《自动控制原理》课件1第0章 数学基础回顾

自动控制原理第0章数学基础回顾控制器被控对象反馈元件输入输出+-偏差0.1复数及其表示0.1.1复数及其代数运算定义0.1设x、y为任意实数，称形如z=x+j的数为复数，其中j2=-1，称j为虚数单位，x称为实部，记为Re(z)；y称为虚部，记为Im(z)。设z1=x1+jy1、z2=x2+jy2，规定

(1)交换律：(2)结合律：(3)分配律：定义1.2实部相同、虚部相反的两个复数称为共轭复数。与z共轭的复数记为，即如果，则。【例0-1】已知，求、、。解：所以、、。0.1.2复数的表示复数z向量图复数的加法复数的减法复数z＝x+jy的辐角主值argz与反正切函数有如下关系：直角坐标系与极坐标系的关系：再利用欧拉公式：共轭复数向量图【例0-2】将ｚ=1-j转化为三角形式和

指数形式。解：定理0.1设复数，则即0.1.3复数的乘幂与方根则当r=1时解：【例0-3】求。这三个根是内接于以原点为圆心、以2为半径的圆的某个等边三角形的顶点。0.2拉普拉斯变换及其应用0.2.1拉氏变换的概念定义0.3设函数为f(t)，当t≥0时定义，若积分(s为一个副参量)收敛，则称此积分为函数f(t)的拉普拉斯变换式(简称拉氏变换)，记为

，F(s)称为f(t)的拉氏变换(或称象函数)。若F(s)是f(t)的拉氏变换，则称f(t)为F(s)的拉式逆变换(或称象原函数)，记作f(t)=L-1[F(s)]。解：【例0-4】求单位阶跃函数(UnitStepFunction)

的拉氏变换。解：【例0-5】求指数函数(ExponentialFunction)

的拉氏变换。定理0.2(拉氏变换的存在定理)若函数满足下列条件：(1)在t>0的任一有限区间上分段连续；(2)当t→+∞时，的增长不超过某一指数函数，即存在常数M>0及c，使得成立。则f(t)的拉氏变换在半平面Re(s)>c上一定存在。【例0-6】求单位脉冲函数的拉氏变换。解：【例0-7】求斜坡函数(RampFunction)的

拉氏变换。解：解：【例0-8】求正弦函数(SinusoidalFunction)

的拉氏变换。0.6.2拉氏变换的性质1．叠加性质2．比例性质3．微分性质若则有【例0-9】求的拉氏变换(m为正整数)。解：由于，而且象函数的微分性质若则有由象函数的微分性质可得【例0-10】求函数的拉氏变换。解：因为4．积分性质1)象原函数的积分性质若则有2)象函数的积分性质若则有推论所以，由象函数的积分性质可得【例0-11】求。解：因为5．位移性质若则有所以，由位移性质可得【例0-12】求。解：因为6．延迟性质又t<0时，f(t)

=0，则对于任一非负实数

，有根据延迟性质，有【例0-13】求函数的拉氏变换。解：因为7．初值定理若，且存在，则或写为。8．终值定理若，sF(s)的所有奇点全在s平面的左半部，则或写为解：由初值、终值定理条件可得【例0-14】若，求和。0.2.3拉氏反变换由象函数F(s)求取原函数f(t)的运算称为拉氏反变换。拉氏反变换常用下式表示：在自动控制理论中常遇到的象函数是有理分式，即为了将F(s)写成部分分式，首先将F(s)的分母进行因式分解，则有式中，p1,p2,…,pn是A(s)=0的根，称为

的极点。1．F(s)的极点为各不相同的实数时的拉氏反变换【例0-15】若一典型一阶系统的微分方程为解：对微分方程两边进行拉氏变换有式中，r(t)为输入信号；c(t)为输出信号；T称为时间常数。其初始条件为零，试求该一阶系统的单位阶跃响应。2．F(s)含有共轭复数极点时的拉氏反变换

如果有一对共轭复数极点p1、p2，其余极点均为各不相同的实数极点解：先对F(s)的分母A(s)=s(s2+s+1)=0进行因式分解，得【例0-16】已知，求。解得，。3．F(s)中含有重极点时的拉氏反变换设时，在处有个重根，则的部分分式为【例0-17】典型一阶系统的微分方程为。解：对上式取拉氏变换得式中，r(t)为输入信号；c(t)为输出信号；T为时间常数。其初始条件为零，求该一阶系统的单位斜坡响应。0.2.4拉氏变换应用举例【例0-18】典型二阶微分方程为式中，r(t)为输入信号；c(t)为输出信号；T为时间常数,为阻尼系数。其初始条件为零，求该二阶系统的单位斜坡响应。解：对上式取拉氏变换得1．(无阻尼或零阻尼)2．(欠阻尼)3．(临界阻尼)4．(过阻尼)0.3傅里叶变换0.3.1傅里叶积分0.3.2傅里叶变换的概念定义0.4如果函数f(x)满足傅里叶积分定理，设则f(x)的傅里叶变换式(简称傅里叶变换)，记为的傅里叶逆变换式，记为【例0-19】求指数衰减函数解：由傅里叶变换，有的傅里叶变换及傅里叶积分表达式，。(该指数衰减函数是工程技术中常遇到的一个函数。)0.3.3傅里叶变换的性质1．线性性质2．位移性质3．微分性质4．积分性质8.4Z变换8.4.1Z变换定义0.4.2Z变换方法1.

级数求和法【例0-20】求单位阶跃函数1(t)的Z变换。

【例0-21】求指数函数的z变换。2.

部分分式法

找出对应的原函数，并逐项进行Z变换，即可求得环节或系统的Z变换。

【例0-22】求的Z变换。【例0-23】求的Z变换。3．留数计算法若有ri重极点si，则【例0-24】已知系统传递函数为应用留数计算法求F（z）。【例0-25】求

(t>0)的Z变换。0.4.3Z变换的性质1．线性性质2．延迟定理（实数位移定理）【例0-26】求

(t>0)的Z变换。【例0-27】求

(t>0)的Z变换。3．超前定理4．复数位移定理【例0-28】求

(t>0)的Z变