《中级微观经济学教程》课件第5章

第五章成本理论第一节成本的期限结构第二节投入要素与成本变动第三节利润最大化与利润函数第四节企业的其他行为模型

复习思考题与计算题

上一章是从技术角度分析企业的投入产出关系，但影响和决定企业投入产出关系的还有成本问题。生产函数和成本函数等共同制约着利润函数，只有在对生产函数和成本函数分析的基础上，才能展开对利润函数的探讨，并去说明企业的行为。第一节成本的期限结构

设生产函数为q=f(L，K)，PL、PK分别为要素L与K的价格，则成本函数可一般性表示为

C=C(PL，PK，q)或

TC=TC(q，PL，PK)

如果要素价格给定不变，则成本就只是产量q的函数，可简记为

C=f(q)

理论上可从期限结构上将成本区分为短期成本和长期成本，它们具有不同的理论特征。一、短期成本分析

1.短期成本函数

短期成本函数可表示为

STC=f(q)+PK·K=PL·L+PK·K其中，PK·K为固定成本，可变成本PL·L中的L值取决于q值。成本函数可从相应的生产函数中求得。

例5-1

设规模收益不变的短期柯布-道格拉斯生产函数为q=ALαK1－α(0＜α＜1)，短期中的K不变，求其短期成本函数。

解据生产函数，可得：于是，短期成本函数为短期平均成本为短期平均可变成本为短期平均固定成本为短期边际成本为

2.短期成本曲线组及其与产出曲线的对偶性

短期成本曲线组及其与产出曲线之间的对偶关系如图5-1所示。除固定成本曲线以外的其他成本曲线的形状都是由产出曲线的形状(特性)所决定的。从图5-1中可以看出，平均产量曲线和边际产量曲线都是向上凸出的，而平均可变成本曲线、平均总成本曲线、边际成本曲线则都是向下凸出的。它们凸出的方向相反，是因为存在着生产-成本的对偶性。而且，边际产量最高时的产出量(Q1)恰好是边际成本最低时的产量，这是因为图5-1短期成本曲线组与产出曲线在PL假定不变的条件下，显然，MPL越高，SMC便越低。MPL达到最大值时，SMC达最小值。平均产量最高时的产出量(Q2)恰好是平均可变成本最低时的产量，因为：同样，在PL假定不变的条件下，APL越高，SAVC就越低。APL达最大值时，SAVC达最小值。需注意的是，短期内的所谓平均产量是指产出量对可变要素量(L)而言，所以与平均产量形成对偶关系的是平均可变成本而非平均总成本。总产量最大时的产量对应的才是平均总成本最小时的产量。边际成本曲线与平均成本曲线的关系为：当边际成本曲线低于平均成本曲线时，平均成本曲线下降；当边际成本曲线高于平均成本曲线时，平均成本曲线上升；边际成本曲线自下向上穿越平均成本曲线的最低点。下面作证明：可见，若SMC＜SAC，SAC处于递减状态；若SMC＞SAC，SAC处于递增状态；若SMC=SAC，即dSAC/dq=0，这是SAC处于最低点的必要条件。同理也可以证明，当SAVC最小时，SMC=SAVC。边际成本曲线上升时先是穿越平均可变成本曲线的最低点，然后再穿越平均总成本曲线的最低点。这是因为，当SAVC达到最低点时，SAC还在继续下降，从而SAC还未到达最低点，还处于递减阶段。随着产量的不断增加，SAFC的递减速度越来越慢，当赶不上SAVC的上升幅度时，SAC曲线也触底后向上。二、长期成本分析

1.长期成本函数在长期中，所有的成本都是可变的，没有固定成本与可变成本之分。长期总成本可表示为

LTC=f(q，PL，PK)=PL·L*+PK·K*

其中，L*与K*可分别看做为两种要素的最优投入量。因为长期成本函数考察的是企业从其打算提供的产量出发，调整所有投入所导致的成本变化，因而各要素投入量是最优的。而短期成本函数考察的是从既定的固定投入限定的企业规模出发，调整可变投入以提供产量所导致的成本变化。在这里，固定投入极可能不是最优的，可变要素的最优投入量也只是针对既定的固定投入量而言的。所以，虽然长期成本函数与短期成本函数的表达式相似，但其间是存在重大区别的。例5-2考察例5-1中的柯布-道格拉斯生产函数q=ALαK1－α，求其长期成本函数。解

MPL=αALα－1K1－α

(5-1)

MPK=(1－α)ALαK－α

(5-2)

由于长期内，可以调整L与K的投入以满足成本最小化的要求，即存在(5-3)于是(5-4)最优投入(L*，K*)必须能生产q单位的产品，即满足

ALα·K1－α=q

(5-5)将式(5-4)代入式(5-5)，解得：(5-6)由式(5-4)求得L并代入式(5-5)，解得：(5-7)所以，长期成本函数为并且由上可见，在规模收益不变的情况下(体现为生产函数q=ALαK1－α中α+(1－α)=1)，LAC与LMC均为常数，即与产量的变化无关，且LAC=LMC，这与关于规模收益不变的理论内涵是相吻合的。就C-D生产函数而言，LAC与LMC的这些特征在规模收益变动的条件下就不存在了，读者可自行证明。比较前面例5-1求得的短期成本函数，可见，源于同一生产函数的短期成本函数与长期成本函数之间的区别是明显的。由于CES技术的成本函数和线性技术的成本函数的求取较为复杂，此处不详述。但对于以q=min({L/a，K/b}表达的里昂惕夫技术，其成本函数却很简单，因为对于特定的产量q而言，最合理也就是成本最小的要素使用量为aq和bq，所以，成本函数为

LTC(q，PL，PK)=q(aPL+bPK)

