周世勋量子力学教案2学习资料

PAGEPAGE17§2.1波函数的统计解释

一．波动－粒子二重性矛盾的分析

物质粒子既然是波，为什么长期把它看成经典粒子，没犯错误？

实物粒子波长很短，一般宏观条件下，波动性不会表现出来。到了原子世界（原子大小约1A）,物质波的波长与原子尺寸可比，物质微粒的波动性就明显的表现出来。

传统对波粒二象性的理解：

（1）物质波包物质波包会扩散，电子衍射，波包说夸大了波动性一面。

（2）大量电子分布于空间形成的疏密波。电子双缝衍射表明，单个粒子也有波动性。疏密波说夸大了粒子性一面。

对波粒二象性的辨正认识：微观粒子既是粒子，也是波，它是粒子和波动两重性矛盾的统一，这个波不再是经典概念下的波，粒子也不再是经典概念下的粒子。在经典概念下，粒子和波很难统一到一个客体上。二．波函数的统计解释

1926年玻恩提出了几率波的概念:在数学上，用一函数表示描写粒子的波，这个函数叫波函数。波函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。既描写粒子的波叫几率波。

描写粒子波动性的几率波是一种统计结果，即许多电子同一实验或一个电子在多次相同实验中的统计结果。

几率波的概念将微观粒子的波动性和粒子性统一起来。微观客体的粒子性反映微观客体具有质量，电荷等属性。而微观客体的波动性，也只反映了波动性最本质的东西：波的叠加性（相干性）。

描述经典粒子：坐标、动量，其他力学量随之确定；

描述微观粒子：波函数，各力学的可能值以一定几率出现。设波函数描写粒子的状态，波的强度，则在时刻t、在坐标x到x+dx、y到y+dy、z到z+dz的无穷小区域内找到粒子的几率表示为，应正比于体积和强度

归一化条件：在整个空间找到粒子的几率为1。

归一化常数可由归一化条件确定

重新定义波函数，

叫归一化的波函数。

在时刻t、在坐标(x,y,z)点附近单位体积内找到粒子的几率称为几率密度，用表示，则

归一化的波函数还有一不确定的相因子；

只有有限时才能归一化为1。

经典波和微观粒子几率波的区别：

（1）经典波描述某物理量在空间分布的周期变化，而几率波描述微观粒子某力学量的几率分布；

（2）经典波的波幅增大一倍，相应波动能量为原来四倍，就变成另一状态了；而微观粒子在空间出现的几率只决定于波函数在空间各点的相对强度，将几率波的波幅增大一倍并不影响粒子在空间各点出现的几率，即将波函数乘上一个常数，所描述的粒子的状态并不改变；

（3）对经典波，加一相因子，状态会改变，而对几率波，加一相因子不会引起状态改变。

问题：设波函数为，求在（）范围找到粒子的几率。

问题：在球坐标系中，粒子波函数表示为，求（a）在球壳中找到粒子的几率。(b)在方向的立体角中找到粒子的几率。

§2.2态迭加原理

波函数的统计解释是波粒二象性的一个表现。微观粒子的波粒二象性还可以通过量子力学的一个基本原理：态迭加原理表现。经典的波是遵从迭加原理的，两个可能的波动过程与的线性迭加也是一个可能的波动过程。波的干涉、衍射现象可用波的迭加原理解释。

量子力学的态迭加原理：如果和是体系的可能状态，那么它们的线性迭加：（是复数）也是这个体系的一个可能状态。

电子双缝衍射：设表示电子穿过上面窄缝到达屏的状态，设表示电子穿过下面窄缝到达屏的状态。表示电子穿过两个窄缝到达屏的状态，则有，电子在屏上某点出现的几率可表示为

正是干涉项的存在，才有了衍射条纹。

经典的态具有正交性，而量子态具有相干性。薛定谔猫佯谬。

推广到更一般情况：当是体系的可能状态，他们的线性迭加：

（是复数）

也是这个体系的一个可能状态。经典力学质点运动：初始状态（位置、速度）任意时刻质点的状态

量子力学波函数：初始状态波函数任意时刻波函数的状态

薛定谔在1926年建立了薛定谔方程

对波函数所满足的方程的要求：

(1)线性方程，迭加原理的要求；

(2)方程系数不含状态参量（动量、能量），各种可能的状态都要满足方程。

建立过程：自由粒子波函数所满足的方程推广到一般。

自由粒子的波函数为平面波：

对时间求偏微商：

对坐标求二次偏微商：

同理得：，，

将以上三式相加：，

利用自由粒子的能量和动量的关系，我们可得到自由粒子波函数所满足的微分方程：

上式中劈形算符：，

如存在势能，能量和动量的关系是：，

波函数应满足的微分方程是;

这个方程称为薛定谔方程。

由建立过程可以看出，只需对能量动量关系进行如下代换：

，

就可得到薛定谔方程。注意：薛定谔方程是建立起来的，而不是推导出来的，它是量子力学中的一个基本假设，地位同牛顿力学中的牛顿方程。它的正确性由方程得出的结论与实验比较来验证。多粒子体系的薛定谔方程，设体系有N个粒子，分别表示这N个粒子的坐标，体系的状态波函数为：，体系的势能为，则体系的能量可写成

