备战2023年高考数学一轮复习-第2讲-第2课时-函数的奇偶性、周期性、对称性

第2课时函数的奇偶性、周期性、对称性第二章第2讲函数的基本性质考向预测核心素养以理解函数的奇偶性、会用函数的奇偶性为主，常与函数的单调性、周期性交汇命题，题型以选择题、填空题为主，中档偏上难度.数学抽象、逻辑推理01基础知识回顾一、知识梳理1．函数的奇偶性

偶函数奇函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且____________一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且______________图象特征关于______对称关于______对称f(－x)＝f(x)f(－x)＝－f(x)y轴原点[注意]奇、偶函数定义域的特点是关于原点对称，函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件．2．函数的周期性(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且___________________，那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数T叫做这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的______，那么这个最小______就叫做f(x)的____________．[注意]并非所有周期函数都有最小正周期．f(x＋T)＝f(x)正数正数最小正周期

常用结论2．函数奇偶性常用结论(1)如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则一定有f(0)＝0.如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(2)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．√2．(人A必修第一册P86习题3.2T11改编)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x(1＋x)，则f(－1)＝________．解析：f(1)＝1×2＝2，又f(x)为奇函数，所以f(－1)＝－f(1)＝－2.答案：－2一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(

)(2)函数y＝x(x>0)是偶函数．(

)××二、易错纠偏1．(判定函数奇偶性忽视定义域致误)函数f(x)＝是________函数．(填“奇”“偶”“非奇非偶”)答案：奇2．(不能灵活利用函数性质致误)设函数f(x)是定义在R上周期为3的奇函数，且f(1)＝2，则f(2022)＋f(2023)＋f(2024)＝________．解析：因为函数f(x)是定义在R上周期为3的奇函数，所以f(0)＝0，且f(－x)＝－f(x)，f(x＋3)＝f(x)，所以f(2022)＝f(0)＝0，f(2023)＝f(1)＝2，f(2024)＝f(2)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，所以f(2022)＋f(2023)＋f(2024)＝0.答案：002核心考点共研考点一函数的奇偶性(多维探究)复习指导：结合具体函数了解奇偶性的含义，并运用函数图象理解和研究函数的性质．【解】

(3)f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称．又f(－1)＝f(1)＝0，f(－1)＝－f(1)＝0，所以f(x)既是奇函数又是偶函数．【解】

(4)如图，作出函数f(x)的图象，由奇函数的图象关于原点对称的特征知函数f(x)为奇函数．判定函数奇偶性的2种常用方法(1)定义法(2)图象法[提醒]

(1)对函数奇偶性的判断，不能用特殊值法．(2)分段函数奇偶性的判断，要分别从x>0和x<0来寻找等式f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性．角度2函数奇偶性的应用

(1)若函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝log2(x＋2)－1，则f(－6)＝(

)A．2B.4C.－2D.－4【解析】

(1)根据题意得f(－6)＝－f(6)＝1－log2(6＋2)＝1－3＝－2.√(2)(2021·新高考卷Ⅰ)已知函数f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函数，则a＝________．【解析】

(2)因为f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数，所以f(－x)＝f(x)对任意的x∈R恒成立，所以(－x)3(a·2－x－2x)＝x3(a·2x－2－x)对任意的x∈R恒成立，所以x3(a－1)(2x＋2－x)＝0对任意的x∈R恒成立，所以a＝1.【答案】

(2)1|跟踪训练|1．(2021·高考全国卷乙)设函数f(x)＝

，则下列函数中为奇函数的是(

)A．f(x－1)－1 B.f(x－1)＋1C．f(x＋1)－1 D.f(x＋1)＋1解析：

f(x)＝

，为保证函数变换之后为奇函数，需将函数y＝f(x)的图象向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度，得到的图象对应的函数为y＝f(x－1)＋1.√2．设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x<0时，f(x)＝________．解析：当x<0时，－x>0，因为当x≥0时，f(x)＝ex－1，所以f(－x)＝e－x－1.又因为f(x)为奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－e－x＋1.答案：－e－x＋1考点二函数的周期性(综合研析)复习指导：结合具体函数了解函数的周期性．√√A．f(x)为奇函数B．f(x)为偶函数C．f(x)是周期为3的周期函数D．f(0)＋f(1)＋…＋f(2021)＝0√√因为

