现代控制理论第二章2010（修改1） 学习课件

2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述第二章控制系统的状态空间描述

2.1基本概念2.2状态空间表达式的建立2.3传递函数(矩阵)2.4组合系统

2.5(非奇异)线性变换2.6离散时间系统状态空间表达式2.7用MATLAB分析状态空间模型2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述引言一个复杂系统可能有多个输入和多个输出，并且以某种方式相互关联或耦合。为了分析这样的系统，必须简化其数学表达式，转而借助于计算机来进行各种大量而乏味的分析与计算。从这个观点来看，状态空间法对于系统分析是最适宜的。2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述经典控制理论是建立在系统的输入-输出关系或传递函数的基础之上的，而现代控制理论以n个一阶微分方程来描述系统，这些微分方程又组合成一个一阶向量-矩阵微分方程。应用向量-矩阵表示方法，可极大地简化系统的数学表达式。状态变量、输入或输出数目的增多并不增加方程的复杂性。事实上，分析复杂的多输入-多输出系统，仅比分析用一阶纯量微分方程描述的系统在方法上稍复杂一些。2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述控制系统的数学描述系统的方框图表示输入变量

:u1,u2,…,up输出变量

:y1,y2,…,ye内部变量:

x1,x2,…,xn2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述两种控制理论的区别条目经典控制理论现代控制理论研究的系统SISO线性定常系统SISO、MIMO、时变、定常、线性或非线性系统模型传递函数（输入-输出之间的关系）（外部模型）状态空间表达式（输入变量、状态变量和输出变量间关系）（内部模型）主要分析和综合方法频率域时域数学基础拉普拉斯变换线性代数2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述系统的数学描述外部（输入-输出）描述内部描述2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述这种描述是把系统视为一个“黑箱”，不去表征系统的内部结构和内部变量，只是反映外部变量组间的因果关系即指输出和输入间的因果关系。1、外部（输入-输出）描述系统的输入输出描述框图2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述在经典控制理论中所学的传递函数就是一种外部描述。黑箱1）SISO系统2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述2）MIMO系统传递函数矩阵2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述2、系统内部描述（状态空间描述）

（

statespacedescription）动力学部件输出部件用微分（差分）方程组来描述代数方程组来描述动态系统结构示意图表达输入引起状态变化的运动表达状态引起输出变化的变换过程2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述输入变量状态方程（一阶微分方程组）输出方（代数方程）输出变量状态变量状态空间描述2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述2.1基本概念2.1.1几个定义2.1.2状态空间表达式的一般形式2.1.3状态空间表达式的系统方框图2.1.4状态空间表达式的状态变量图2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述2.1.1几个定义（重点掌握的基本概念）设有一个质量为m的质点vxF(t)mxm:

质量;a(t):t时刻质点的加速度;

F(t):

时间

[t0,t]上加在质点上的外力（输入）;v(t):t时刻质点的速度;x(t):

t时刻质点的加速度.2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述其运动方程由据牛顿第二定律描述为:x(t0)和

v(t0)

分别为位移和速度的初始值.输入输入2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述(1)状态：系统过去、现在和将来的状况x(t0)和

v(t0)

可以表示质点的过去的初始状况；x(t)和

v(t)

可以表示质点的t时刻的当前状况；几个定义2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述(2)状态变量：能够完全表征系统运动状态的最小一组变量：表示系统时刻的状态当时的输入给定，且上述时的行为

状态确定时，状态变量能完全确定系统初始在2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述哪组最小的变量能完整地描述系统的状态？vxF(t)mxx(t)能够完全表征系统运动状态吗？

v(t)呢？

2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述取

x(t)

和

v(t)为两状态变量，则

和F(t)(t≥t0)确定x(t)

和

v(t)能为能完整地描述系统的动力学行为的最小一组变量（状态变量）.

