福建专版2020中考数学复习方案第四单元三角形课时训练21直角三角形及勾股定理

PAGEPAGE1课时训练(二十一)直角三角形及勾股定理(限时:40分钟)|夯实基础|1.[2019春·武汉新洲区期末]由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是 ()A.∠A+∠B=∠C B.∠A∶∠B∶∠C=1∶3∶2C.a=2,b=3,c=4 D.(b+c)(b-c)=a22.如图K21-1,正方形ABCD的面积为1,则以相邻两边中点连线EF为边的正方形EFGH的周长为 ()图K21-1A.2 B.22 C.2+1 D.22+13.[2019·福建模拟]如图K21-2,在△ABC中,∠B=30°,BC的垂直平分线交AB于点E,垂足为D,如果CE=8,则ED的长为 ()图K21-2A.2 B.3 C.4 D.64.[2019·张家口一模]如图K21-3,长为8cm的橡皮筋放置在x轴上,固定两端A和B,然后把中点C向上拉升3cm至D点,则橡皮筋被拉长了 ()图K21-3A.2cm B.3cm C.4cm D.5cm5.[2018·扬州]如图K21-4,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,CE平分∠ACD交AB于E,则下列结论一定成立的是 ()图K21-4A.BC=EC B.EC=BEC.BC=BE D.AE=EC6.选择用反证法证明“已知:在△ABC中,∠C=90°.求证:∠A,∠B中至少有一个角不大于45°”时,应先假设 ()A.∠A>45°,∠B>45° B.∠A≥45°,∠B≥45°C.∠A<45°,∠B<45° D.∠A≤45°,∠B≤45°7.[2018秋·湖州吴兴区期末]已知直角三角形两直角边长分别为1和3,则此直角三角形斜边上的中线长是.

8.[2019·营口站前区校级模拟]三角形三边长为6、8、10,则这个三角形的面积是.

9.[2019·厦门思明区校级模拟]“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲,如图K21-5所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形,设直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b,若(a+b)2=21,大正方形的面积为13,则小正方形的面积为.

图K21-510.[2019·东营二模]如图K21-6,长方体的底面边长分别为1cm和3cm,高为6cm.如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B,那么所用细线最短需要cm.

图K21-611.[2019春·三明沙县期末]如图K21-7,在△ABC中,DA⊥AB,AD=AB,EA⊥AC,AE=AC.(1)试说明△ACD≌△AEB;(2)若∠ACB=90°,连接CE.①说明CE平分∠ACB;②判断DC与EB的位置关系,并说明理由.图K21-7|能力提升|12.[2019春·德州德城区期末]如图K21-8所示,在数轴上点A所表示的数为a,则a的值为()图K21-8A.-1-5 B.1-5 C.-5 D.-1+513.[2019春·龙岩新罗区期末]如图K21-9,在△ABC中,AB=5,AC=13,BC边上的中线AD=6,则△ABD的面积是.

图K21-914.[2018·十堰]如图K21-10,Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,AC=62,点D,E分别是边BC,AC上的动点,则DA+DE的最小值为.

图K21-1015.如图K21-11所示,∠AOP=∠BOP=15°,PC∥OA交OB于C,PD⊥OA于D,若PC=4,则PD等于.

图K21-1116.[2019·巴中]如图K21-12,等边三角形ABC内有一点P,分别连接AP,BP,CP,若AP=6,BP=8,CP=10,则S△ABP+S△BPC=.

图K21-1217.[2017·齐齐哈尔]如图K21-13,在△ABC中,AD⊥BC于D,BD=AD,DG=DC,E,F分别是BG,AC的中点.(1)求证:DE=DF,DE⊥DF;(2)连接EF,若AC=10,求EF的长.图K21-13|思维拓展|18.[2019·福建二模]如图K21-14,已知A(3,6),B(0,n)(0<n≤6),作AC⊥AB,交x轴于点C,M为BC的中点,若P32,0,则PM的最小值为 ()图K21-14A.3 B.3817 C.455 19.[2019·鄂州]如图K21-15,已知线段AB=4,O是AB的中点,直线l经过点O,∠1=60°,P点是直线l上一点,当△APB为直角三角形时,BP=.

图K21-1520.已知点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点(不与A,B重合),分别过点A,B向直线CP作垂线,垂足分别为E,F,Q为斜边AB的中点.(1)如图K21-16①,当点P与点Q重合时,AE与BF的位置关系是,QE与QF的数量关系是.

(2)如图②,当点P在线段AB上不与点Q重合时,试判断QE与QF的数量关系,并给予证明.(3)如图③,当点P在线段BA(或AB)的延长线上时,此时(2)中的结论是否成立?请画出图形并给予证明.图K21-16