2.规模收益与学习曲线

经济学上的长期意味着企业规模是可以调整的、可变的。我们知道规模收益有三种状态，反映到成本曲线上，LMC与LAC也相应地有三种不同的走势特征。如果在某一产量区域或企业的规模区域，LMC一直低于LAC，按照前已述及的平均成本与边际成本之间的关系，LAC会一直下降，说明规模收益递增。如果LMC一直等于LAC，则LAC是一条水平线，且一般而言，这一产量区域是非常狭小的，这属于规模收益不变。如果LMC一直高于LAC，则LAC一直上升，说明规模收益递减。图5-2表示了这三种情形。图5-2规模收益与LMC、LAC之间的关系产量水平和企业规模的变化会导致企业规模收益状态的更替，因此，图5-2只是长期成本曲线组中的局部性体现。呈U形的LAC曲线主要是以边际产出递增→递减和规模收益递增→递减为基础的，但生产经营中的学习效应也会对成本带来不容忽视的影响，在一定程度上影响LAC曲线的形态。一些企业的LAC曲线有时会长时期内呈逐渐下降的特征，其原因可能来自于随产出量及生产经营经验的累积而不断进行的学习。这种学习在经济学文献中也称之为“边干边学”(learningbydoing)。边干边学使生产经营中的熟练度不断提高，从而降低了单位产品耗费的平均成本。下面，我们来对此作一简单的数学刻画。考虑两个时期t1、t2，产量分别为q1、q2，第t1期的成本为TC1(q1)，第t2期的成本则为TC2(q2)。学习效应是指TC2/q1<0，即第t1期的产出量越多，则第t2期的生产成本会下降。学习效应通常以学习曲线来表示，学习曲线的代数式可以构造为

L=AN－γ

其中，L表示单位产出的劳动投入量，N表示累积的产出量，A＞0。如γ=0，则L=A，这时单位产出的劳动投入量为一常数，N增加不会引起L减少，学习效应不存在。如γ=1，则L=A/N，那么，随着N→∞，L→0，这时单位产出的劳动投入量逼近技术上的极限值。学习效应非常充分。一般地，0＜γ＜1，γ的大小表示了学习效应的大小。例5-3设某公司在累积产量达到20时，测得总用工为200小时；在累积产量达到40时，测得总用工为360小时，试求学习曲线。解(5-8)(5-9)由L2/L1，可得：

0.9=2－γ

ln(0.9)=－γln2所以从式(5-8)可得

10=A20－0.0152

于是

A=15.77因而，学习曲线为

L=15.77N－0.0152

由于累积产量N趋向于无穷大时，单位产出耗费的劳动量的下降会遭遇到技术上制约的某一极限值，所以学习曲线也常写成L=A+BN－γ。

L值的大小实际上体现了生产耗费的平均成本的大小，学习效应带来的LAC曲线的较长时域中的下降并不会在根本上改变LAC曲线的U形走势，它只会延长LAC曲线在最低点左方的下降运行时间。学习效应也受制于边际递减规律，随着累积产出量的不断增加，单位产出量耗费的劳动时间的下降越来越慢，即学习效应导致的平均成本的降低幅度越来越小，从而LAC曲线在边际产出递减规律和规模收益递减的作用下，最终会步入上升阶段。还需指出的是，企业累积产出量的增长与企业规模的扩大常常是一致的，也就是说，规模经济效应与学习效应常常是糅合在一起的。有的经济学家甚至认为规模经济效应包含了学习效应，但不管怎样，这并不妨碍将学习效应、学习曲线单列出来进行分析。第二节投入要素与成本变动

我们已经知道，成本随着产量和要素价格的变动而变动，另一方面，成本最小化原则制约和规定了对投入要素的需求，并且成本或可支出额的变动也会影响对投入要素的需求。本节就这些问题作进一步的探讨。一、成本变动的相关弹性

1.成本弹性

成本弹性(costelasticity)指的是，在技术水平和价格不变的条件下，总产量沿生产扩张线的相对变动所引起的总成本的相对变动。生产扩张线是企业提供不同水平的产量所耗费的最低成本的点的轨迹，因而，成本弹性度量的是在一定的技术水平和价格水平条件下，产量的相对变动所引起的总成本的必需或最小变动比率，以EC代表成本弹性，它等于边际成本与平均成本之比。总成本与产量之间的函数关系决定了EC一般为正值，即总成本与产量一般同方向变动。由于总成本等于既定的要素价格(

)与要素数量(X)的乘积，有用上式代入上一章的生产力弹性表达式，则有：即成本弹性与生产力弹性具有倒数关系：

2.支出弹性

支出弹性(expenditureelasticity)指的是，在技术水平和要素价格不变的条件下，总支出(即总成本)沿着生产扩张线的相对变动所引起的投入要素的相对变动。联系生产扩张线的理论含义，同样可以理解，投入要素的这种相对变动是最经济的、必需的。设投入要素为X，总支出为TC，支出弹性为Ep，则总支出或总成本的增加，表现为图5-3、图5-4和图5-5中的等成本线平行外移；反之，总成本减少，等成本线平行向原点方向移动。与需求的收入弹性相似，根据支出弹性的大小，可将企业的各种投入要素加以分类。

(1)Ep＞0，X为正常要素(normalfactor)。如图5-3所示，企业按生产扩张线Ep扩大生产规模时，所使用的投入要素X也随之增加。

(2)Ep＝0，X为中性要素(neutralfactor)。如图5-4所示，企业生产规模扩大时，随着总支出增加，投入要素X的使用量不变，只是正常要素Y增加。

(3)Ep＜0，X为劣等要素。如图5-5所示，企业生产扩大时，随着总支出增加，企业对正常要素Y的使用量增加，但使用的X反而减少。如随着企业成本支出的增加，一些高能耗的设备逐渐被淘汰、被替代。图5-3成本变动中的正常要素图5-4成本变动中的中性要素图5-5成本变动中的劣等要素

