2023届高考数学特训营第2节-二项式定理

第九单元第2节二项式定理2023届1《高考特训营》·数学课程标准解读命题方向数学素养1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理.2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题1.二项展开式中的特定项及系数问题数据分析逻辑推理数学运算2.二项式系数的性质或各项系数的和3.多项式展开式中特定项系数问题0102知识特训能力特训01知识特训知识必记拓展链接对点训练

k＋1k＋1[思考]

(a＋b)n与(b＋a)n的展开式有何区别与联系？点拨：(a＋b)n的展开式与(b＋a)n的展开式的项完全相同，但对应的项不相同而且两个展开式的通项不同．2．二项式系数的性质[探究]

二项展开式中二项式系数最大时该项的系数就最大吗？点拨：不一定最大，当二项式中a，b的系数为1时，此时二项式系数等于项的系数，否则不一定．1．[生活拓展]牛顿与二项式定理二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿于1664－1665年提出．牛顿善于在日常生活中思考，他取得了科学史上一个又一个重要的发现．有一次，他在向一位姑娘求婚时思想又开了小差，他脑海中只剩下了无穷量的二项式定理，他抓住了姑娘的手，错误地把它当成通烟斗的通条，硬往烟斗里塞，痛的姑娘大叫，离他而去．

3．[学科融合]“式算”与“图算”趣遇二项式定理与杨辉三角形是一对天然的数形趣遇，它把数形结合带进了计算数学．用系数通项公式来计算，称为“式算”；用杨辉三角形来计算，称为“图算”．【图算】常数项产生在展开后的第5，6两项．用“错位加法”很容易“加出”杨辉三角形第9行的第5个数．简图如下：由图得到35＋35＝70，35＋21＝56，故求得展开式中常数项为70－2×56＝－42.

B

3．[模拟演练](2022·江西省名校联考)(x＋1)5(x－2)的展开式中x2的系数为________．答案：－15解析：(x＋1)5(x－2)＝x(x＋1)5－2(x＋1)5，展开式中含有x2的项为－20x2＋5x2＝－15x2，故x2的系数为－15.答案：－402能力特训特训点1特训点2特训点3

特训点1二项式中的特定项及系数问题【自主冲关类】D答案：1603．(2022·浙江高三模拟)已知多项式(1－2x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn(n∈N*)，若an＝256，则n＝________，a4＝________．答案：8

1120解析：因为(1－2x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn(n∈N*)，所以an＝(－2)n，又an＝256，所以(－2)n＝256，解得n＝8.[锦囊·妙法]求形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量(常数项、参数值、特定项等)的步骤第一步，利用二项式定理写出二项展开式的通项公式Tr＋1＝Can－rbr，常把字母和系数分离开来(注意符号不要出错)；第二步，根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零，有理项要求指数为整数)列出相应方程(组)或不等式(组)，解出r；第三步，把r代入通项公式中，即可求出Tr＋1，有时还需要先求n，再求r，才能求出Tr＋1或者其他量．A．n＝10B．展开式中没有常数项C．展开式所有二项式系数之和为1024D．展开式所有项的系数之和为256特训点2二项式系数的性质与各项系数的和【师生共研类】BD

(1)求其展开式的各项系数之和，常采用赋值法，只需令x＝1即可．A．二项式系数的和为64B．各项系数的和为64C．常数项为－135D．常数项为135ABD

答案：45考向1几个多项式和展开式中特定项(系数)问题典例2

(2022·长沙月考)在1＋(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋(1＋x)4＋(1＋x)5＋(1＋x)6的展开式中x3的系数是(

)A．25 B．30C．35 D．40特训点3多项式展开式中特定项系数问题【多维考向类】C对于几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题，只需依据二项展开式的通项，从每一项中分别得到特定的项，再求和即可．答案：1

6对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．考向3三项式展开式中特定项(系数)问题典例4

(2022·海南高三模拟)在(x－3y＋2)5的展开式中，常数项为________，所有不含字母x的项的系数之和为________．答案：32－1解析：由多项式知常