证明不等式的技巧 2025年高考数学二轮复习备考

21世纪教育网精品试卷·第2页（共2页）考点精炼--证明不等式的技巧2025年高考数学二轮复习备考一、单选题1．已知命题p：，，则（

）A．p是真命题，：，B．p是真命题，：，C．p是假命题，：，D．p是假命题，：，2．下列四个不等式①，②，③，④中正确的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．43．以下不等式不成立的是（

）A．， B．，C． D．，4．若(a，b为变量)成立，则下列选项正确的是（

）A． B．C． D．5．已知正数满足，则（

）A． B． C． D．6．若，则正实数的取值范围为（

）A． B． C． D．7．已知，，给出下列不等式①；②；③；④其中一定成立的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题8．若不等式恒成立，则实数的取值范围为.9．已知定义在上函数满足：，写出一个满足上述条件的函数.10．对于任意的不等式且恒成立，则的取值范围是．11．已知实数x、y满足，则yx．（在“>”、“<”中选一个填在横线处）三、解答题12．已知函数．(1)若曲线在点处的切线的斜率为2，求的值．(2)当时，证明：，．13．当时，证明：.14．设函数，．(1)讨论的单调性．(2)证明：．(3)当时，证明：．15．设函数．(1)当时，证明：．(2)当时，证明：．16．已知函数.(1)讨论的单调性；(2)当时，，求实数a的取值范围.17．已知x∈（0，1），求证：

参考答案1．A利用导数判断命题的真假，再求命题的否定即可.设函数，则，所以在上单调递增，所以，所以，，所以命题p：，为真命题；又：，.故选：A.2．C首先证明、，利用判断①②③，令令，，利用导数说明函数的单调性，求出函数的最小值，即可说明④.令，则，所以当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以（当且仅当时取等号）；令，，则，所以当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以（当且仅当时取等号）；对于①：当时，所以，故①正确；对于②：因为（当且仅当时取等号），所以，当且仅当时取等号，故②正确；对于③：（当且仅当时取等号），故③错误；对于④：令，，则，所以当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，则，所以（当且仅当时取等号），故④正确；综上可得①②④正确．故选：C3．D对于各个选项分别构造函数，；，；，；，.再求导研究单调性，进而用单调性性质判定即可.对于A，令，，由，则在上单调递增，则，不等式成立；对于B，令，，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，则，不等式成立；对于C，令，，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增，则，不等式成立；对于D，令，，当时，，所以不等式不成立．故选：D．4．A方法一利用对数的运算性质同构，再由函数的单调性求解即可；举反例可得C、D错误；方法二利用对数的运算性质同构，再由函数的单调性求解即可；举反例可得C、D错误；方法一：对于A、B，由，可得，令，则，因为在R上是增函数，所以，故A正确，B错误；对于C，取，符合，但，故C错误；对于D，取，符合，但，故D错误.方法二：对于A、B由，可得，令，则，因为在上是增函数，所以，即，对于C，取，符合，但，故C错误；对于D，取，符合，但，故D错误.故选：A.5．A法一：由得，令，则，当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，所以，所以在上恒成立，所以，即，所以，所以；由两边同除以得，令，则，所以在上恒成立，当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，所以，所以在上恒成立，所以，即，所以，从而．法二：由得，即，所以，令，，当时，，在单调递增，所以，所以，则有；由得，即，所以，因为，，，所以，即故．故选：A6．B不等式可化为，故考虑构造函数，利用导数研究函数的单调性，结合单调性化简不等式可得，由已知，再利用导数求函数的最小值，可得的取值范围.不等式，可化为，设，则，即在上单调递增，而，因为，所以，由已知恒成立，令，则，当时，即递减；当时，即递增；∴，故只需，即．又，所以的取值范围为.故选：B7．C由可得，分别构造，和，通过求导，求出单调性和最值可判断①③④；取特值可判断②.由，，可得：，因为，所以，所以，所以，解得：，由可得：，所以，对于命题①，，令，所以在上单调递增，因为，所以，故命题①正确；对于命题②，由可得：，所以，所以在上单调递减，所以，所以，故命题②正确；对于命题③，由，取，所以，所以，所以③错误.对于命题④，因为，所以，。令，，令，，所以在上单调递减，，所以，所以在上单调递减，所以，所以，故命题④正确.故选：C.8．不等式恒成立等价于，，令，，利用导数研究函数的最值，即可得出结论．不等式恒成立，，令，，，，令，则函数在上单调递增，，，，存在唯一使得，即，，时，函数在上单调递减，时，函数在上单调递增．时，函数取得极小值，即最小值，，实数的取值范围为．故答案为：．9．（答案不唯一）先证明，再证明均满足题设要求，故可得为满足题设要求的函数.先证明：.设，则，故在上为减函数，故，故恒成立，故可设，则，即，而，故均满足题设要求，特别地，取，故满足题设要求.故答案为：（答案为不唯一）.10．原不等式转化为，构造函数，利用导数研究其单调性，从而得，令，利用导数求解最值求得，即可得解.不等式对恒成立，当时，，取，此时，不符合题意，因此，此时有，即，当，即时，，不等式恒成立，当，即时，令，于是，且，而时，，即函数在上单调递增，此时，所以要使不等式恒成立，只需时，即，令，求导得，当时，，当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，，所以，解得，所以a的取值范围是.11．<根据条件可得，构造函数利用导数证明，由此可得，即得，令，利用导数判断的单调性，得解.由，可得，令，则，当时，，所以函数在上单调递增，，即，一定有，所以，则，可得．又因为，所以，令，则，当时，，，则，所以，所以函数在上单调递增．因为，所以.故答案为：.12．(1)(2)证明见解析（1）根据导数的几何意义，结合切线斜率，求的值；（2）首先将所证明不等式两边取对数，变形为，再构造不等式，利用导数判断函数的单调性，即可证明.（1），则．因为曲线在点处的切线斜率为2，所以，即．（2）当时，，要证，即证，两边同时取对数得，即证令，则．所以在上单调递减，所以，所以．13．证明见解析利用构造函数法，结合导数来证得不等式成立.证明：令，则，，因为，所以，所以在上单调递增，所以当时，，即，所以当时，.14．(1)的增区间为，减区间为，(2)证明见解析(3)证明见解析（1）因为，易知定义域为，，由，得到，由，得到或，所以的增区间为，减区间为，.（2）因为，易知定义域为，，当时，，当时，，即在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以.（3）由（2）知，当且仅当时取等号，所以，当且仅当时取等号，要证明，即证明，令，则在区间上恒成立，又，所以，所以，命题得证.15．(1)证明见解析(2)证明见解析（1）当时，，定义域为．，构造函数，则，，所以在上单调递增，又，所以当时，单调递减；当时，单调递增．所以，故．（2），当时，易知在上单调递增，，所以存在，使得，即．当时，单调递减；当时，单调递增．所以，当且仅当时取等，此时，满足．故原不等式得证．16．(1)答案见解析(2)（1）依题意，得.当时，，所以在单调递增.当时，令，可得；令，可得，所以在单调递增，在单调递减.综上所述，当时，在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减.（2）因为当时，，所以，即，即，即.令，则有对恒成立.因为，所以在单调递增，

故只需，即对恒成立.令，则，令，得.当时，，当时，，所以在单调递增，在单调递减，所以.因此，所以.17．证明见解析用分析法证明，要证ex＜lnxlnx＋1－2x＋＞0，令g（x）＝lnx＋1－2x＋，求导，证明g（x）＞0即可；证明:要证，只需证ex＜lnx，又易证ex＞x＋1（0＜x＜1），∴只