3.利润弹性与成本弹性密切相关的另一弹性概念是利润弹性(profitelasticity)，它指的是产销量的相对变动所引起的利润的相对变动。其他条件不变时，产量的相对变动肯定会引起成本的相对变动，进而会影响到利润的相对变动。如以Eπ代表利润弹性，则：(5-10)在排除商品价格变动和市场垄断的条件下，产销量与利润的变动方向一般是一致的，即一般地有Eπ＞0。但在考虑到商品价格变动和存在市场垄断的条件下，可能会有Eπ<0或Eπ=0。利润弹性与成本弹性一般具有逆向的对应关系，即产量扩大时的成本弹性越大，利润弹性一般就越小。但也有可能在某些市场条件下(如要素成本上升，企业的产品出售价格上涨幅度更快)，产量扩大时的成本弹性增大，企业的利润弹性也增大。尽管如此，成本弹性对于利润弹性的本质性影响总是存在的。利润可表示为(5-11)因P·q的取值往往是某一时期内的，假设企业存续期为t期，FC/t就表示企业固定资产总投资额在某一时期(与P、q的取值期限对应)的折旧额(为简单起见，这里假设折旧平均进行)。对式(5-11)求导：(5-12)以式(5-11)和式(5-12)代入式(5-10)，可得(5-13)由此可见，假定一定时期内市场价格和平均可变成本不变，且P≠AVC，则FC/t也即企业固定成本的大小是影响企业利润弹性大小的一个重要因素。如果企业固定资产多，则折旧费和租金大；或者负债多，则利息支出大，等等。即企业的总固定成本大，利润弹性就大。因为固定成本和固定资产大的条件下，扩大产量会使固定资产得以更充分地利用，从而带来利润更大幅度的增长。自然，这时的成本弹性较小，因为固定成本大，意味着总成本也相应地大，从而成本弹性公式中的(dTC/TC)就相对较小。就式(5-13)来说，当q(P－AVC)＞FC/t时，FC/t或FC大，Eπ也越大；当q(P－AVC)＜FC/t时，Eπ＜0，FC/t或FC越大，Eπ越接近于0，即Eπ也越大。需说明的是，Eπ＜0并不一定表明企业是亏损的，就式(5-10)来说，如果企业的产量增加了10％，但利润相对于原有利润却减少了5％，这时的Eπ＜0，然而企业利润却完全可能为正。但就式(5-13)来说，由于q(P－AVC)－FC/t=π，所以，q(P－AVC)＞FC/t才意味着企业亏损。也就是说，Eπ＜0可能意味着企业亏损，也可能企业并未亏损。如果FC/t趋近于0，则Eπ趋近于1，说明这时利润的变动幅度等同于产量的变动幅度，因为在FC基本不存在的条件下，产量的变动幅度导致了成本(实际上是可变成本)的同幅度变动。当然，FC不可能等于0。固定成本大因而利润弹性大的企业，当市场繁荣时，产量提高，利润往往提高更快；当市场萧条时，产量下降，利润往往下降更快。即投资大或负债多的企业面临着更大的市场风险。从中还可隐约地感到，固定资产是经济波动的一个重要基础，这也是与相关的宏观经济学原理吻合的。中国的老国有企业，固定资产和固定成本都很大，这是不同的市场环境下国有企业效益波动很大的一个重要原因。顺便指出，国企的刚性用工制度长时期内使用工数量和工资总额实际上成为了企业的固定资产和固定成本。考虑式(5-13)，如果P=AVC，则Eπ=0，即这时的产量变动不会导致利润有任何变动。因为这时处于停止营业点，销售收入仅恰好弥补可变成本。当然，停止营业点阻止了P＜AVC。二、要素价格与成本

1.条件要素需求函数

在既定价格和产量下求成本最小化问题，可表示为其中：C(ω，q)是产量q既定时的最小成本；产量q的生产技术由生产函数f(X)给定；要素价格ω为常数。这时最优要素组合函数X(ω，q)为条件要素需求函数，它依赖于产出水平和要素价格。这里的“条件”指的是产量为q这一约束。更明确地说，对于生产既定的q单位产出成本最小的某要素使用量的最优选择的函数称为条件要素需求函数。可将它记作X(ω，q)。条件要素需求函数与要素价格的乘积构成最小成本函数C(ω，q)，简称成本函数。根据条件要素需求函数的含义，针对生产函数，可以求取条件要素需求函数。例5-2中，针对C-D生产函数q=ALa·K1－a，式(5-6)和式(5-7)便是关于L和K的条件要素需求函数，因为L和K是生产既定产量q的最优要素组合，满足成本最小化原则。

2.谢泼德引理(Shephard’slemma)

设xi(ω，q)为既定产量q和要素价格ω时，企业对第i种投入要素的条件需求。若成本函数C(ω，q)可微，且有ω＞0，则证明：任取一组要素价格ω′，记对应的条件要素需求为X(ω′，q)，考虑函数

S(ω)=C(ω，q)－ωX(ω′，q)

这样定义的函数S(ω)≤0，因为X(ω′，q)不是要素价格为ω时的最优要素组合，而按定义，C(ω，q)是在要素价格为ω时的最优投入组合的成本。显然，在ω=ω′时，S(ω′)=0，这是S(ω)的最大值。于是下列一阶条件成立：由于这个等式对任何要素价格ω′都成立，谢泼德引理得证。谢泼德引理说明产出不变时，成本函数对要素价格的偏导数恰是企业对该要素的条件需求。

