专训3-构造三角函数基本图形解实际问题的几种数学模型

阶段方法技巧训练（二）专训2构造三角函数基本图形解实际问题的几种数学模型习题课

解直角三角形及其应用是近几年各地中考命题的热点之一，考查内容不仅有传统的计算距离、高度、角度的应用题，还有要求同学们根据题中给出的信息构建三角函数的基本图形，建立数学模型，将某些简单的实际问题转化为数学问题，把数学问题转化为锐角三角函数问题来求解．运用锐角三角函数知识解决与实际生活、生产相关的应用题是近年来中考的热点题型．1模型构造一个直角三角形解实际问题1．【2017·台州】如图是一辆小汽车与墙平行停放

的平面示意图，汽车靠墙一侧OB与墙MN平行

且距离为0.8米，已知小汽车车门宽AO为1.2米，

当车门打开角度∠AOB为40°时，车门是否会

碰到墙？请说明理由．(参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84)如图，过点A作AC⊥OB，垂足为点C，在Rt△ACO中，∵∠AOC＝40°，AO＝1.2米，∴AC＝AO·sin∠AOC≈0.64×1.2＝0.768(米)．∵汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8米，∴车门不会碰到墙．解：2．【2017·鄂州】如图，小明想要测量学校食堂和食堂

正前方一棵树的高度，他从食堂楼底M处出发，向

前走3米到达A处，测得树顶端E的仰角为30°，他

又继续走下台阶到达C处，测得树的顶端E的仰角是60°，再继续向前走到大树底D处，测得食堂楼顶N的仰角为45°.已知A点离地面的高度AB＝2米，∠BCA＝30°，且B，C，D三点在同一直线上．(1)求树DE的高度；(2)求食堂MN的高度．(1)设DE＝x.∵AB＝DF＝2，∴EF＝DE－DF＝x－2.∵∠EAF＝30°，∴AF＝(x－2)．

又∵CD＝

，BC＝

，∴BD＝BC＋CD＝

2＋

x.由AF＝BD可得(x－2)＝2＋

x，

解得x＝6.∴树DE的高度为6米；解：(2)如图，延长NM交DB的延长线于点P，则AM＝BP＝3.

由(1)知CD＝

x＝×6＝2，BC＝2，∴PD＝BP＋BC＋CD＝3＋2＋2＝3＋4.∵∠NDP＝45°，∴NP＝PD＝3＋4.∵MP＝AB＝2，∴NM＝NP－MP＝3＋4－2＝1＋4，∴食堂MN的高度为(1＋4)米．2构造形如“”的两个直角三角形解实际问题模型3．【2016·资阳】如图，“中国海监50”正在南海海域A处

巡逻，岛礁B上的中国海军发现点A在点B的正西方向

上，岛礁C上的中国海军发现点A在点C的南偏东30°

方向上，已知点C在点B的北偏西60°方向上，且B，C两地相距120海里.(1)求出此时点A到岛礁C的距离；(2)若“中国海监50”从A处沿AC方向向岛礁C驶去，当到达点A′时，测得点B在A′的南偏东75°

的方向上，求此时“中国海监50”的航行距离．(注：结果保留根号)(1)如图所示，过点C作CD⊥BA交BA延长线于点D，

由题意可得：∠CBD＝30°，BC＝120海里，

则DC＝60海里，

故cos30°＝

，

则AC＝40海里．

答：点A到岛礁C的距离为40海里．解：(2)如图所示：过点A′作A′N⊥BC于点N，A′E⊥AD于点E，

可得∠A′BE＝90°－75°＝15°，则∠A′BC＝30°－∠A′BE＝15°.∴∠A′BE＝∠A′BC，即BA′平分∠CBA.∴A′N＝A′E，又易得∠AA′E＝30°，∠A′CN＝30°，

