2024高考数学一轮复习课后限时集训48两条直线的位置关系文北师大版

PAGE1-课后限时集训48两条直线的位置关系建议用时：45分钟一、选择题1．直线2x＋y＋m＝0和x＋2y＋n＝0的位置关系是()A．平行 B．垂直C．相交但不垂直 D．不能确定C[∵eq\f(2,1)≠eq\f(1,2)，∴两条直线相交，又2×1＋1×2≠0，故两条直线不垂直．]2．过点(2,1)且与直线3x－2y＝0垂直的直线方程为()A．2x－3y－1＝0 B．2x＋3y－7＝0C．3x－2y－4＝0 D．3x＋2y－8＝0B[设要求的直线方程为2x＋3y＋m＝0，把点(2,1)代入可得4＋3＋m＝0，解得m＝－7.所以所求的直线方程为2x＋3y－7＝0.故选B.]3．已知直线l1：x＋my＋7＝0和l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0相互平行，则实数m等于()A．－1或3 B．－1C．－3 D．1或－3A[由题意知eq\f(1,m－2)＝eq\f(m,3)≠eq\f(7,2m)，解得m＝3或m＝－1.故选A.]4．若点P在直线3x＋y－5＝0上，且P到直线x－y－1＝0的距离为eq\r(2)，则点P的坐标为()A．(1,2) B．(2,1)C．(1,2)或(2，－1) D．(2,1)或(－1,2)C[设P(x,5－3x)，则d＝eq\f(|x－5＋3x－1|,\r(12＋－12))＝eq\r(2)，化简得|4x－6|＝2，即4x－6＝±2，解得x＝1或x＝2，故P(1,2)或(2，－1)．]5．若直线l1：x－3y＋2＝0与直线l2：mx－y＋b＝0关于x轴对称，则m＋b＝()A.eq\f(1,3) B．－1C．－eq\f(1,3) D．1B[直线l1：x－3y＋2＝0关于x轴对称的直线方程为x＋3y＋2＝0.由题意知m≠0.因为mx－y＋b＝0，即x－eq\f(y,m)＋eq\f(b,m)＝0，且直线l1与l2关于x轴对称，所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,m)＝3，,\f(b,m)＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－\f(1,3)，,b＝－\f(2,3)，))则m＋b＝－eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))＝－1.]二、填空题6．两平行直线2x＋y＝0与4x＋2y－1＝0之间的距离为________．eq\f(\r(5),10)[由2x＋y＝0得4x＋2y＝0，则两平行直线之间的距离为d＝eq\f(|－1－0|,\r(42＋22))＝eq\f(\r(5),10).]7．平面直角坐标系中直线y＝2x＋1关于点(1,1)对称的直线方程是________．y＝2x－3[在直线y＝2x＋1上任取两个点A(0,1)，B(1,3)，则点A关于点(1,1)对称的点为M(2,1)，点B关于点(1,1)对称的点为N(1，－1)．由两点式求出对称直线MN的方程为eq\f(y＋1,1＋1)＝eq\f(x－1,2－1)，即y＝2x－3.]8．直线x－2y＋2＝0关于直线x＝1对称的直线方程是________．x＋2y－4＝0[法一：设P(x，y)为所求直线上的点，该点关于直线x＝1的对称点为(2－x，y)，且该对称点在直线x－2y＋2＝0上，代入可得x＋2y－4＝0.法二：直线x－2y＋2＝0与直线x＝1的交点为Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))，则所求直线过点P.因为直线x－2y＋2＝0的斜率为eq\f(1,2)，所以所求直线的斜率为－eq\f(1,2)，故所求直线的方程为y－eq\f(3,2)＝－eq\f(1,2)(x－1)，即x＋2y－4＝0.]三、解答题9．在△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x－2y＋1＝0，∠A的平分线所在直线的方程为y＝0.若点B的坐标为(1,2)，求：(1)点A和点C的坐标；(2)△ABC的面积．[解](1)由方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋1＝0，,y＝0，))解得点A(－1,0)．又直线AB的斜率为kAB＝1，且x轴是∠A的平分线，故直线AC的斜率为－1，所以AC所在的直线方程为y＝－(x＋1)．已知BC边上的高所在的直线方程为x－2y＋1＝0，故直线BC的斜率为－2，故BC所在的直线方程为y－2＝－2(x－1)．解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－x＋1，,y－2＝－2x－1，))得点C的坐标为(5，－6)．(2)因为B(1,2)，C(5，－6)，所以|BC|＝eq\r(1－52＋2＋62)＝4eq\r(5)，点A(－1,0)到直线BC：y－2＝－2(x－1)的距离为d＝eq\f(|2×－1－4|,\r(5))＝eq\f(6,\r(5))，所以△ABC的面积为eq\f(1,2)×4eq\r(5)×eq\f(6,\r(5))＝12.10．l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，(1)当l1，l2间的距离最大时，求直线l1的方程；(2)当l1，l2间的距离为1时，求l2的方程．[解](1)当两条平行直线与A，B两点连线垂直时，两条平行直线间的距离最大．又kAB＝eq\f(－1－1,0－1)＝2，所以两条平行直线的斜率为－eq\f(1,2)，所以直线l1的方程是y－1＝－eq\f(1,2)(x－1)，即x＋2y－3＝0.