结论2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述作为分量的向量，即(3)状态向量：以系统的个独立状态变量为质量系统的状态向量。例如：令2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述则有：表达系统任意t时刻的状态。表示系统的系统的初始状态

。2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述0xvExample:两维状态空间(4)状态空间:以状态变量维空间。标轴构成的为坐例如：考虑到状态向量的每个分量只能取实数值，因此状态空间是建立在实数域上的向量空间，其维数为n，记为Rn。状态空间中的每一点都代表了状态变量唯一的、特定的一组值，而状态随时间的变化过程，则构成了状态空间中的一条轨迹，称为状态轨线。2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述(5)状态方程：描述系统状态与输入之间关系的一阶微分（差分）方程（组）：状态方程有何特点？你如何建立状态方程？思考：系统阵控制阵向量-矩阵形式：状态向量：输入向量：2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述例如质量系统的状态方程为：一阶微分方程组2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述(6)输出方程：描述系统输出与状态、输入之间关系的数学表达式：向量-矩阵形式：输出阵直接传递(转移)矩阵输出向量：2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述例如：对于质量系统：若测量速度：向量-矩阵形式：2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述(7)状态空间表达式：对于质量系统：输入变量u状态方程输出方程状态变量x输出变量y返回2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述2.1.2状态空间表达式的一般形式：状态方程输出方程动态系统结构示意图1、状态空间的描述2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述连续时间系统(1)非线性系统表示为向量方程形式：2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述(2)线性系统系统(状态矩阵)控制矩阵直接传递(转移)矩阵输出矩阵2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述（3）线性时变系统线性系统是实际非线性对象的线性化近似；线性系统的处理方法可以为非线性系统问题的解决提供思路。2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述主要研究以下状态方程描述的线性时不变（LTI）系统的分析和综合问题：

惯性系统：（4）线性时不变（LTI）系统（重点）2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述（5）离散系统的状态空间描述非线性系统线性系统2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述2、系统状态空间描述列写举例例2.1.1系统如图所示解：根据电路原理，得2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述(1)令得其状态空间表达式状态变量具有明确的物理意义2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述根据电路原理，得另一状态空间表达式(1)令该状态变量没有直观的物理意义2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述其向量矩阵形式2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述非奇异变换阵2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述状态变量的特点（重点，难点）(1)独立性：状态变量之间线性独立.(3)等价性：两个状态向量之间只差一个非奇异变换.(4)现实性：状态变量通常取为涵义明确的物理量.(5)抽象性：状态变量可以没有直观的物理意义.(2)多样性：状态变量的选取非唯一性，状态方程的多样性，但状态变量的个数不变.2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述列写状态方程的步骤（p12）1、确定输入输出变量；2、将系统划分为若干子系统，列写各子系统的微分方程；3、根据各子系统微分方程的阶次，选择状态变量写成向量微分方程的形式（状态方程）:4、按照输出变量是状态变量的线性组合，写成向量代数方程的形式（输出方程）返回2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述2.1.3状态空间表达式的系统方框图线性系统的方框图返回2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述2.1.4状态空间表达式的状态变量图（重点）1x2x21xx++加法器积分器)(tx&)(txò)(tx&)(txkkxxkkxx放大器2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述例2.1.1设一阶系统状态方程为则其状态图为bax&+ux绘制步骤：（1） 绘制积分器

（2） 画出加法器和放大器

（3） 用线连接各元件，并用箭头 示出信号传递的方向。2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述例2.1.2设三阶系统状态空间表达式为状态变量图的绘制思路是什么？2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述则其状态图为质量系统的状态变量图如何绘制？返回2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述2.2传递函数与传递函数阵2.2.1SISO系统2.2.2MIMO系统2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述2.2.1SISO系统取L氏变换得：A的特征值即为系统的极点。2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述2.2.2MIMO系统其中：返回2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述2.3状态空间表达式的建立（重点）2.3.1.由物理机理直接建立状态空间表达式2.3.2根据高阶微分方程求状态空间表达式