，

上式两边乘以波函数，并作代换：，

其中：，

就得到多粒子体系的薛定谔方程：。

§2.4粒子流密度和粒子数守恒定律一．连续性方程

设描写粒子的状态波函数为：，则几率密度为

几率密度随时间的变化率是

由薛定谔方程和其共轭复数方程得

，，

将上两式代入得

则：，连续性方程。

上式两边对空间任意一体积V积分

，

利用高斯定理得：

，

应解释为几率流密度矢量。单位时间内体积V中增加的几率，等于从体积V外部穿过V边界面S而流进V内的几率。如果波函数在无穷远处为零，将积分区域V扩展到整个空间，则

，

即在整个空间内找到粒子的几率与时间无关，这反映了粒子数守恒。如波函数是归一的，则它将保持归一性，而不随时间改变。

质量密度：，质量流密度：

则：，量子力学中的质量守恒定律。

同理，定义电荷密度：，电流密度：，可得量子力学中的电荷守恒定律。

二．波函数的标准条件

有限性、连续性、单值性§2.5定态薛定谔方程一．定态薛定谔方程

当势能与时间无关时，我们可用分离变量法将方程简化

，

带入：，并把方程两边用去除

，两边都等于常数E

,

可解出：，则，定态波函数。

叫定态薛定谔方程。

表示能量，为哈密顿函数。

二．定态下的一些特点

定态：能量具有确定值；定态波函数所表示的状态。

在定态中，几率密度和几率流密度都与时间无关。§2.6一维定态问题一．一维定态波函数的一般性质

对一维定态问题，薛定谔方程为

定理一：设是方程的一个解，对应能量为E,则也是方程的一个解，对应能量也为E。

证明：，对方程两边取复共轭，利用

满足相同的方程，对应的能量都是E。

定理二：设具有空间反射不变性，即，如为方程的一个解，对应能量为E；则也为方程的一个解，对应能量也是E。

定理三：当时，如无简并，方程的解有确定的宇称。即偶宇称：，或奇宇称：。

证明：因为和都是能量E的解，二者应表示同样的状态。因此应只差一常数。，则

所以，，，。

二．一维无限深势阱

，

，

，

，

令，

方程的解为：，

利用边界条件：得：，

即：，，（时，，无物理意义）

,对应的波函数为：。

利用归一化条件：,得：，

归一化后的波函数为：。

束缚态：无穷远处为零的波函数所描述的状态。

基态：体系能量最低的态。

三．一维线性谐振子

一维线性谐振子的势能为，

体系的薛定谔方程为，

进行如下变量代换：，，

薛定谔方程变为：，变系数二级常微分方程。

，方程变为，解为，

时，有限，将写成如下形式：，

带入原方程

将H按展成幂级数，时，有限,要求幂级数只有有限项。级数只有有限项的条件是：，

线性谐振子的能级为：，线性谐振子的能量为分离值，相邻能级的间距为。

零点能：，。

厄密多项式：

递推公式:(1)

（2）

（3）

（4）

对应的波函数为：，

归一化常数：

四．势垒贯穿

；

薛定谔方程为，

，

(a)时

令，

方程变为：，

，

在区域，波函数：

在区域，波函数：

在区域，波函数：

对投射波，不应有向左传播的波，即：。

利用波函数及微商在和的连续条件，我们有

:

:

:

,

解方程组：

利用几率流密度公式：

得出入射波、透射波、反射波的几率流密度

入射波几率流密度：

透射波几率流密度：

反射波几率流密度：

投射系数：

反射系数：

(b)时

令，方程变为：，

方程的解形式为：

利用边界条件得：

其中双曲正弦函数，双曲余弦函数

投射系数：

隧道效应：粒子在能量E小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象。

按经典力学：，如，则动能为负。是无意义的。但在微观世界，由于粒子的波粒二象性，动能和势能是无法同时确定的，上述等式是不成立的。因此可以可出，隧道效应是微观粒子所特有的量子效应。第二章

小结一．波函数的统计解释.

(量子力学―基本假设)为几率波。几率密度满足连续性，有限性，单值性。二．态叠加原理：

态叠加原理是微观例子具有波动性的体现。经典粒子的态是具有正交性。三．薛定谔方程

(量子力学――基本假设)（1）.薛定谔方程是基本假定，是建立的不是推导的（2）.薛定谔方程是线性方程四．定态薛定谔方程定态：能量有确定的值定态波函数

定态薛定谔方程

定态波函数实际是能量本征函数定态薛定谔方程存在定态解五．一维定态问题

（1）.一维无限深势井

本征值

本征函数

（2）.一维线性谐振子

本征值

本征函数

六．连续性方程

几率密度

几率流密度

第二章

例题一．求解一位定态薛定谔方程

1．试求在不对称势井中的粒子能级和波函数[解]薛定谔方程:

当

,

故有

利用波函数在

处的连续条件由

处连续条件:

由

处连续条件:

给定一个n值,可解一个,

为分离能级.2．

粒子在一维势井中的运动

求粒子的束缚定态能级与相应的归一化定态波函数[解]体系的定态薛定谔方程为当时对束缚态

解为

在

处连续性要求将

代入得

又

相应归一化波函数为:

归一化波函数为:3

分子间的范得瓦耳斯力所产生的势能可近似地表示为

求束缚态的能级所满足的方程[解]束缚态下粒