(完整)3.2.1立体几何中的向量方法(一)剖析

3.2.1立体几何中的向量方法

——方向向量与法向量高二数学组lAP１．直线的方向向量直线ｌ的向量式方程换句话说,直线上的非零向量叫做直线的方向向量一、方向向量与法向量2、平面的法向量

AlP平面α的向量式方程换句话说,与平面垂直的非零向量叫做平面的法向量oxyzABCO1A1B1C1例1.如图所示,正方体的棱长为1直线OA的一个方向向量坐标为___________平面OABC的一个法向量坐标为___________平面AB1C的一个法向量坐标为___________(-1,-1,1)(0,0,1)(1,0,0)求法向量的步骤：第一问题：用“方向向量”与“法向量”来解决平行、垂直问题.一、平行关系：lm一、平行关系：l一、平行关系：二、垂直关系：lm二、垂直关系：l二、垂直关系：例1(1)设分别是直线的方向向量,根据下列条件判断与

的位置关系:②③分析:直线方向向量与直线位置关系,据此可判断两直线的位置关系①平行②垂直③相交或异面例1(2)设分别是平面的法向量,根据下列条件判断与

的位置关系:②③分析:平面法向量与两平面位置关系,据此可判断两平面的位置关系①垂直②平行③相交(不垂直)例1(2)设分别是平面的法向量,根据下列条件判断与

的位置关系:②③分析:直线方向向量与平面法向量关系和直线与平面位置关系,据此可判断直线和平面的位置关系例1(3)设是平面的法向量,是直线的方向向量,根据下列条件判断与

的位置关系:②③①②垂直③相交(斜交)答题规范A1xD1B1ADBCC1yzEFCD中点，求证：D1F例：在正方体中，E、F分别是BB1,，平面ADE

证明：设正方体棱长为1，为单位正交基底，建立如图所示坐标系D-xyz，则可得：所以,E是AA1中点，例5正方体平面C1BD.

证明：E求证：平面EBD设正方体棱长为2,建立如图所示坐标系平面C1BD的一个法向量是E(0,0,1)D(0,2,0)B(2,0,0)设平面EBD的一个法向量是平面C1BD.

平面EBD练习：如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1/3=a，E、F分别是BB1、CC1上的点，且BE=a，CF=2a.求证:面AEF

面ACF。AFEC1B1A1CBxzy练习

四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，

PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中点，

(1)求证：PA//平面EDB.ABCDPEXYZG解1立体几何法利用“方向向量”与“法向量”来解决夹角问题.第二问题：结论：1.异面直线所成角：

2.直线与平面所成角：

3.二面角：关键：观察二面角的范围1、两条直线的夹角：lmlm所以与所成角的余弦值为解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系,如图所示，设则：

所以：例：2、直线与平面的夹角：l例：解：建系如图所示，lDCBA3、二面角：①方向向量法：二面角的范围：ll②法向量法法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角3、二面角：例：如图，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处.从A，B到直线l（库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为a和b,CD的长为c,AB的长为d.求库底与水坝所成二面角的余弦值.解：如图，根据向量的加法法则有于是，得设向量与的夹角为，就是库底与水坝所成的二面角.因此ABCD所以所以库底与水坝所成二面角的余弦值为设平面例：1.三棱锥P-ABCPA⊥ABC,PA=AB=AC,,E为PC中点,则PA与BE所成角的余弦值为_________.

2.直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A=2,AB=AC=1,则AC1与截面BB1CC1所成角的余弦值为_________.3.正方体中ABCD-A1B1C1D1中E为A1D1的中点,则二面角E-BC-A的大小是________利用“方向向量”与“法向量”来解决距离问题.第三问题：1、点与点的距离：

例1

如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为端点

的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，那么以这

个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？A1B1C1D1ABCD图1解：如图1，所以答:这个晶体的对角线AC1

的长是棱长的倍。练习.(P107.2)如图，60°的二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直AB,已知AB＝4,AC＝6，BD＝8，求CD的长.BACD解1练习.(P107.2)如图，60°的二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直AB,已知AB＝4,AC＝6，BD＝8，求CD的长.BACD解22、点与直线的距离：A1xD1B1ADBCC1yzEFCD中点，求:点F到直线AE的距离.例：在正方体中，E、F分别是BB1,，3、点到平面的距离：3、点到平面的距离：DABCGFExyzAPDCBMNabCDABCD为a,b的公垂线,A，B分别在直线a,b上已知a,b是异面直线,4.异面直线间的距离

zxyABCC1即取x=1,则y=-1,z=1,所以EA1B15.其它距离问题：（1）平行线的距离(转化为点到直线的距离）（2）直线与平面的距离（转化为点到平面的距离）（3）平面与平面的距离（转化为点到平面的距离）练习1：如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，（I）求证：AO⊥平面BCD；（II）求异面直线AB与CD所成角的大小；（III）求点E到平面ACD的距离.解：（I）略（II）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，所以异面直线AB与CD所成角的余弦值为

（III）解：设平面ACD的法向量为则令得是平面ACD的一个法向量，又所以点E到平面ACD的距离如图，已知：直角梯形OABC中，

OA∥BC,∠AOC=90°，SO⊥面OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2.求：(1)异面直线SA和OB所成的角的余弦值;(2)OS与面SAB所成角的余弦值;(3)二面角B－AS－O的余弦值.OABCSxyz练习2：

OABCSxyz如图，已知：直角梯形OABC中，

OA∥BC,∠AOC=90°，SO⊥面OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2.求：(1)异面直线SA和OB所成的角的余弦值;OABCSxyz如图，已知：直角梯形OABC中，

OA∥BC,∠AOC=90°，SO⊥面OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2.求：(2)OS与面SAB所成角的余弦值

;所以OS与面SAB所成角的余弦值为OABCSxyz所以二面角B－AS－O的余弦值为如图，已知：直角梯形OABC中，

OA∥BC,∠AOC=90°，SO⊥面OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2.求：(3)二面角B－AS－O的余弦值.练习3：如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点.(1)证明：PA//平面EDB；(2)求EB与底面ABCD所成的角的正切值.ABCDPEGxyzABCDPEGxyz(1)证明：设正方形边长为1，则PD=DC=DA=1.连AC、BD交于G点(2)求EB与底面ABCD