九年级上册数学苏科第一章12一元二次方程的解法

第1章一元二次方程1.2一元二次方程的解法（1）回顾：2.把方程（3x+2）2=4（x+3）2化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数、常数项.1.已知x=2是一元二次方程x2+mx+2=0的一个解，则m=

.3.如果x2=4，则

x的值为

.此一元二次方程的根为x1＝

，

x2=.如何解方程x2＝2？根据平方根的意义，x是2的平方根，即

x＝.

试一试：解：x1＝

，x2=.

这种直接通过求平方根来解一元二次方程的方法叫做直接开平方法．解方程x2＝2．

解下列方程：（1）x2－4＝0；（2）4x2－1＝0

．解：移项，得x2＝4，∵x是4的平方根，∴x＝±2．即x1＝2，x2＝－2．移项，得4x2＝1，

两边都除以4，得∵x是的平方根，∴x＝．即x1＝，x2＝．x2＝．

练一练：解方程：（x＋1）2＝2.分析：只要将（x＋1）看成是一个整体，就可以运用直接开平方法求解.解：∵x＋1是2的平方根，，x2＝－1－.即x1＝－1＋∴x＋1＝，冲一冲：

首先将一元二次方程化为左边是含有未知数的一个完全平方式，右边是非负数的形式，然后用平方根的概念求解.1．能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？

如果一个一元二次方程具有（x＋h）2＝k（h、k是常数，k≥0）的形式，那么就可以用直接开平方法求解.2．直接开平方法解方程的一般步骤是什么？【总结反思】练一练：1.解下列方程：（1）x2=9；

（2）9x2=4；

（3）16x2－25=0；

（4）2x2－1=0.2.解下列方程：课后练习：解下列方程：【小结】1．用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤；2．感受转化的数学思想．（x＋h）2＝k（h、k是常数，k≥0）．1.2一元二次方程的解法（2）回顾：

1.解一元二次方程：

（1）x2＝5；（2）(x＋3)2＝5.2.你会解方程x2＋6x＋4＝0吗？怎样解方程x2＋6x＋4＝0？比较：方程x2＋6x＋4＝0与(x＋3)2＝5．解方程x2＋6x＋4＝0的关键是什么？试一试：解方程：x2+6x+4=0

也能化成(x+h)2=k

（h、k为常数，k≥0）的形式吗？两边开平方，得移项，得配方，得

由此可见，只要先把一个一元二次方程变形为(x+h)2=k的形式（其中h、k都是常数），如果k≥0，再通过直接开平方法求出方程的解.这种解一元二次方程的方法叫做配方法.小结：在配方时方程两边同时加上的常数是如何确定的？

观察这些方程的变形，你有什么发现吗？方程两边都加上一次项系数一半的平方冲一冲：填空：(1)x2－2x＋

＝(x－

)2；(2)x2＋8x＋

＝(x＋

)2(3)x2－5x＋

＝(x－

)2．(4)x2+x＋

＝(x+

)2．

解下列方程：（1）x2－4x＋3＝0；（2）x2+10x＋20＝0；（3）x2＋3x－1＝0；（4）x2－7x＋12＝0．练一练：用配方法解一元二次方程的步骤：1.移项:2.配方:3.开方:4.求解:5.定解:把常数项移到方程的右边；方程两边都加上一次项系数一半的平方;方程两边开平方;解两个一元一次方程;写出原方程的解.小结：【数学实验室】【课堂小结】（1）用配方法解一元二次方程；（2）感受转化的数学思想．1.2一元二次方程的解法（3）用配方法解下列方程：(1)x2－6x－16＝0；(2)

x2＋3x－2＝0． 试一试：比较方程x2－x+1=0与方程2x2－5x+2=0有什么关系？

后一个方程中的二次项系数变为1，即方程两边都除以2就得到前一个方程，这样就转化为学过的方程的形式，用配方法即可求出方程的解解方程2x2－5x＋2＝0.

