A.eq\f(GMT2,GMT2－4π2R3)B.eq\f(GMT2,GMT2＋4π2R3)C.eq\f(GMT2－4π2R3,GMT2) D.eq\f(GMT2＋4π2R3,GMT2)A[在南极时物体受力平衡，支持力等于万有引力，即N＝Geq\f(mM,R2)；在赤道上物体由于随地球一起自转，万有引力与支持力的合力供应向心力，即Geq\f(mM,R2)－N′＝mReq\f(4π2,T2)，两式联立可知A正确．]天体运动规律的“一”、“二”、“三”分析处理天体运动问题，要抓住“一个模型”、应用“两个思路”、区分“三个不同”．1．一个模型无论是自然天体(如行星、月球等)，还是人造天体(如人造卫星、空间站等)，只要天体的运动轨迹为圆形，就可将其简化为质点的匀速圆周运动．2．两个思路(1)全部做圆周运动的天体，所需的向心力都来自万有引力．因此，向心力等于万有引力，据此所列方程是探讨天体运动的基本关系式，即Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\f(4π2,T2)r＝man(2)不考虑地球或天体自转影响时，物体在地球或天体表面受到的万有引力约等于物体的重力，即Geq\f(Mm,R2)＝mg，变形得GM＝gR2，此式通常称为“黄金代换式”．3．三个不同(1)不同公式中r的含义不同．在万有引力定律公式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(F＝G\f(m1m2,r2)))中，r的含义是两质点间的距离；在向心力公式(F＝meq\f(v2,r)＝mω2r)中，r的含义是质点运动的轨道半径．当一个天体绕另一个天体做匀速圆周运动时，两式中的r相等．(2)运行速度、放射速度和宇宙速度的含义不同．三种速度的比较，如下表所示比较项概念大小影响因素运行速度卫星绕中心天体做匀速圆周运动的速度v＝eq\r(\f(GM,r))轨道半径r越大，v越小放射速度在地面上放射卫星的速度大于或等于7.9km/s卫星的放射高度越高，放射速度越大宇宙速度实现某种效果所需的最小卫星放射速度7.9km/s11.2km/s16.7km/s不同卫星放射要求不同(3)卫星的向心加速度a、地球表面的重力加速度g、在地球表面的物体随地球自转做匀速圆周运动的向心加速度a′的含义不同．①绕地球做匀速圆周运动的卫星的向心加速度a，由Geq\f(Mm,r2)＝ma，得a＝eq\f(GM,r2)，其中r为卫星的轨道半径．②若不考虑地球自转的影响，地球表面的重力加速度为g＝eq\f(GM,R2)，其中R为地球的半径．③地球表面的物体随地球自转做匀速圆周运动的向心加速度a′＝ω2Rcosθ，其中ω、R分别是地球的自转角速度和半径，θ是物体所在位置的纬度值．【例2】(多选)已知地球质量为M，半径为R，自转周期为T，地球同步卫星质量为m，引力常量为G，有关同步卫星，下列表述正确的是()A．卫星距地面的高度为eq\r(3,\f(GMT2,4π2))B．卫星的运行速度小于第一宇宙速度C．卫星运行时受到的向心力大小为Geq\f(Mm,R2)D．卫星运行的向心加速度小于地球表面的重力加速度BD[对同步卫星由万有引力供应向心力Geq\f(Mm,R＋h2)＝m(R＋h)eq\f(4π2,T2)，所以h＝eq\r(3,\f(GMT2,4π2))－R，A错误；第一宇宙速度是最大的环绕速度，B正确；同步卫星运动的向心力等于万有引力，应为F＝eq\f(GMm,R＋h2)，C错误；同步卫星的向心加速度为a同＝eq\f(GM,R＋h2)，地球表面的重力加速度a表＝eq\f(GM,R2)，知a表>a同，D正确．][一语通关]解决天体运动的基本思路,解决天体运动问题的思路1将天体运动视为匀速圆周运动.2万有引力供应向心力，依据已知条件敏捷选择合适的表达式eq\f(GMm,r2)＝eq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\f(4π2,T2)r.3关于地球卫星的问题，有时还会应用GM＝gR2做代换.2．我国胜利放射探月卫星“嫦娥三号”，该卫星在环月圆轨道绕行n圈所用的时间为t，月球半径为R0，月球表面处重力加速度为g0.