3.成本函数的性质

了解成本函数的性质，有助于理解要素价格及其变动对于成本的影响。成本函数的性质有：

(1)C(ω，q)是ω和q的单增函数。若ω′≥ω，则有：C(ω′，q)≥C(ω，q)；若q′≥q，则有C(ω，q′)≥C(ω，q)。其经济含义是，当产量(或要素价格)不变时，较高的要素价格(或较高的产量)对应的最小成本也较高。

(2)C(ω，q)是ω的一次齐次函数。对于t＞0，有：C(tω，q)=tC(ω，q)。其经济含义是，若要素价格上涨为原来的t倍，则最小成本也扩大为原来的t倍。

(3)C(ω，q)是ω的凹函数。对于0≤t≤1，有：

C(tω+(1－t)ω′，q)≥tC(ω，q)+(1－t)C(ω′，q)

对上述性质的证明如下：

(1)令x和x′是与ω和ω′相联系的成本最小化时对应的要素投入，所以ω′≥ω，所以ω′x′≥ωx′，ωx′≥ωx，代入成本函数的表达式，则有C(ω′，q)≥C(ω，q)。类似地，也可证明，若q′≥q，有C(ω，q′)≥C(ω，q)。

(2)若x是价格为ω时成本最小的要素投入簇，则价格为tx时，x也是最小化成本要素投入。如若不是这样，可设x′是价格为tω时成本最小的要素投入簇，以致tωx′＜tωx成立。但这一不等式意味着ωx′＜ωx，这与x的定义内容相矛盾。因此，所有的要素价格乘以相同的标量t时，不会改变成本最小化投入簇的构成，成本一定严格地以t倍在上升，即

C(tω，q)=tC(ω，q)

(3)令(ω，x)和(ω′，x′)为不同的要素价格条件下两个成本最小化的价格-要素投入量组合，令ω″=tω+(1－t)ω′，0≤t≤1。既然x″并不必然是价格ω或ω′下生产q的成本最低的投入量，就存在ωx″≥ωx，ω′x″≥ω′x′。因此：又由于

tC(ω，q)=tωx；C(ω′，q)=ω′x′所以

C(tω+(1+t)ω″，q)≥tC(ω，q)+(1－t)C(ω′，q)成本函数的凹性说明，在其他要素价格不变，只有一种要素价格上升时，成本提高的比率会小于该种要素价格上升的比率。因为，某一要素价格上升，而其他要素价格不变时，企业会转而使用其他可替代的要素。我们利用图5-6来说明一种要素价格变动对成本函数的影响，这也是对C(ω，q)的凹性的几何说明。设x0为价格ω0时的成本最小化要素簇，考虑要素i的价格由变为ωi，其他要素的价格不变。假设企业行为惰性，即不根据要素价格的变化调整其要素投入结构，仍持原来的需求x0，则其成本函数为图5-6成本函数为凹函数如图5-6所示，这在(ωi，C)平面上是一条斜率为的直线，它所代表的函数关系也称为“惰性成本函数”。但是，理性的企业不可能在要素价格发生变化时不相应地调整其要素投入结构。当要素价格发生上述变化时，企业会修正要素投入，以达到最小化成本C(ωi，q)。最小化成本函数表示的成本一定小于惰性生产函数表示的成本。曲线C(ωi，q)在处与惰性成本函数曲线相切，表现为向下弯曲，又因为簇是任取的，故C(ωi，q)是ωi的凹函数。

4.条件要素需求函数的性质

由谢泼德引理可知，由既定的成本函数可以派生出条件要素需求函数。那么，由成本函数的性质也可以导出条件要素需求函数的如下性质：

(1)关于要素价格的零次齐次性。对于任意的非零常数t，有：

x(tω，q)=x(ω，q)

就是说，当产量q不变时，要素价格扩大t倍，维持成本最小的投入要素量不会改变。由于这里的x代表投入要素簇，因而x的价格扩大t倍可视作所有的投入要素价格均扩大t倍。

(2)对称性。这是指对于任意的两种要素xi和xj，均有：但须注意，此式并不保证两种要素的需求交叉弹性一定相等。这是因为，在一般情况下有

(3)要素自身价格效应为负。其数学表达式为这说明投入要素的需求量随其自身价格的上涨(下降)而减少(增加)。条件要素需求函数的前两个性质由读者根据成本函数的性质去证明，这里仅证明条件要素需求函数的第3个性质。证明：由于成本函数是一个凹函数，所以矩阵为一个半负定矩阵，即对所有的向量U=(Ui，Uj)′，均有U′HU≤0。由于半负定矩阵的主对角线上的元素和均非正，即≤0，≤0，于是：

5.替代效应与产出效应

在成本最小化的目标导向下，要素价格的变动所导致的成本变动必然会引起企业的行为调整。要素价格变动所产生的影响可以用要素的替代效应与产出效应来分析。假定企业生产中投入L、K两种要素，当K的价格PK不变，而L的价格PL下降时，企业即使在维持产量不变的前提下，也会增加L的投入，减少K的投入，这是替代效应。另一方面，由于L的价格下降，降低了企业生产的成本，导致企业在原有成本规模上可以增加L的投入，从而增加产量。这是产出效应，或称扩大效应。图5-7要素的替代效应与产出效应替代效应和产出效应可用图5-7加以具体说明。点E1为L降价前企业的生产要素最优组合。当PL下降后，等成本线由RS移至RT，并与新的等产量线相切于点E3。L的投入量由L1增至L3，K的投入量由K1增至K3，这是替代效应和产出效应共同作用的结果。其中，L1L2和K1K2为替代效应，L2L3和K2K3为产出效应。当然，类似地还可得到要素价格上升时，替代效应与产出效应共同作用的结果。第三节利润最大化与利润函数