设AA′＝x，则A′E＝

x，

故CA′＝2A′N＝2A′E＝2×x＝

x，∵x＋x＝40，∴x＝20(3－)海里．

答：此时“中国海监50”的航行距离为20(3－)海里．4．【2016·黔东南州】黔东南州某校吴老师组织九(1)班同

学开展数学活动，带领同学们测量学校附近一电线杆

的高．如图，已知电线杆直立于地面上，某天在太阳

光的照射下，电线杆的影子(折线BCD)恰好落在水平

地面和斜坡上，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°，

在C处测得电线杆顶端A的仰角为45°，斜坡与地面成60°角，CD＝4m，请你根据这些数据求电线杆的高(AB)．(结果精确到1m，参考数

据：≈1.4，≈1.7)延长AD交BC的延长线于G，作DH⊥BG于H，如图所示．则∠G＝30°.在Rt△DHC中，∠DCH＝60°，CD＝4，则CH＝CD·cos∠DCH＝4×cos60°＝2，DH＝CD·sin∠DCH＝4×sin60°＝2，∵DH⊥BG，∠G＝30°，∴HG＝

＝6，∴CG＝CH＋HG＝2＋6＝8，解：设AB＝xm，∵AB⊥BG，∠G＝30°，∠BCA＝45°，∴BC＝x，BG＝

，∵BG－BC＝CG，∴x－x＝8，解得：x≈11.答：电线杆的高约为11m.5．【中考·安徽】如图，防洪大堤的横断面是梯形ABCD，

其中AD∥BC，坡角α＝60°.汛期来临前对其进行了加

固，改造后的背水面坡角β＝45°.若原坡长AB＝20m，

求改造后的坡长AE(结果保留根号)．如图，过点A作AF⊥BC于点F.在Rt△ABF中，∠ABF＝α＝60°，∴AF＝AB·sin60°＝20×＝10(m)．在Rt△AEF中，β＝45°，∴AF＝EF，∴AE＝(m)．答：改造后的坡长AE为10m.解：3构造形如“”的两个直角三角形解实际问题模型6．【2016·深圳】某兴趣小组借助无人飞机航拍校园．如

图，无人飞机从A处水平飞行至B处需8s，在地面C处

同一方向上分别测得A处的仰角为75°，B处的仰角为30°.已知无人飞机的飞行速度为4m/s，求这架无人飞

机的飞行高度．(结果保留根号)．如图，作AD⊥BC于D，BH⊥水平线于H，由题意得：∠ACH＝75°，∠BCH＝30°，AB∥CH，∴∠ABC＝30°，∠ACB＝45°，∵AB＝4×8＝32(m)，∴CD＝AD＝AB·sin30°＝16m，BD＝AB·cos30°＝16m，∴BC＝CD＋BD＝(16＋16)m，则BH＝BC·sin30°＝(8＋8)m.答：这架无人飞机的飞行高度为(8＋8)m.解：7．【2017·绍兴】如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，

小敏在实验楼的窗口C测得教学楼顶部D的仰角为18°，

教学楼底部B的俯角为20°，量得实验楼与教学楼之间

的距离AB＝30m.(1)求∠BCD的度数．(2)求教学楼的高BD.(结果精确到0.1m，参考数据：tan20°≈0.36，tan18°≈0.32)(1)如图所示，过点C作CE⊥BD于点E，

则有∠DCE＝18°，∠BCE＝20°，∴∠BCD＝∠DCE＋∠BCE＝18°＋20°＝38°.(2)由题意得，CE＝AB＝30m，

在Rt△CBE中，BE＝CE·tan20°，

在Rt△CDE中，DE＝CE·tan18°，∴教学楼的高BD＝BE＋DE＝CE·tan20°＋CE·tan18°≈20.4(m)．

答：教学楼的高约为20.4m.解：4构造形如“”的两个直角三角形解实际问题模型8．【2017·潍坊】如图，某数学兴趣小组要测量一栋五层

居民楼CD的高度．该楼底层为车库，高2.5m；上面五

层居住，每层高度相等．测角仪支架离地1.5m，在A

处测得五楼顶部点D的仰角为60°，在B处测得四楼顶

部点E的仰角为30°，AB＝14m．求居民楼的高度．(精确到0.1m，参考数据：≈1.73)设每层楼高为xm，由题意得MC′＝MC－CC′＝2.5－1.5＝1(m)，则DC′＝(5x＋1)m，EC′＝(4x＋1)m.在Rt△DC′A′中，∠DA′C′＝60°，∴C′A′