＝－f(2)＝－1，所以f(1)＝1，所以f(0)＋f(1)＋f(2)＝－2＋1＋1＝0，所以f(0)＋f(1)＋…＋f(2021)＝0，所以D正确；因为f(1)＝1，f(－1)＝1，所以f(x)不可能为奇函数，所以A错误；函数周期性的判定与应用(1)判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)，便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．|跟踪训练|1．(2022·安徽亳州高三月考)函数f(x)满足f(x)＝－f(x＋4)，若f(2)＝3，则f(2022)＝(

)A．3B.－3C.6D.2022解析：因为函数f(x)满足f(x)＝－f(x＋4)，即f(x＋4)＝－f(x)，则f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)是周期函数，周期为8，所以f(2022)＝f(252×8＋6)＝f(6)＝－f(2)＝－3.√2．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3，0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________．解析：因为f(x＋4)＝f(x－2)，所以f[(x＋2)＋4]＝f[(x＋2)－2]，即f(x＋6)＝f(x)，所以f(x)是周期为6的周期函数，所以f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)．又f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(1)＝f(－1)＝6，即f(919)＝6.答案：6考点三函数的对称性(综合研析)复习指导：1.函数的奇偶性延伸可得函数的对称性；2．函数的奇偶性和对称性要结合函数图象灵活运用．【解析】

因为f(x)是定义在R上的偶函数，设g(x)＝x3f(x)，则g(x)是定义在R上的奇函数，其图象关于原点对称，由此可知函数F(x)＝(x＋2)3f(x＋2)－17＝g(x＋2)－17的图象关于点(－2，－17)对称．【答案】－19m函数图象的对称性的常用结论(1)函数y＝f(x＋a)是偶函数⇔f(a－x)＝f(a＋x)⇔f(2a－x)＝f(x)⇔函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；(2)函数y＝f(x＋b)是奇函数⇔f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0⇔f(2b－x)＝－f(x)⇔函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称．|跟踪训练|若函数f(x－2)为奇函数，f(－2)＝0，且f(x)在区间[－2，＋∞)上单调递减，则不等式f(3－x)>0的解集为________．解析：因为函数f(x－2)为奇函数，所以f(x－2)图象的对称中心为点(0，0)．因为f(x)的图象可由f(x－2)的图象向左平移两个单位长度而得，所以f(x)的图象关于点(－2，0)对称．因为f(x)在[－2，＋∞)上单调递减，所以f(x)在(－∞，－2]上也单调递减．因为f(3－x)>0＝f(－2)，所以3－x<－2，解得x>5.答案：(5，＋∞)考点四函数性质的综合应用(多维探究)复习指导：解决函数性质的综合问题，通常先利用奇偶性和对称性得到函数的周期性，然后利用周期性转化函数自变量所在的区间，再利用单调性求解．角度1求函数值或解析式

(1)设f(x)是定义在R上的以4为周期的奇函数，当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－x2，则x∈[2，4]时函数f(x)的解析式为__________．【解析】

(1)当x∈[－2，0]时，－x∈[0，2]，由已知得f(－x)＝2×(－x)－(－x)2＝－2x－x2，又f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2.所以f(x)＝x2＋2x.又当x∈[2，4]时，x－4∈[－2，0]，所以f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)．又f(x)是周期为4的周期函数，所以f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8.故当x∈[2，4]时，f(x)＝x2－6x＋8.【答案】

(1)f(x)＝x2－6x＋8(x∈[2，4])

(2)已知定义在R上的函数f(x)，对任意实数x有f(x＋4)＝－f(x)，若函数f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，f(－2)＝2，则f(2026)＝________．【解析】

(2)由函数y＝f(x－1)的图象关于直线x＝1对称可知，函数f(x)的图象关于y轴对称，故f(x)为偶函数．由f(x＋4)＝－f(x)，得f(x＋4＋4)＝－f(x＋4)＝f(x)，所以f(x)是周期T＝8的偶函数，所以f(2026)＝f(2＋253×8)＝f(2)＝f(－2)＝2.【答案】

(2)2角度2解不等式或求参数范围

(1)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)．若f(2)>1，f(7)＝a，则实数a的取值范围为(

)A．(－∞，－3)

B.(3，＋∞)C．(－∞，－1)D.(1，＋∞)【解析】

(1)因为f(x＋3)＝f(x)，所以f(x)是定义在R上的以3为周期的周期函数，所以f(7)＝f(7－9)＝f(－2)．又因为函数f(x)是偶函数，所以f(－2)＝f(2)，所以f(7)＝f(2)>1，所以a>1，即a∈(1，＋∞)．√(2)(2022·石家庄市模拟(一))已知f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x)＝f(2－x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝4x－1，则在(1，3)上，f(x)≤1的解集是(