讨论了成本及成本函数后，现在开始转入对利润问题的探讨。假定利润最大化是企业追求的目标，但影响利润大小的因素众多，理论上用利润函数来表示和刻画其中的主要因素及其影响。

一、利润最大化

利润可以表达为π=P·q－ωx。该式中的P与ω分别为产品价格和要素价格，它们是由整体市场力量决定的。x为投入要素向量，有x=(x1，…，xn)。产品数量q是由企业自身力量决定的，它的技术基础是生产函数，有q=f(x1，…，xn)。因此存在π=p·f(x)－ωx或π=p·f(x1，…，xn)-ωx。假定产品价格和要素价格既定，利润就只是投入要素x的函数。企业面临的利润最大化问题可表示为

max(P·q-ωx)

1.利润最大化的一阶条件

若利润最大化函数是可微的，利润最大化的一阶条件为于是(5-14)即利润最大化的一阶条件为投入要素的边际产值等于该要素的价格。利润最大化问题还可表示为

max(R(x1，…，xn)－C(x1，…，xn))其中，R(x)与C(x)分别为企业收益函数与成本函数，因为在价格不变的假定条件下，企业的收益与成本也均为投入要素x的函数。这时，利润最大化的一阶条件为于是(5-15)即利润最大化的一阶条件为要素带来的边际收益等于要素的边际成本。因为假定价格不变，并考虑到产销量与企业收益的对应关系，此式也可理解为企业的边际收益等于边际成本。式(5-14)和式(5-15)在本质意义上是相通的，或者说，式(5-14)的内容是式(5-15)的内容中的特例。理论上还可用几何方法来说明利润最大化的一阶条件。设只有一种投入要素、一种产出品的生产技术q=f(x)，在图5-8的平面几何图上，等利润线的方程是

π°=P·q－ωx也即这是一条斜率为ω/P的直线。容易理解，等利润线往上方移动表示利润水平提高。图5-8中的阴影部分为生产可能集，企业的目标就是要在生产可能集中找到一点以达到尽可能高的等利润线。显然，这个最优生产点必定是生产函数曲线f(x)与某一条等利润线的切点(x*，q*)。在切点处，等利润线与生产函数曲线的斜率相等，即：这也就是式(5-14)表示的利润最大化的一阶条件。图5-8利润最大化的一阶条件和二阶条件

2.利润最大化的二阶条件

在一种投入、一种产出的情况下，利润最大化的二阶条件为即生产函数对投入要素的二阶导数必须是非正的。这意味着，生产函数曲线必须像图5-8中那样位于与等利润线的切点及切点以下，或者说，这一切点附近的生产函数曲线是向下弯曲的，用数学语言说就是生产函数有局部的凹性。在多种投入、一种产出的情况下，利润最大化的二阶条件是：在利润最大化点，生产函数的二阶导数矩阵必须是半负定的，即二阶条件要求如下的海赛矩阵(Hessianmatrix)：(5-16)(5-17)对任何向量h必须满足hD2f(x)ht≤0的条件。当投入要素只有一种时，式(5-17)的二阶条件就简化为式(5-16)。要求海赛矩阵是半负定的，意味着在最大利润点的某一邻域内，生产函数具有凹性，即生产函数必须低于最大利润点的切平面。

3.利润最大化与规模收益

以上对于利润最大化问题的分析是有一定的局限性的。例如，当生产函数不是可微函数时，就无法用微分法求出利润的一阶和二阶条件，里昂惕夫生产函数就是不可微的。还有，以上的利润函数或利润最大化问题只有在规模收益递减时才存在。如果生产技术是呈规模收益递增的，只要P＞ω，如果想最大化Pq－ωx，就意味着要选择无穷大的生产规模或无穷大的要素投入量，现行规模下总不可能提供最大化的利润，因为扩大规模总是会使利润再增加。也就是说，规模收益递增时，不存在利润最大化问题。对于规模收益不变的技术，只要利润不为零，也不存在利润最大化问题。假定我们能找到利润最大化点，并且最大化利润为正，即：若按t倍扩大生产规模，t又满足t＞1，利润便为上式表明，只要利润为正，利润就会一直按生产规模扩张的比例增加，利润表现为无边界，因而也不存在利润最大化的函数。利润最大化函数可能不是唯一的。如对规模收益不变的技术来说，如果生产函数f(x)=x(一个单位的投入要素生产一个单位的产出)有最大化利润，但利润水平为零，在任何水平的规模上，都存在最大化利润(零利润)问题，即最优解显然不止一个。规模收益递减条件下，企业才面临着选择一个最优规模，也就是选择一个最优要素投入、最优产量以使利润最大化的问题。例5-4柯布-道格拉斯生产技术的利润函数。考虑f(x)=xα(α＞0)形式的生产函数的利润最大化问题。一阶条件为

Pαxα－1=ω

二阶条件为

Pα(α－1)xα－2≤0

二阶条件仅在α≤1时满足，这意味着此时的生产函数是规模收益不变或规模收益递减的。若α=1，规模收益不变，一阶条件简化为P=ω，任何x值条件下的生产都是利润最大化(利润为零)的选择。若α＜1，条件要素需求为

将条件要素需求代入生产函数表达式得：利润函数为以上所述是否意味着MR=MC原则在规模收益递增等条件下变得没有意义呢？不是。以上是从企业生产规模扩张的总趋势意义上而言的，经济学上的规模变动指的是企业所有投入要素的同比例变动，但在任何时点上的企业生产规模是一定的，在这一定的规模约束和决定某一投入要素或某些投入要素的变动时，MR=MC原则仍应是考虑问题的基点。

