幂的运算（基础）知识讲解

PAGE幂的运算（基础）【学习目标】1.掌握正整数幂的乘法运算性质（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方）；能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算.会用同底数幂的除法性质进行计算．理解并掌握负整数指数幂和较小的数的科学记数法.【要点梳理】【高清课堂396573幂的运算知识要点】要点一、同底数幂的乘法性质(其中都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质.即（都是正整数）.（3）性质的逆运用：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即（都是正整数）.要点二、幂的乘方法则(其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.要点诠释：（1）公式的推广：(，均为正整数).（2）性质的逆运用：，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.要点三、积的乘方法则(其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.要点诠释：（1）公式的推广：(为正整数).（2）性质的逆运用：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：要点四、同底数幂的除法法则同底数幂相除，底数不变，指数相减，即（≠0，都是正整数，并且）.要点诠释：（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算.（2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式.（3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质.（4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式.要点五、零次幂任何不等于0的数的0次幂都等于1.即（≠0）要点诠释：底数不能为0，无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积.因此常数项也叫0次单项式.要点六、负整数次幂和科学记数法任何一个不等于零的数的-p（p是正整数）次幂，等于这个数的p次幂的倒数..科学记数法—表示较小的数绝对值小于1的数可记成±a×10-n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数中第一个不等于零的数字前面的零的个数（包括小数点前面的一个零）这种记数方法也叫科学记数法.用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．要点诠释：是的倒数，可以是不等于0的数，也可以是不等于0的代数式.例如（），（）.【典型例题】类型一、同底数幂的乘法性质 1、计算：（1）；（2）；（3）．【答案与解析】解：（1）原式．（2）原式．（3）原式．【总结升华】（2）（3）小题都是混合运算，计算时要注意运算顺序，还要正确地运用相应的运算法则，并要注意区别同底数幂的乘法与整式的加减法的运算法则．在第（2）小题中的指数是1．在第（3）小题中把看成一个整体．举一反三：【变式】计算：（1）；（2）（为正整数）；（3）（为正整数）．【答案】解：（1）原式．（2）原式．（3）原式．类型二、幂的乘方与积的乘方2、计算：（1）；（2）；（3）．【思路点拨】此题是幂的乘方运算，（1）题中的底数是，（2）题中的底数是，（3）题中的底数的指数是，乘方以后的指数应是．【答案与解析】解：（1）．（2）．（3）．【总结升华】运用幂的乘方法则进行计算时要注意符号的计算及处理，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆.幂的乘方法则中的底数仍可以为单个数字、字母，也可以是单项式或多项式.3、指出下列各题计算是否正确，指出错误并说明原因：（1）；（2）；（3）．【答案与解析】解：（1）错，这是积的乘方，应为：．（2）对．（3）错，系数应为9，应为：．【总结升华】（1）应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式，每个因式都分别乘方．（2）注意系数及系数符号，对系数－1不可忽略．类型三、同底数幂的除法4、计算：（1）；（2）；（3）；（4）．【思路点拨】利用同底数幂相除的法则计算．(2)、(4)两小题要注意符号．【答案与解析】解：（1）．（2）．（3）．（4）．【总结升华】（1）运用法则进行计算的关键是看底数是否相同．（2）运算中单项式的系数包括它前面的符号．类型四、负整数次幂和科学记数法5、计算：（1）；（2）．【思路点拨】根据负整数指数幂的意义将负整数指数幂转化为正整数指数幂，然后计算．【答案与解析】解：（1）；（2）．【总结升华】要正确理解负整数指数幂的意义．举一反三：【变式】（•包头）下列计算结果正确的是（）A．2a3+a3=3a6 B．（﹣a）2•a3=﹣a6 C．（﹣）﹣2=4 D．（﹣2）0=﹣1【答案】C．解：A、2a3+a3=3a3，故错误；B、（﹣a）2•a3=a5，故错误；C、正确；D、（﹣2）0=1，故错误.6、（秋•单县校级月考）鸵鸟是世界上最大的鸟，体重约160千克，蜂鸟是世界上最小的鸟，体重仅2克，一只蜂鸟相当于多少只鸵鸟的重量（用科学记数法表示）？【答案与解析】解：2÷160000=0.0000125=1.25×10﹣5．答：一只蜂鸟相当于1.25×10﹣5只鸵鸟的重量．【总结升华】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决