)√函数的奇偶性、对称性、周期性和单调性是函数的四大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性、对称性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．

√√解析：当x>0时，－x<0，因为x≤0时，f(x)＝x(x＋1)，所以f(－x)＝－x(－x＋1)，又因为y＝f(x)是定义在R上的偶函数，所以x>0时，f(x)＝－x(－x＋1)＝x2－x，即f(x)＝其函数图象如图所示，对A，由图知，函数f(x)有4个单调区间，故A错误；对B，由上述分析知，B正确；对D，由图知，不等式f(x)<0的解集是(－1，0)∪(0，1)，故D错误．2．函数y＝f(x)对任意x∈R都有f(x＋2)＝f(－x)成立，且函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，f(1)＝4，则f(2020)＋f(2021)＋f(2022)＝________．解析：因为函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，所以函数y＝f(x)的图象关于原点对称，即函数f(x)为奇函数，所以f(0)＝0.又f(x＋2)＝f(－x)＝－f(x)，所以f(x)的周期T＝4，f(2)＝－f(0)＝0，f(2020)＋f(2021)＋f(2022)＝f(0)＋f(1)＋f(2)＝4.答案：403课后达标检测√[A基础达标]1．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是(

)2．已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋m，则f(－2)＝(

)

解析：由题意得f(0)＝20＋m＝0，解得m＝－1，则f(－2)＝－f(2)＝－(22－1)＝－3.√√3．已知定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，f(3－x)＝f(x)，则f(2025)＝(

)A．－3B.0C.1D.3解析：用－x替代x，得到f(x＋3)＝f(－x)＝－f(x)，所以T＝6，所以f(2025)＝f(337×6＋3)＝f(3)．因为f(3－x)＝f(x)，所以f(3)＝f(0)＝0.所以f(2025)＝0.√

√√√6．(多选)(2022·山东师大附中第二次月考)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－3)＝－f(x)，当x∈[0，3]时，f(x)＝x2－3x，则以下关于f(x)的结论正确的有(

)√解析：因为f(x)满足f(x－3)＝－f(x)，所以f(x－6)＝－f(x－3)＝f(x)，故函数f(x)是周期为6的周期函数，故A正确；对于C选项，结合周期性得f(2021)＝f(336×6＋5)＝f(5)＝f(－1)＝－f(1)＝－(1－3)＝2，故C正确．7．已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(2－x)－f(x)＝0，f(0)＝

，则f(10)＝________．解析：由题意，得f(2－x)＝f(－x)，即f(x)＝f(x＋2)，所以函数f(x)是以2为周期的周期函数，则f(10)＝f(2×5)＝f(0)＝

.答案：8．若函数f(x)＝ax＋b，x∈[a－4，a]的图象关于原点对称，则a＝________，函数g(x)＝bx＋

，x∈[－4，－1]的值域为________．[B综合应用]9．已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(2＋x)＋f(x)＝0，当x∈[－2，0]时，f(x)＝－x2－2x，则当x∈[4，6]时，y＝f(x)的最小值为(

)A．－8B.－1C.0D.1解析：由题意知函数f(x)是以4为周期的周期函数，又当x∈[－2，0]时，f(x)＝－x2－2x，且f(x)是定义在R上的奇函数，所以当x∈[0，2]时，f(x)＝x2－2x，所以当x∈[4，6]时，f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2－2(x－4)＝x2－10x＋24＝(x－5)2－1，所以当x＝5时，函数f(x)的最小值为f(5)＝－1.√A．0B.1C.2D.3√11．(多选)(2022·重庆第四次月考)设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在非零常数T，对于任意x∈D，都有f(x＋T)＝T·f(x)，则称函数y＝f(x)是“元周期函数”，非零常数T为函数y＝f(x)的“元周期”．现有下面四个关于“元周期函数”的结论，其中正确的是(

)A．如果“元周期函数”y＝f(x)的“元周期”为－1，那么它是周期为2的周期函数B．函数f(x)＝3x是“元周期函数”C．常数函数f(x)＝c是“元周期函数”D．如果函数f(x)＝sinωx是“元周期函数”，那么“ω＝2kπ，k∈Z或ω＝(2k＋1)π，k∈Z”√√√解析：

A选项：因为“元周期函数”y＝f(x)的“元周期”为－1，所以f(x－1)＝－f(x)，所以f(x－2)＝－f(x－1)＝f(x)，故y＝f(x)是周期为2的周期函数，故A正确；B选项：若函数f(x)＝3x是“元周期函数”，则存在非零常数T，使