(2)当l1⊥x轴时，l1方程为x＝1，l2方程为x＝0，l1与l2间距离为1，满意题意．当l1不垂直于x轴时，设l1斜率为k，则l1，l2方程分别为y－1＝k(x－1)，y＋1＝kx，所以l1与l2间距离为d＝eq\f(|2－k|,\r(1＋k2))＝1，解得k＝eq\f(3,4).所以l2方程为y＝eq\f(3,4)x－1，综上所述，l2方程为x＝0或3x－4y－4＝0.1．(2024·保定模拟)设点P为直线l：x＋y－4＝0上的动点，点A(－2,0)，B(2,0)，则|PA|＋|PB|的最小值为()A．2eq\r(10)B.eq\r(26)C．2eq\r(5)D.eq\r(10)A[如图所示，设点C(x，y)为点B关于直线x＋y－4＝0的对称点，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2＋x,2)＋\f(0＋y,2)－4＝0，,\f(y－0,x－2)×－1＝－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝2，))即C(4,2)．∴|PA|＋|PB|≥|AC|＝eq\r(4＋22＋2－02)＝2eq\r(10)，故选A.]2．已知入射光线在直线l1：2x－y＝3上，经过x轴反射到直线l2上，再经过y轴反射到直线l3上．若点P是直线l1上某一点，则点P到直线l3的距离为()A．6 B．3C.eq\f(6\r(5),5) D.eq\f(9\r(5),10)C[结合图形可知，直线l1∥l3，则直线l1上一点P到直线l3的距离即为l1与l3之间的距离，由题意知，l1与l2关于x轴对称，故l2的方程为y＝－2x＋3，l2与l3关于y轴对称，故l3的方程为y＝2x＋3，即2x－y＋3＝0，又直线l1的方程为：2x－y－3＝0，由两平行线间的距离公式得l1与l3间的距离d＝eq\f(|－3－3|,\r(22＋12))＝eq\f(6,\r(5))＝eq\f(6\r(5),5)，即点P到直线l3的距离为eq\f(6\r(5),5)，故选C.]3．已知三角形的一个顶点A(4，－1)，它的两条角平分线所在直线的方程分别为l1：x－y－1＝0和l2：x－1＝0，则BC边所在直线的方程为________．2x－y＋3＝0[点A不在这两条角平分线上，因此l1，l2是另两个角的角平分线所在直线．点A关于直线l1的对称点A1，点A关于直线l2的对称点A2均在边BC所在直线l上．设A1(x1，y1)，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y1＋1,x1－4)×1＝－1，,\f(x1＋4,2)－\f(y1－1,2)－1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝0，,y1＝3，))所以A1(0,3)．同理设A2(x2，y2)，易求得A2(－2，－1)．所以BC边所在直线方程为2x－y＋3＝0.]4．已知点A(4，－3)，B(2，－1)和直线l：4x＋3y－2＝0，在坐标平面内求一点P，使|PA|＝|PB|，且点P到直线l的距离为2.[解]设点P的坐标为(a，b)．∵A(4，－3)，B(2，－1)，∴线段AB的中点坐标为(3，－2)．又kAB＝eq\f(－3＋1,4－2)＝－1，∴线段AB的垂直平分线的斜率为1，∴线段AB的垂直平分线方程为y＋2＝x－3，即x－y－5＝0.∵点P(a，b)在直线x－y－5＝0上，∴a－b－5＝0. ①又点P(a，b)到直线l：4x＋3y－2＝0的距离为2，∴eq\f(|4a＋3b－2|,5)＝2，即4a＋3b－2＝±10， ②联立①②求得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(27,7)，,b＝－\f(8,7).))∴点P的坐标为(1，－4)或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(27,7)，－\f(8,7))).1．如图，已知A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最终经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是()A．3eq\r(3)B．6C．2eq\r(10)D．2eq\r(5)C[直线AB的方程为x＋y＝4，点P(2,0)关于直线AB的对称点为D(4,2)，关于y轴的对称点为C(－2,0)，则光线经过的路程为|CD|＝eq\r(62＋22)＝2eq\r(10).]2．在平面直角坐标系xOy中，将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，沿y轴正方向平移5个单位长度，得到直线l1.再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度，沿y轴负方向平移2个单位长度，又与直线l重合．若直线l与直线l1关于点(2,4)对称，求直线l的方程．[解]由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋b，将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，沿y轴正方向平移5个单位长度，得到直线l1：y＝k(x－3)＋5＋b，将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度，沿y轴负方向平移2个单位长度，则平移后的直线方程为y＝k(x－3－1)＋b＋5－2，即y＝kx＋3－4k＋b，∴b＝3－4k＋b，解得k＝eq\f(3,4)，∴直线l的方程为y＝eq\f(3,4)x＋b，直线l1的方程为y＝eq\f(3,