《高等应用数学》课件-第6章

第六章空间解析几何与向量代数第一节向量及其线性运算第二节数量积、向量积第三节平面与直线第四节曲面与空间曲线

第一节向量及其线性运算

一、向量的基本概念现实世界中,我们会遇到两类量,一类是数量,如长度、温度、质量等,它们只有大小.而在研究力学、物理学以及其他应用科学时,常会遇到另外一类量,它们既有大小,又有方向,这类量称为向量(或矢量),如物理学中的力、速度、加速度、位移等(见图6.1).图6.1向量的图示

相反向量:设a为一向量,与a的模相同而方向相反的向量叫作a的相反向量,记为-a.

共线向量:平行于同一直线的向量组称为共线向量组.即向量的起点放在同一点时,它们的终点和公共的起点会在一条直线上.

共面向量:平行于同一平面的向量组称为共面向量组.即把一组向量的起点放在同一点时,向量组的终点和公共起点会在一个平面上.

二、向量的线性运算

1.向量的加法

向量的加法:设有两个向量a与b,平移向量使b的起点与a的终点重合,此时从a的起点到b的终点的向量c称为向量a与b的和,记作a+b,即c=a+b.

三角形法则:上述作出两向量之和的方法叫作向量加法的三角形法则(见图6.2).

平行四边形法则:当向量a与b不平行时,平移向量使a与b的起点重合,以a、b为邻边作一平行四边形,从公共起点到对角的向量等于向量a与b的和a+b(见图6.3).图6.2向量的三角形法则图图6.3向量的平行四边形法则图

向量加法的运算规律:

(1)交换律a+b=b+a;

(2)结合律(a+b)+c=a+(b+c).

由于向量的加法符合交换律与结合律,故n个向量a1,a2,…,an(n≥3)相加可写成

a1+a2+…+an

按向量相加的三角形法则,可得n个向量相加的法则如下:将前一向量的终点作为次一向量的起点,相继作向量a1,a2,…,an,再以第一向量的起点为起点,最后一向量的终点为终点作一向量,这个向量即为所求的和.

2.向量的减法

如图6.4所示,我们规定两个向量b与a的差为

b-a=b+(-a)

即把向量-a加到向量b上,便得b与a的差b-a.图6.4向量的减法图

3.向量与数的乘法

向量与数的乘法的定义:向量a与实数λ的乘积记作λa,规定λa是一个向量,它的模|λa|=|λ||a|,当λ>0时,它的方向与a相同,当λ<0时,它的方向与a相反.

当λ=0时,|λa|=0,即λa为零向量,这时它的方向可以是任意的.

特别地,当λ=±1时,有

图6.5三角形中线图

例2用向量法证明:连接三角形两边中点的线段平行于第三边且等于第三边的一半(见图6.6).

证设△ABC两边AB,AC中点分别为M、N,则图6.6三角形中位线图

定理1设向量a≠0,那么,向量b平行于a的充分必要条件是:存在唯一的实数λ,使b=λa.

证明条件的充分性是显然的,下面证明条件的必要性.

三、空间直角坐标系

在空间取定一点O和三个两两垂直的单位向量i、j、k,就确定了三条都以O为原点的两两垂直的数轴,依次记为x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴),统称为坐标轴.它们构成一个空间直角坐标系,称为Oxyz坐标系.

注:(1)通常三个数轴应具有相同的长度单位;

(2)通常把x轴和y轴配置在水平面上,而z轴则是铅垂线;

(3)数轴的的正向通常符合右手规则.

在空间直角坐标系中,任意两个坐标轴可以确定一个平面,这种平面称为坐标面.

x轴及y轴所确定的坐标面叫作xOy面,另两个坐标面是yOz面和zOx面.

