黑龙江省大兴安岭市漠河县一中2024-2025学年高中数学第二章平面向量2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义学案新人教A版必修4

PAGEPAGE12．4．1平面对量数量积的物理背景及其含义一、三维目标学问与技能：1.驾驭平面对量的数量积及其几何意义；2.驾驭平面对量数量积的重要性质及运算律；3.了解用平面对量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；4.驾驭向量垂直的条件。过程与方法：通过数量积的学习，使学生驾驭向量的数量积及其运算，及数形结合的思想。情感看法与价值观：培育学生应用意识。二、学习重、难点：重点：平面对量的数量积定义。难点：平面对量数量积的定义及运算律的理解和平面对量数量积的应用。三、学法指导：本节学习的关键是理解平面对量数量积的定义，理解定义之后便可推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加对于平面对量数量积的相识。主要学问点：平面对量数量积的定义及几何意义；平面对量数量积的重要性质；平面对量数量积的运算律。四、学问链接：力做的功：W=|F||s|cos，是F与s的夹角。两个非零向量夹角的概念已知非零向量与，作＝，，则叫与的夹角。（1）当时，与同向；（2）当时，与反向；（3）当时，与垂直，记；（4）留意在两向量的夹角定义，两向量必需是同起点的范围0≤≤180五、学习过程：问题1.平面对量数量积（内积）的定义：并规定与任何向量的数量积为0。说明：两个向量的数量积与向量同实数积区分（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所确定。（2）两个向量的数量积称为内积，写成；书写时要严格区分符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替。（3）在实数中，若，且，则；但是在数量积中若，且，不能推出因为其中cos有可能为0。问题2.“投影”问题3.向量的数量积的几何意义：问题4.由向量数量积的定义，能得到哪些结论：设、为两个非零向量，则A例1.已知,，与的夹角，求.A问题5.平面对量数量积的运算律:说明：（1）一般地，（2）A例2证明：有如下常用性质：.B例3已知,，与的夹角为求.B例4已知,，且与不共线，k为何值时，向量与相互垂直。六、达标检测：B1.已知，，且与垂直，则与的夹角是（）A.60°B.30°C.135°D.B2已知，，，则______，。B3.已知向量、的夹角为，，，则。B4.已知，a-b=-8i+16j，其中是直角坐标系中x轴、y轴正方向上的单位向量，那么=。B5.已知，，(1)若∥，求；(2)若、的夹角为，求.B6.设，，且与垂直，则＝。七、学习小结：1平面对量的数量积及其几何意义。2.驾驭平面对量数量积的重要性质及运算律。3.平面对量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题。八、课后反思：

2．4．1平面对量数量积的物理背景及其含义例1a·b=-10例2证明：(ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２(ａ—ｂ)（a+b）＝ａ２—ｂ２(ａ＋ｂ)２＝(ａ＋ｂ)(ａ＋ｂ)=ａ·ａ+ａ·ｂ+ｂ·ａ+ｂ·ｂ=ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２(ａ—ｂ)（a+b）=ａ·ａ-ａ·ｂ+ｂ·ａ+ｂ·ｂ=ａ２—ｂ２例3(a+2b)·(a-3b)=-72例4解：向量a+kb与a-kb相互垂直的条件是：（a+kb）·（a-kb）=0即ａ２—k２ｂ２=0∵ａ２=9ｂ２=16∴9-16k２=±【达标检测】1D2|a+b|=______，|a-b|=.3.|a+