2.3.3.根据传递函数求状态空间表达式：返回2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述建立状态空间表达式，首要问题是选取状态变量。在保证状态变量的独立性的前提下，通常选取状态变量采取以下三种途径：（1）物理变量：选择系统中贮能元件的输出物理量作为状态变量。（2）相变量：选择系统的输出及其各阶导数作为状态变量。（3）标准型变量：选择能使状态方程成为某种标准形式的变量作为状态变量。(4)从数学的角度：选择初始条件对应的变量或与其相关的变量。返回2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述2.3.1.由物理机理直接建立状态空间表达式：对于实际的物理系统，一般情况下，独立储能元件的个数决定系统的阶次即（状态变量的个数）。由物理机理建立状态空间表达式时，以取物理变量为状态变量时，一般取储能元件的输出变量（特征变量）为状态变量。状态变量的现实性2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述表2-1:常见的主要贮能元件及其能量方程贮能元件质量(m)转动惯量(J)电容(C)电感()弹簧(k)能量方程储能元件的输出量速度

(v)位移(x)角速度：ω角度：θ电压：u电流：i位移：x能量形式动能动能电能磁能势能2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述例2.3.1系统如图所示解：选择状态变量：根据基尔霍夫电流电压定律得：整理得：2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述状态方程：输出方程：由得2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述

写成矩阵形式还可以取别的状态变量吗？2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述uLcu2R1RLiCi不可以选择状态变量体现了状态变量的多样性和状态变量个数的不变性状态变量的独立性还可以选状态变量为：2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述例2.3.2系统如图输入输出转动惯量，粘性摩擦常数，电磁转矩常数，电势常数2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述取状态变量:由电压定理：由转矩平衡定律：如何选择状态变量？有哪些储能元件？其输出变量分别是什么？2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述输出方程：状态方程：2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述写成矩阵形式的状态空间表达式为：2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述例2.3.3：倒立摆装置用小车的位移和速度及摆杆偏离垂线的角度和角速度来描述系统的动态特性小球中心位置:水平方向:垂直方向:g：重力加速度小车的水平位移：y2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述考虑在垂直位置附近的线性化模型2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述线性模型只在局部有效2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述以上三例是结构和参数已知的系统建立状态空间表达式空间模型的方法，对结构和参数未知的系统，通常通过辨识的途径确定其数学模型，可参考系统辨识及其MATLAB仿真或相关系统辨识与参数估计的书籍。2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述的情形（不含输入的导数项）：化为能控标准型取状态变量(相变量)：a).

2.3.2根据高阶微分方程求状态空间表达式2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述则有：即2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述写成矩阵形式：其中：称为友矩阵。能控标准型2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述取状态变量：化为能观测标准型2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述整理得：能观标准型2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述的情形：计算：算法2（算法1见2.2.3传递函数转换成状态方程）2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述定义状态变量:2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述写成矩阵形式的状态空间表达式返回2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述2.3.3.根据传递函数求状态空间表达式(1)直接分解法单输入单输出线性定常系统传递函数：2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述分子分母同时除以2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述对于令则有2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述对于令：分别表示2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述状态空间表达式为：2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述例2.2.3考虑系统试写出其能控标准型状态空间表达式。则状态空间表达式为：选择状态变量：2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述(2)串联分解法2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述思路：将每个串联环节写成积分环节的表达式，每个积分环节的输出为一状态变量。2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述(3)并联分解法极点两两相异时其中：令：2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述则有：则有：2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述系统的矩阵式表达：2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述传递函数有重根时2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述对上面方程的L氏变换后得到2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述例解2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述返回2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述2.4组合系统

2.4.1并联2.4.2反馈返回2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述2.4.1并联系统如图，二子系统并联连接特点：2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述返回2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述2.4.2反馈特点：(1)