4.多种技术条件下的利润最大化如果某企业集团有A、B两个下属企业，它们拥有的生产某产品的技术是不一样的，从而生产的成本状况也有差异(此种情况在现实社会中是很普遍的)。企业集团怎样在不同的生产技术、生产方法之间分配产量，以使企业集团的利润最大化呢？设A、B两企业的成本函数为则边际成本函数为简单的线性函数：

MCA=28+0.04qA，MCB=16+0.02qB

并且有

qA=25MCA－700，qB=50MCB－800企业集团从利润最大化原则出发，必会将两个企业的产量调整到满足MCA=MCB=MCT。因为若MCA＞MCB，企业集团必会减少A企业的产量，增加B企业的产量，从而使总利润增加。不难理解，当A、B两企业的边际成本相等时，这一边际成本自然也就是企业集团的边际成本(MCT)。因此，有：

qT=qA+qB=75MCT－1500企业集团的边际成本函数为

MCT=20+0.0133qT

A、B两企业的边际成本函数和整个企业集团的边际成本函数如图5-9(a)所示。这里要注意的是，在K点，MCT=MCB。如果产量大于K点代表的产量(600单位)，综合A、B两个企业的MCT曲线比MCA曲线低，比MCB曲线也低，说明两个企业以某种合理的产量比例共同生产是值得的。如果产量低于600单位，MCT曲线高于MCB曲线，说明A、B两企业共同生产还不如让B企业单独生产，这意味着A企业要停产或关闭。因此，整个企业集团的实际边际成本曲线为图5-9(a)中的折线FKG。如图5-9(a)所示，当企业集团的产量为600单位时，A企业的产量也为零，B企业承担600单位的生产。这不仅可从图形上判断出来，将MC=28代入qA=25MCA－700中也可计算得到。一般地，当低成本企业的边际成本高于高成本企业边际成本的最低水平时，会产生它们所构成的企业集团的实际边际成本线的折点。又设企业集团的产品需求函数为qT=5000-100P，则边际收益为MR=50-0.02qT。令边际收益等于边际成本：

50－0.02qT=20+0.0133qT

据上式，可得到利润最大化时的企业集团均衡产量为900，并据此可计算出这时的MR=MC=32，即图5-9(b)中的E点。为了使900个单位的产量的利润最大，应在A、B两企业中进行产量的合理分配，使两个企业的最后一个单位产品的边际成本都为32。也就是A企业应生产100单位产品，B企业应生产800单位产品。上述的两种生产技术条件下的产量分配原理当然也可推广到更多种生产技术条件下的产量分配，以求总的利润最大化。图5-9利润最大化时的产量分配

5.多种产品生产条件下的利润最大化多种产品生产条件下的利润最大化指同一企业在生产多种产品的条件下，如何实现利润最大化的问题。这又可分为两种情况来论述。

(1)生产替代性多种产品。这是指在企业资源约束条件下，多生产一种产品，就必须少生产另一种产品或另一些产品。对于既定的资源，产品的产量之间具有明显的替代性。现假设某企业生产x、y两种产品。如图5-10所示，横轴代表生产资源的使用水平，为了使分析更直观化，也可将横轴作为生产x和y所耗费的时间向量，纵轴代表边际收益或边际成本。定义图5-10生产资源分配的利润最大化

MRPx和MRPy分别为变动一单位时间(当然也可理解为一单位生产资源)所带来的x或y的边际生产收益，即有：

MRPx曲线与MRPy曲线在水平方向上相加，得到整个企业的边际生产收益(MRPT)曲线。为了实现利润最大化，必须满足MRPT=MC和MRPx=MRPy=MC，因为这两个等式中，任何一个变量偏大或偏小时，理性的企业调整使用的生产时间或时间的结构分配，都会使利润更大。只有在这两个等式成立时，才意味着实现了利润最大化。因此，这时的利润最大化条件也可表述为

MRPT=MC=MRPx=MRPy

需注意的是，由于x的产量与y的产量是不同质的，不能在同一横轴上表现出来，因而使用了生产时间这一同质变量。这样，这里的MC的经济意义也就变换为MC=f(H)，不同于通常运用的MC=f(q)的意义。但不难理解，这里的MRP=MC(H)与MR=MC(q)作为利润最大化的条件是等价的、相同的。根据利润最大化要求，企业生产x与y两种产品所耗费的总的生产时间为时，利润达到最大化。其中x的生产时间为，y的生产时间为，且有。将、和分别代入各自的生产函数，便可求得企业利润最大化时各自的均衡产量。当然，这一原理也适用于企业生产更多种产品时的情形。

(2)生产联合性多种产品。这是指企业在从事某种产品的生产时会自动和不可避免地产生副产品，这些副产品或直接或经过简单加工后便可形成另外的产品。这样的产品组合也称为联合产品。例如，生产肉牛时也生产牛皮；养鸭场同时还加工生产咸鸭蛋；火力发电厂利用排放的煤渣生产水泥和砖，等等。还可举例，对于一个现存的原油精炼厂和相同品质的原油，每多生产一定的轻油(如汽油)，就会产生数量基本稳定的重油；通常在一个矿里可同时发现两种或更多的矿种，当矿石被熔炼时，会产生不止一种的金属，如镍和锌经常是伴生的。这种联合产品的生产过程中，往往产品的产量比例较为固定，如生产两个单位的x产品，往往伴随着一个单位的y产品的生产或提供一个单位的y生产所需的基本原材料。如图5-11所示，假设企业生产x与y两种产品，dx与dy分别为x与y的市场需求曲线，MRx与MRy分别为x与y的边际收益曲线。由于x与y在生产过程中的伴生性及伴生比例的相对固定性，企业的总体边际收益曲线即MR曲线由MRx曲线和MRy曲线在垂直方向相加而成。如横轴上的某一点代表50头肉牛(包括5000公斤牛肉和50张牛皮)，其中最后一头肉牛带来的牛肉的边际收益为a，牛皮带来的边际收益为b，则这最后一头肉牛为企业提供的边际收益就为a+b。图5-11联合产品生产中的利润最大化在图5-11中，MRy为零时，MR曲线产生折点。因为MRy为负时，便不会有y产品的生产，所以MRy为负时的产量区域中，MR曲线与MRx曲线重合在一起。MC曲线则为企业联合产品生产的边际成本曲线，它与MR线的交点决定的联合产品的产量(q*)使企业利润最大化，这时x与y产品的市场价格分别为Px和Py。二、利润函数