(1)请推导出“嫦娥三号”卫星离月球表面高度的表达式；(2)已知地球和月球的半径之比为eq\f(R,R0)＝4，表面重力加速度之比为eq\f(g,g0)＝6，试求地球和月球的密度之比．[解析](1)由题意知，“嫦娥三号”卫星的周期为T＝eq\f(t,n)设卫星离月球表面的高度为h，由万有引力供应向心力得Geq\f(Mm,R0＋h2)＝m(R0＋h)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq\s\up20(2)又Geq\f(Mm′,R\o\al(2,0))＝m′g0联立解得h＝eq\r(3,\f(g0R\o\al(2,0)t2,4π2n2))－R0.(2)设星球的密度为ρ，由Geq\f(Mm′,R2)＝m′g得GM＝gR2ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)联立解得ρ＝eq\f(3g,4πGR)设地球、月球的密度分别为ρ0、ρ1，则eq\f(ρ0,ρ1)＝eq\f(g·R0,g0·R)将eq\f(R,R0)＝4，eq\f(g,g0)＝6代入上式，解得ρ0∶ρ1＝3∶2.[答案](1)eq\r(3,\f(g0R\o\al(2,0)t2,4π2n2))－R0(2)3∶2双星问题1.双星众多的天体中假如有两颗恒星，它们靠得较近，在万有引力作用下围着它们连线上的某一点共同转动，这样的两颗恒星称为双星．2．双星问题特点如图所示为质量分别是m1和m2的两颗相距较近的恒星．它们间的距离为L.此双星问题的特点是：(1)两星的运行轨道为同心圆，圆心是它们之间连线上的某一点；(2)两星的向心力大小相等，由它们间的万有引力供应；(3)两星的运动周期、角速度相同；(4)两星的运动半径之和等于它们间的距离，即r1＋r2＝L.3．双星问题的处理方法双星间的万有引力供应了它们做圆周运动的向心力，即Geq\f(m1m2,L2)＝m1ω2r1＝m2ω2r2，由此得出：(1)m1r1＝m2r2，即某恒星的运动半径与其质量成反比．(2)由于ω＝eq\f(2π,T)，r1＋r2＝L，所以两恒星的质量之和m1＋m2＝eq\f(4π2L3,GT2).【例3】宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，而不会因万有引力的作用吸引到一起．(1)试证明它们的轨道半径之比、线速度之比都等于质量的反比．(2)设两者的质量分别为m1和m2，两者相距L，试写出它们角速度的表达式．[解析](1)证明：两天体绕同一点做匀速圆周运动的角速度ω肯定相同．它们做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力供应，所以两天体与它们的圆心总是在一条直线上．设两者的圆心为O点，轨道半径分别为R1和R2，如图所示．对两天体，由万有引力定律可分别列出Geq\f(m1m2,L2)＝m1ω2R1 ①Geq\f(m1m2,L2)＝m2ω2R2 ②所以eq\f(R1,R2)＝eq\f(m2,m1)，所以eq\f(v1,v2)＝eq\f(R1ω,R2ω)＝eq\f(R1,R2)＝eq\f(m2,m1)，即它们的轨道半径、线速度之比都等于质量的反比．(2)由①②两式相加得Geq\f(m1＋m2,L2)＝ω2(R1＋R2)③因为R1＋R2＝L，所以ω＝eq\r(\f(Gm1＋m2,L3)).[答案](1)见解析(2)ω＝eq\r(\f(Gm1＋m2,L3))[一语通关]双星问题的处理方法及两个结论1．处理方法：双星间的万有引力供应了它们做圆周运动的向心力．即Geq\f(m1m2,L2)＝m1ω2r1＝m2ω2r2.2．双星的两个结论(1)运动半径：与质量成反比，即eq\f(r1,r2)＝eq\f(m2,m1).(2)质量之和：m1＋m2＝eq\f(4π2L3,GT2).3．如图所示，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O点做周期相同的匀速圆周运动．现测得两颗星之间的距离为L，质量之比为m1∶m2＝3∶2，下列说法中正确的是()A．