解：两边都除以2，得移项，得配方，得

两边开平方，得

∴，．解方程－3x2＋4x＋1＝0．解：两边都除以－3，得移项，得

配方，得

两边开平方，得∴．冲一冲：【总结反思】用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的一般步骤：（1）系数化为1．（2）移项．（3）配方．（4）开方．（5）求解．（6）定解．想一想：方程2x2＋2x＋

＝0，2x2－x＋1＝0有解吗？如果有，你能求出它们的解吗？练一练：1.解方程：2.一个小球竖直上抛的过程中，它离上抛点的距离h（m）与抛出后小球运动的时间t（s）有如下关系：h=24t-5t2经过多少时间后，小球在上抛点的距离是16m？【课堂小结】2．感受转化的数学思想．1．怎样解二次项系数不为1的一元二次方程？二次项系数不为1二次项系数化为11.2一元二次方程的解法（4）你会解关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a、b、c是常数，a≠0)吗？用配方法解下列一元二次方程：x2＋2x

－3＝0．【试一试】因为a≠0，所以方程两边都除以a，得解：移项，得配方，得即解方程【试一试】即∵a≠0，∴4a2＞0，当b2－4ac≥0时，【概念】一般地，对于一元二次方程，如果那么方程的两个根为，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用这个公式，解一元二次方程的方法叫做公式法.b2－4ac≥0，【反思】当时，方程有实数根吗？【冲一冲】

解下列方程：（1）x2＋3x

＋2

＝0；

（2）2(x2－2)＝7x.【小结】用公式法解一元二次方程的一般步骤：2．求出

的值，1．把方程化成一般形式，并写出

a、b、c

的值.4．写出方程的解：特别注意:当时没有实数根．3．代入求根公式：．1.课本习题1.2，第4题；2.解方程（1）2x2+x+1=0（2）

3.两个连续正偶数的积等于168，求这两个偶数。【课后作业】1.2一元二次方程的解法（5）用公式法解一元二次方程的一般步骤：2．求出b2－4ac

的值，1．把方程化成一般形式，并写出a、b、c

的值.4．写出方程的解：x1、x2．

特别注意：当b2－4ac＜0时没有实数根．3．代入求根公式：．【试一试】(1)x2＋x－1＝0；(2)；(3)

2x2－2x＋1＝0．

解下列方程：【总结反思】当b2－4ac

＜0时，方程没有实数根.当b2－4ac

＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2－4ac

＝0时，方程有两个相等的实数根；一元二次方程根的情况：根的判别式【冲一冲】1．不解方程，判别下列方程根的情况．(1)x2＋3x－1＝0；(2)2y2－3y＋4＝0．2．已知关于x的一元二次方程x2＋2x－k＝0有实数根，则k的取值范围是()．A．k≤－1

B．k≥－1；C．k＜－1

D．k＞－1．B【小结】1．什么是一元二次方程根的判别式？2．一元二次方程根有几种情况？1.2一元二次方程的解法（6）如何解方程

x2－x＝0?

既可以用配方法解，也可以用公式法来解.解法3：将方程的左边分解因式，得

x(x－

1)＝0，此时x和x－

1两个因式中必有一个为0，即

x＝0或x－

1＝0，∴x1＝0，x2＝1．【概念】这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法．如果一个一元二次方程的一边为0，另一边能分解成两个一次因式的乘积，那么这样的一元二次方程就可用因式分解法来求解．解下列方程：（1）x2＝4x；（2）x＋3－x(x＋3)＝0．【试一试】【冲一冲】

解方程:(2x－1)2－x2＝0.【想一想】解方程:(x＋2)2＝4（x＋2）.解法1：原方程可变形为（x＋2）2－4(x＋2)＝0，(x＋2)(x－2)＝0．x＋2＝0或x－2＝0．所以x1＝－2,x2＝2．解法2：原方程两边都除以（x＋2），得x＋2＝4．所以x＝2．思考：哪种解法正确？你是怎样思考的？【练一练】1.用因式分解解下列方程：(1)x2-3x＝0；(2)3x2＝x；(3)2(x-1)+x(x-1)＝0；