1.利润函数的性质如果生产函数是f(x)，我们将企业能达到的最大利润定义为企业的利润函数：利润函数的性质有：

(1)利润函数是产品价格P的递增函数，是投入要素价格ω的递减函数。即对于所有的产品价格P′i≥Pi，存在π(P′i，ω)≥π(Pi，ω)；对于所有的要素价格，ω′i≥ωi，存在π(P，ω′i)≥π(P，ωi)。def

(2)利润函数是价格(P，ω)的一次齐次函数。即对于任意的t≥0，都有π(tP，tω)=tπ(P，ω)。

(3)利润函数是价格(P，ω)的凸函数。令P″=tP+(1－t)P′，ω″=tω+(1－t)ω′，0≤t≤1，则

π(P″，ω″)≤tπ(P，ω)+(1－t)π(P′，ω′)

前两个性质的证明可参照成本函数相关性质的证明，较为容易。下面证明第3个性质。首先，为简化证明过程，将要素价格ω与产品价格P合记为市场价格P，设q是市场价格为P时利润最大的净产出，所谓净产出可理解为在扣减了生产过程中耗费的要素品后的产出量，因此，这时的利润最大化函数就变为π(P)=maxP·q。并设q′是市场价格为P′时利润最大的净产出，q″是市场价格为P″时利润最大的净产出，那么有：(5-18)

既然根据假设，q是市场价格为P时利润最大的净产出，即Pq为最大化利润，那么Pq″代表的利润肯定比Pq低，充其量与Pq相等，即存在Pq″≤Pq，因而也有：(5-19)基于同样的道理，存在P′q″≤P′q′，于是：将式(5-19)与式(5-20)相加，得：(5-21)(5-20)将式(5-18)代入式(5-21)，得：(5-22)考虑到式(5-22)中的市场价格P是要素价格ω和产品价格P的综合及代表，因此可以认为证明了利润函数的第3个性质。

2.利润函数为凸函数的几何说明

我们再利用平面几何图来对利润函数为凸函数作更直观的说明。如图5-12所示，在价格向量为(P*，ω*)时，利润最大化的产出为q*，要素投入为x*，最大化利润为P*q*－ω*x*。假定P上升，但企业继续维持原有的要素投入x*和原有的产量q*。我们将这种惰性行为下的利润与产出量之间的关系称为“惰性利润函数”，并且表示成。显然，这是一条斜率为q*的直线。图5-12利润函数为凸函数追求利润最大化行为下的所获利润，一定至少要与惰性利润函数中的利润一样大，所以π(P)曲线一定位于Π(P)曲线之上。对于任何价格P，都可以重复同样的论断。所以利润函数一定位于它与惰性利润函数曲线的切线的上面，也即利润函数π(P)一定是凸函数。为了更好地理解利润函数为凸性的理论运用意义，我们假设自由竞争行业中的企业面对产品价格的随机波动。设产品价格为P1的概率为a，产品价格为P2的概率为(1-a)，价格稳定时的产品价格=aP1+(1－a)P2。因为利润函数有凸性，所以有：即市场价格波动能使企业获得更多的利润。这是因为企业在价格高时生产得多，而在价格低时生产得少，导致总利润额超过价格稳定时的企业总利润额。

3.霍特林引理(Hotelling’slemma)

在成本函数中有谢泼德引理，类似地，在利润函数中有霍特林引理。为了更好地论述霍特林引理，我们先对包络定理(theenvelopetheorem)作一简要的介绍。

(1)包络定理。假设f(x，a)是x和a的一个函数。这里a是一个外生变量，现在面临的问题是寻找适当的x*，以使f(x，a)达到最大，记为若a的值发生变化，x*也须变化，目标函数的最大值f(x*，a)也会随之变化。研究外生变量或参数变化导致最优选择或极值如何变化便是所谓的比较静态研究。判断a变化时M(a)=f(x*(a)，a)的变化，可以求dM/da，而这通常是对特定的a先求出最大值点x*(a)，将其代入目标函数f(x，a)中，再对a求导得到。这种方法烦琐、复杂。包络定理提供了一种十分有效的方法，沿用上面所作的记号，有：

(2)霍特林引理。若企业的利润函数π(P，ω)可微，则：①产品供给；②要素需求。证明：由利润函数的定义，有：包络定理中的a就是P或ω，M(a)就是π(P，ω)。按照包络定理，π(P，ω)对P的偏导数就是目标函数的偏导数在最优处取值，即：要素需求函数中的负号的经济意义是：要素价格提高时，利润会减少。霍特林引理给出的q(P，ω)便是供给函数，xi(P，ω)便是要素需求函数。霍特林引理为人们寻求生产均衡点提供了另一种方法，即可以不用成本函数而是从利润函数求出投入要素的最优组合。由霍特林引理给出的产品供给函数式不难发现，它表示的是企业在满足利润最大化条件下，对应于不同的产品价格(P)及投入品价格集(ω)而提供的产出量。由霍特林引理可知，若已知企业的生产函数，要求该企业的供给函数，方法之一是：先求出该企业的利润函数；再让利润函数对产品价格P求一阶偏导，结果便可得供给函数。