三个坐标面把空间分成八个部分,每一部分叫作卦限,含有三个正半轴的卦限叫作第一卦限,它位于xOy面的上方.在xOy面的上方,按逆时针方向排列着第二卦限、第三卦限和第四卦限.在xOy面的下方,与第一卦限对应的是第五卦限,按逆时针方向还排列着第六卦限、第七卦限和第八卦限.八个卦限分别用Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ表示(见图6.7).图6.7空间直角坐标系

四、利用坐标作向量的线性运算

五、向量的模、方向角、投影

1.向量的模与两点间的距离公式

2.向量的夹角、方向角与方向余弦

1)向量的夹角与方向角

当把两个非零向量a与b的起点放到同一点时,两个向量之间的不超过π的夹角称为向量a与b的夹角,记作

.如果向量a与b中有一个是零向量,规定它们的夹角可以在0与p之间任意取值.

类似地,可以规定向量与一轴的夹角或空间两轴的夹角.

非零向量r与三条坐标轴的夹角α、β、γ称为向量r的方向角.

2)向量的方向余弦

投影的性质:

第二节数量积、向量积

定义1(数量积)对于两个向量a和b,它们的模|a|、|b|及它们的夹角θ的余弦的乘

积称为向量a和b的数量积,记作a·b,即

3)数量积的运算律

(1)交换律a·b=b·a.

(2)分配律(a+b)·c=a·c+b·c.

(3)结合律(λa)·b=a·(λb)=λ(a·b),(λa)·(μb)=λμ(a·b),λ、μ为数.

分配律(a+b)·c=a·c+b·c的证明如下:

因为当c=0时,上式显然成立;当c≠0时,有

例1试用向量证明三角形的余弦定理.图6.9余弦定理图

图6.10向量的乘积力矩图

1)向量积的性质

(1)a×a=0;

(2)对于两个非零向量a、b,如果a×b=0,则a∥b;反之,如果a∥b,则a×b=0.如果认为零向量与任何向量都平行,

则a∥b

a×b=0.

2)向量积的运算规律

(1)反交换律:a×b=-b×a;

(2)分配律:(a+b)×c=a×c+b×c;

(3)(λa)×b=a×(λb)=λ(a×b)(λ为常数).

第三节平面与直线

一、平面的点法式方程定义1(法向量)如果一非零向量垂直于一平面,这个向量就叫作该平面的法向量.容易知道,平面上的任一向量均与该平面的法向量垂直

二、平面的一般方程

由于平面的点法式方程是x,y,z的一次方程,而任一平面都可以用它上面的一点及它的法向量来确定,所以任一平面都可以用三元一次方程来表示.

下面讨论平面方程Ax+By+Cz+D=0,指出法向量与坐标面、坐标轴的关系,平面通过的特殊点或坐标轴.

+By+Cz+D=0,指出法向量与坐标面、坐标轴的关系,平面

(1)D=0,平面过原点.

(2)A、B、C中有一个为0,如A=0,若D=0,则平面过x轴;若D≠0,则平面平行x轴.

(3)A、B、C中有两个为0,如B=C=0,若D=0,则平面就是yOz坐标面;若D≠0,则平面平行于yOz坐标面.

例3求通过x轴和点(1,2,-1)的平面的方程.

解平面通过x轴,由前面的讨论知,一方面法向量垂直于x轴,即A=0;另一方面表明它必过原点,即D=0.因此可设该平面的方程为

又因为这平面通过点(1,2,-1),所以有

或

将其代入所设方程并除以B(B≠0),便得所求的平面方程为

四、空间直线的一般方程

由立体几何知道,两平面相交,决定唯一的一条直线.

如果两个相交平面Π1和Π2的方程分别为A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B2y+C2z+D2=0,那么交线L上的任一点的坐标应同时满足这两个平面的方程,即应满足方程组

反过来,如果点M不在交线L上,那么它不可能同时在平面Π1和Π2上,所以它的坐标不满足方程组.因此,交线L可以用方程组来表示.方程组叫作空间直线的一般方程。

设直线L是平面Π1和Π2的交线,平面的方程分别为A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B2y+C2z+D2=0,那么点M在直线L上当且仅当它同时在这两个平面上,当且仅当它的坐标同时满足这两个平面方程,即满足方程组

因此,直线L可以用上述方程组来表示.上述方程组叫作空间直线的一般方程.