【参考答案】1.C[解析]A.∠A+∠B=∠C,可得∠C=90°,是直角三角形,不符合题意;B.∠A∶∠B∶∠C=1∶3∶2,可得∠B=90°,是直角三角形,不符合题意;C.∵22+32≠42,故不能判定是直角三角形,符合题意;D.∵(b+c)(b-c)=a2,∴b2-c2=a2,即a2+c2=b2,故是直角三角形,不符合题意.故选:C.2.B3.C[解析]∵DE垂直平分BC,∴BE=CE=8.在Rt△BED中,∠B=30°,BE=8,∴ED=12BE=4.故选:C4.A[解析]在Rt△ACD中,AC=12AB=4cm,CD=3cm根据勾股定理,得:AD=AC2∴AD+BD-AB=2AD-AB=10-8=2(cm).故橡皮筋被拉长了2cm.故选:A.5.C[解析]∵∠ACB=90°,CD⊥AB,∴∠ACD+∠BCD=90°,∠ACD+∠A=90°,∴∠BCD=∠A.∵CE平分∠ACD,∴∠ACE=∠DCE.又∵∠BEC=∠A+∠ACE,∠BCE=∠BCD+∠DCE,∴∠BEC=∠BCE,∴BC=BE.故选C.6.A7.1[解析]由勾股定理得,斜边=12+所以斜边上的中线长=12×2=1.故答案为:18.24[解析]∵三角形的三边长分别为6、8、10,而62+82=102,∴此三角形是直角三角形,∴三角形的面积S=12×6×8=249.5[解析]∵(a+b)2=21,∴a2+2ab+b2=21.∵大正方形的面积为13,∴a2+b2=13,∴2ab=21-13=8,∴小正方形的面积为13-8=5,故答案为:5.10.10[解析]将长方体侧面展开,连接AB',如图,∵AA'=3+1+3+1=8(cm),A'B'=6cm,根据两点之间线段最短,得AB'=82+6故答案为:10.11.解:(1)证明:∵DA⊥AB,EA⊥AC,∴∠DAB=∠CAE=90°,∴∠DAC=∠BAE,在△ACD和△AEB中,AD∴△ACD≌△AEB(SAS).(2)①如图①,∵EA⊥AC,AE=AC,∴∠ACE=45°.∵∠ACB=90°,∴∠BCE=90°-45°=45°,∴∠ACE=∠BCE,∴CE平分∠ACB.②DC与EB的位置关系是DC⊥EB.理由如下:分别延长DC,EB交于点F,如图②所示:∵∠ACB=90°,∠CAE=90°,∴CB∥AE,∴∠CBF=∠AEB.∵△ACD≌△AEB,∴∠AEB=∠ACD,∴∠CBF=∠ACD.∵∠ACD+∠BCF=180°-∠ACB=90°,∴∠CBF+∠BCF=90°,∴∠F=90°,∴DC⊥EB.12.A[解析]如图,点A在以O为圆心,OB长为半径的圆上.∵在Rt△BOC中,OC=2,BC=1,∴根据勾股定理知OB=OC2+BC∴OA=OB=5,∴a=-1-5.故选:A.13.15[解析]延长AD到点E,使DE=AD=6,连接CE,∵AD是BC边上的中线,∴BD=CD,在△ABD和△ECD中,BD∴△ABD≌△ECD(SAS),∴CE=AB=5,∠BAD=∠E.∵AE=2AD=12,CE=5,AC=13,∴CE2+AE2=AC2,∴∠E=90°,∴∠BAD=90°,即△ABD为直角三角形,∴△ABD的面积=12AD·AB=故答案为:15.14.163[解析]如图,作A关于BC的对称点A',连接AA',交BC于F,过A'作A'E⊥AC于E,交BC于D,则AD=A'D,此时AD+DE的值最小,就是A'E的长Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,AC=62,∴BC=32+S△ABC=12AB·AC=12BC·∴3×62=9AF,解得AF=22,∴AA'=2AF=42,∵∠A'FD=∠DEC=90°,∠A'DF=∠CDE,∴∠A'=∠C,∵∠AEA'=∠BAC=90°,∴△AEA'∽△BAC,∴AA'A'E=BCAC∴A'E=163,即AD+DE的最小值是16故答案为16315.2[解析]过点P作PM⊥OB于M,∵PC∥OA,∴∠COP=∠CPO=∠POD=15°,∴∠BCP=30°,∴PM=12PC=2∵PD=PM,∴PD=2.故答案为:2.16.163+24[解析]将△ABP绕点B顺时针旋转60°到△CBP',连接PP',所以BP=BP',∠PBP'=60°,所以△BPP'是等边三角形,其边长BP为8,所以S△BPP'=163.因为PP'=8,P'C=PA=6,PC=10,所以PP'2+P'C2=PC2,所以△PP'C是直角三角形,S△PP'C=24,所以S△ABP+S△BPC=S△BPP'+S△PP'C=163+24.17.解:(1)证明:∵AD⊥BC于D,∴∠BDG=∠ADC=90°,∵BD=AD,DG=DC,∴△BDG≌△ADC(SAS),∴BG=AC.∵AD⊥BC于D,E,F分别是BG,AC的中点,∴DE=12BG,DF=12AC,∵DE=DF,BD=AD,BE=AF,∴△BDE≌△ADF(SSS),∴∠BDE=∠ADF,∴∠EDF=∠EDG+∠ADF=∠EDG+∠BDE=∠BDG=90°,∴DE⊥DF.(2)∵AC=10,∴DE=DF=12AC=12×10=∵∠EDF=90°,∴EF=DE2+DF218.D[解析]如图,作AH⊥y轴于H,CE⊥AH于E,作MN⊥OC于N.则四边形CEHO是矩形,OH=CE=6,∵∠BAC=∠AHB=∠AEC=90°,∴∠ABH+∠HAB=90°,∠HAB+∠EAC=90°,∴∠ABH=∠EAC,∴△AHB∽△CEA,∴AHEC=BHAE,∴36∴AE=2BH,设BH=x,则AE=2x,∴OC=HE=3+2x,OB=6-x,∴B(0,6-x),C(3+2x,0).∵BM=CM,∴M3+2x2,6-∵P32,0,∴PN=ON-OP=3+2x2-∴PM2=PN2+MN2=x2+6-x22=54x2-3x+9=54x-652+∴x=65时,PM2有最小值,最小值为36∴PM的最小值为365=6故选:D.19.2或23或27[解析]∵AO=OB=2,∴当BP1=2时,∠AP1B=90°;当∠P2AB=90°时,∵∠AOP2=60°,∴AP2=OA·tan∠AOP2=23,∴BP2=AB2+A当∠P3BA=90°时,∵∠1=60°,∴BP3=OB·tan∠1=23.故答案为:2或2