4.各种函数的简要评说

本章论述至此，我们已分析了成本函数、条件要素需求函数、利润函数及供给函数，加上上一章讨论过的生产函数，已从不同角度、不同方面刻画、描绘了企业的生产行为特征及其约束条件等。这些函数之间都有着密切的内在联系，往往一种函数确定后，便能派生和推演其他的函数。而且显而易见的是，成本最小化函数与利润最大化函数是相互对应的，利润的最大化也就是成本的最小化。还有诸如本章第一节所阐明的成本函数与生产函数之间也存在着密切的对应关系。这样的对应关系在理论上也被称之为对偶性。对偶性的存在并不意味着分析其他函数的必要性的丧失。我们至少可从以下方面去理解这一问题：

(1)不同刻画技术特征的方法的存在可以方便理论上的分析。由于数学技术等方面的原因，不同函数的求取、表现力等是有所差异的。

(2)函数及函数性质的勾勒简单明了。例如，前面分析价格波动时企业利润高于稳定价格时的利润便是一例，这是利润函数凸性的一个平常结论。

(3)不同函数对同一经济问题或经济现象的刻画往往能起到相互印证、相互补充的作用，增强研究结论的科学性和理论上的辐射力。第四节企业的其他行为模型

在前几节，我们论述和分析了关于利润最大化的企业行为模型。尽管这一模型在生成有关企业行为的可供检验的假设方面十分有用，而且长期以来这一模型一直被作为经济学研究中的最主要模型，但它也存在一定的局限性。现实经济生活中，企业常常并不以利润最大化为目标。经济学家也提出了一些其他的模型和理论来说明企业的非利润最大化行为，本节选择其中较有影响、较具代表性的几种予以介绍。一、收益最大化这一理论假定是威廉·鲍莫尔(W.J.Baumol)于20世纪60年代首先明确提出的。应该说，这一假定是对企业某些方面的行为特征的较为准确的提炼。

1.收益最大化目标的意义

当企业实际上所面对的需求曲线是不确定的时候，或者当它们对其产出的边际成本并没有很可信的把握的时候(生产多种产品的企业尤其有可能如此)，试图使销售额最大化的决策可能是为了保证其长期生存的合理的经验做法。一些管理顾问公司也的确对其客户企业强调：作为一种保护自身免受变幻莫测的市场损害的办法，使其“市场份额”最大化是十分重要的。由于种种原因，利润信息比销售收益信息更加难以传递，而且销售收益是反映企业规模的一个更好指标。著名的《财富》杂志就是以公司的销售收益为标准来排列每年的世界500强的。收益规模的扩张能增强企业在行业中的地位和影响力，增强其抵御市场风险的能力。产业组织学和企业管理学常将企业的市场份额看做是抵抗市场风险能力的一个重要指标。当然，销售收益与市场份额是既有联系又有区别的。尽管销售收益是一个绝对数额指标，市场份额是一个相对比例指标，两者并不完全一致，但两者毕竟高度相关，在同一个行业中尤其如此。

2.均衡产量的决定一个严格以收益最大化为目标的企业会选择边际收益为零的产出水平，因为在此点再进一步增加销售就会引起总收益下降。这一选择可由图5-13来说明。对于面对需求曲线d的企业来说，可以通过提供产出水平qm来实现收益最大化目标。当q＜qm时，边际收益MR为正值，于是，增加产销量就会使总收益增加(尽管可能并不带来利润的增加)；当q＞qm时，MR为负值，这时，进一步增加产销量反而会引起总收益下降。通过对(初级)微观经济学的学习，我们知道边际收益与需求弹性之间存在如下关系：当MR=0时，|Ed|=1。也就是说，收益最大化目标下的企业均衡产量qm点的需求弹性为单位弹性。而如果企业遵循的是利润最大化原则，则会选择图5-13中的产量qn，因为在qn点，边际收益等于边际成本。由于在qn点，MR＞0，存在|Ed|＞1，即需求是有弹性的，也就是说具有扩大产销量的市场条件。追求收益最大化的企业不会满足qn的产量水平。图5-13收益最大化时的均衡产量

3.有约束的收益最大化

选择收益最大化的企业既不关注它的生产成本，也不关注它在销售中的盈利状况。在图5-13中的产出水平为qm时，企业的利润有可能为负值。在利润低于正常利润或为负值时，没有企业能够长期生存，企业在长期内是无法承受亏损的。所以，如果假定企业一定会通过其行为来达到某种低水平的盈利能力可能更符合实际。但在这里，维持起码水平的利润的目的是为了企业的生存，是为收益最大化目标服务的。当然，这也不排斥企业在短期内置低水平的利润于不顾而去满足收益最大化目标。在收益最大化目标下，对基本利润水平的顾及会推动企业去选择低于点qm但高于点qn的产量。因此，企业的行为是一种有约束的收益最大化，或称准收益最大化。尤其从长期来看企业的行为都是这样的。

二、效用最大化

指企业追求的目标是企业内部人员尤其是管理层效用的最大化，利润最大化被效用最大化代替。效用函数由许多因素决定，其自变量包括薪水、奖金、地位、权力、在职消费、在职闲暇、企业规模(即企业增长)、企业和谐、兴趣满足、自我价值和社会责任等。威廉姆森(Williamson)于20世纪60年代提出的经理支出偏好模型，迈里斯(Marris)在20世纪60