通过空间一直线L的平面有无限多个,只要在这无限多个平面中任意选取两个,把它们的方程联立起来,所得的方程组就表示空间直线L.

五、空间直线的对称式方程与参数方程

由欧几里德的第五公设知,过一点作一条已知直线的平行线,有且仅有一条.由此,可以确定直线的方程.

方向向量:如果一个非零向量平行于一条已知直线,这个向量就叫作这条直线的方向向量.容易知道,直线上任一向量都平行于该直线的方向向量.

六、两直线的夹角

两直线的方向向量的夹角(通常指锐角或直角)叫作两直线的夹角.

从两向量垂直、平行的充分必要条件立即推得下列结论:

第四节曲面与空间曲线

一、曲面方程的概念在空间解析几何中,任何曲面都可以看作点的几何轨迹.在这样的意义下,如果曲面S与三元方程

有下述关系:

(1)曲面S上任一点的坐标都满足方程F(x,y,z)=0;

(2)不在曲面S上的点的坐标都不满足方程F(x,y,z)=0.

那么,方程F(x,y,z)=0就叫作曲面S的方程,而曲面S就叫作方程F(x,y,z)=0的图形.

研究曲面的两个基本问题:

(1)已知一曲面作为点的几何轨迹时,建立此曲面的方程;

(2)已知坐标x、y和z间的一个方程时,研究此方程所表示的曲面的形状

二、柱面图6.11柱面生成图

柱面:平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L形成的轨迹叫作柱面,定曲线C叫作

柱面的准线,动直线L叫作柱面的母线.

上面我们看到,不含z的方程x2+y2=R2在空间直角坐标系中表示圆柱面,它的母线平行于z轴,它的准线是xOy面上的圆x2+y2=R2.

一般地,只含x、y而缺z的方程F(x,y)=0,在空间直角坐标系中表示母线平行于z轴的柱面,其准线是xOy面上的曲线C:F(x,y)=0.

例如,方程y2=2x表示母线平行于z轴的柱面,它的准线是xOy面上的抛物线y2=2x,该柱面叫作抛物柱面.

又如,方程x-y=0表示母线平行于z轴的柱面,其准线是xOy面的直线x-y=0,所以它是过z轴的平面.

类似地,只含x、z而缺y的方程G(x,z)=0和只含y、z而缺x的方程H(y,z)=0分别表示母线平行于y轴和x轴的柱面.

例如,方程x-z=0表示母线平行于y轴的柱面,其准线是xOy面上的直线x-z=0.所以它是过y轴的平面.

三、旋转曲面

以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫作旋转曲面,这条定直线叫作旋转曲面的轴.

设在yOz坐标面上有一已知曲线C,它的方程为

四、二次曲面

与平面解析几何中规定的二次曲线相类似,我们把三元二次方程所表示的曲面叫作二次曲面,把平面叫作一次曲面.图6.12

(2)单叶双曲面(见图6.13).图6.13单叶双面图

(3)双叶双曲面(见图6.14)图6.14双叶双曲面

(4)椭圆抛物面(见图6.15).图6.15椭圆抛物面

五、空间曲线的一般方程

空间曲线可以看作两个曲面的交线.设F(x,y,z)=0和G(x,y,z)=0是两个曲面方程,它们的交线为C.因为曲线C上的任何点的坐标应同时满足这两个方程,所以应满足方程组

反过来,如果点M不在曲线C上,那么它不可能同时在两个曲面上,所以它的坐标不满足方程组.

因此,曲线C可以用上述方程组来表示.上述方程组叫作空间曲线C的一般方程.

六、空间曲线的参数方程