动态反馈2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述传递矩阵：2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述(2)静态（常数）反馈闭环系统状态空间描述为：闭环系统传递矩阵为：返回2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述2.5线性变换2.5.1系统状态的线性变换2.5.2把状态方程变换为对角标准型2.5.3若当标准型2.5.4系统经状态变换后特征值及传递函数矩阵的不变性返回2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述2.5.1状态向量的线性变换考虑系统：取线性非奇异变换：,矩阵P非奇异2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述整理得：其中：2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述例2.5.1考虑系统取变换：2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述状态空间表达式变为：返回2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述2.5.2把状态方程变换为对角标准型（diagonalcanonicalform

）给定系统状态方程2）特征向量：1）特征值：，

为矩阵A的特征值。则定义2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述对角标准型：1）特征值两两互异2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述2）存在重特征值n阶系统矩阵存在m互异的特征值和n-m相同的特征值对应的特征向量线性无关，则存在非奇异变换阵P使A对角化。2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述2）A阵为友矩阵n阶系统矩阵若A阵为友矩阵即且特征值两两互异，则此时化状态方程为对角标准形的变换阵可选为范德蒙德（Vandermonde）矩阵：2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述充要条件：n阶系统矩阵A有n个线性无关的特征向量。化对角标准型的步骤：求取系统矩阵的个特征根和对应的特征向量令

2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述例2.5.2将下系统化为对角标准型2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述解：1)

求系统特征根2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述2)求特征向量对由得2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述对由得2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述对由得2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述3)新的状态方程为：构成状态转移矩阵2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述21/s251/s21/s-1UY2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述讨论（对角标准形的优越性）1)状态解耦2)容易求矩阵指数3)容易判断系统的可控性和可观测性4)

容易进行结构分解

5)容易求传递函数6）容易判断系统的稳定性7）当特征值中包含复数特征值时都将为复数矩阵。

结论：便于系统分析和设计返回2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述2.5.3若当标准型（Jordancanonicalform

）上若当块下若当块2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述2）矩阵A若不能化为对角标准形，则一定能化为若当标准形。1）对角标准形是若当规范形的特殊形式2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述重特征根设矩阵具有变换化为约当标准型。可通过则称为广义特征向量。矩阵线性满足是所对应的特征向量。若2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述求约当标准型的步骤：求解令

返回2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述2.5.4系统经状态变换后特征值及传递函数矩阵的不变性1、特征值的不变性2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述1、传递函数的不变性返回2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述2.6离散时间系统状态空间表达式离散时间系统差分方程表示：其对应脉冲传函为：返回2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述1、差分方程中不包含输入函数的差分1)选择状态变量2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述2)把高阶差分方程化为一阶差分方程2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述3)向量方程控制矩阵系统矩阵输出矩阵2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述2、差分方程中包含输入函数的差分其对应脉冲传函为：2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述定义：取：对其进行Z反变换得：

2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述写成矩阵形式：2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述化简得：2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述例2.6.1考虑离散系统试写出其状态空间表达式。得状态空间表达式为：解：取Z变换得2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述MIMO离散时间系统的状态空间表达式：返回2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述2.7用MATLAB分析状态空间模型2.7.1传递函数的输入2.7.2状态空间模型的输入2.7.3两种模型间的转换返回2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述考虑线性定常系统：式中u为输入，y为输出。该式也可写为2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述2.7.1传递函数的输入返回2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述2.7.2状态空间模型的输入返回2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述2.7.3两种模型间的转换1、由传递函数变换为状态方程将闭环传递函数写为当有了这一传递函数表达式后，使用如下MATLAB命令：[A,B,C,D]=tf2ss(num,den)。2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述任何系统的状态空间表达式都不是唯一的。对于同一系统，可有许多个（无穷多个）状态空间表达式。上述MATLAB命令仅给出了一种可能的状态空间表达式。2025年2月28日第二章控制系统的状态空间描述例如：考虑以下传递函数其中的一种可能的状态空间表达式为：2025年2月28日第二章