第18章 平行四边形知识清单-正方形的性质和判定 2024-2025学年人教版八年级数学下册

第五课时正方形的性质与判定【课前预习】【知识点1正方形的定义】有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．【知识点2正方形的性质】①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．【知识点3正方形的判定】①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．【题型分类】【1】正方形的性质（求角的度数）【2】正方形的性质（求线段的长度）【3】正方形的性质（求面积、周长）【4】正方形的性质（探究数量关系）【5】正方形的性质综合应用【6】判定正方形成立的条件【7】正方形判定的证明【8】正方形的判定与性质综合【课堂互动】【题型1正方形的性质（求角的度数）】【例1】如图，以正方形ABCD的一边AD为边向外作等边△ADE，则∠ABE的度数是．【训练1-1】如图，E为正方形ABCD外一点，AE＝AD，BE交AD于点F，∠ADE＝75°，则∠AFB＝°．【训练1-2】如图，在正方形ABCD内，以AB为边作等边△ABE，则∠BEG＝°．【训练1-3】在正方形ABCD外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E连接BE，DE，其中DE交直线AP于点F．连接AE，若∠PAB＝20°，求∠ADF的度数．【题型2正方形的性质（求线段的长度）】【例2】如图，正方形ABCD的边长为1，点E在对角线BD上，且∠BAE＝22.5°，则BE的长为．【训练2-1】边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是AB、BC的中点，连结EC、FD，点G，H分别是EC、DF的中点，连结GH，则GH的长为．【训练2-2】如图，正方形ABCD和正方形CEFG，点G在CD上，AB＝5，CE＝2，T为AF的中点，求CT的长．【训练2-3】正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°．（1）求证：EF＝AE+CF；（2）当AE＝1时，求EF的长．【题型3正方形的性质（求面积、周长）】【例3】正方形ABCD中，AB＝4，点E、F分别在BC、CD上，且BE＝CF，线段BF、AE相交于点O，若图中阴影部分的面积为14，则△ABO的周长为．【训练3-1】如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点E，F分别在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于点H．若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为3：4，则△BCH的周长为（）A．25−4 B．25 C．25+4 D．2【训练3-2】如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝6，F为DE的中点．若OF的长为1，则△CEF的周长为（）A．14 B．16 C．18 D．12【训练3-3】将5个边长为2cm的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，A3，A4是正方形的中心，则这个正方形重叠部分的面积和为（）A．2cm2 B．1cm2 C．4cm2 D．6cm2【题型4正方形的性质（探究数量关系）】【例4】如图，若在正方形ABCD中，点E为CD边上一点，点F为AD延长线上一点，且DE＝DF，则AE与CF之间有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．【训练4-1】如图（1），正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AC上一点，连接DE，过点A作AM⊥DE，垂足为M，AM与BD相交于点F．（1）直接写出OE与OF的数量关系：；（2）如图（2）若点E在AC的延长线上，AM⊥DE于点M，AM交BD的延长线于点F，其他条件不变．试探究OE与OF的数量关系，并说明理由．【训练4-2】四边形ABCD是正方形，G是直线BC上任意一点，BE⊥AG于点E，DF⊥AG于点F，当点G在BC边上时（如图1），易证DF﹣BE＝EF．（1）当点G在BC延长线上时，在图2中补全图形，写出DF、BE、EF的数量关系，并证明．（2）当点G在CB延长线上时，在图3中补全图形，写出DF、BE、EF的数量关系，不用证明．【训练4-3】如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于O．（1）如图1，设E、F分别是AD、AB上的点，且∠EOF＝90°，线段AF、BF和EF之间存在一定的数量关系．请你用等式直接写出这个数量关系；（2）如图2，设E、F分别是AB上不同的两个点，且∠EOF＝45°，请你用等式表示线段AE、BF和EF之间的数量关系，并证明．【题型5正方形的性质综合应用】【例5】（1）如图1的正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF＝45°，延长CD到点G，使DG＝BE，连接EF，AG．求证：EF＝FG；（2）如图2，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点M，N在边BC上，且∠MAN＝45°．若BM＝1，CN＝3，求MN的长．【训练5-1】已知正方形ABCD如图所示，连接其对角线AC，∠BCA的平分线CF交AB于点F，过点B作BM⊥CF于点N，交AC于点M，过点C作CP⊥CF，交AD延长线于点P．（1）求证：BF＝DP；（2）若正方形ABCD的边长为4，求△ACP的面积；（3）求证：CP＝BM+2FN．【训练5-2】如图1，在正方形ABCD中，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．（1）若点E是BC边上的中点，求证：AE＝EF；（2）如图2，若点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，那么结论“AE＝EF”是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；（3）如图3，若点E是BC边上的任意点一，在AB边上是否存在点M，使得四边形DMEF是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．【训练5-3】在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在线段OC上，点F在线段AB上，连接BE，连接EF交BD于点M，已知∠AEB＝∠OME．（1）如图1，求证：EB＝EF；（2）如图2，点N在线段EF上，AN＝EN，AN延长线交DB于H，连接DF，求证：DF=2AH【题型6判定正方形成立的条件】【例6】下列说法正确的个数是（）①对角线互相垂直或有一组邻边相等的矩形是正方形；②对角线相等或有一个角是直角的菱形是正方形；③对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；④对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【训练6-1】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是（）A．BC＝AC B．BD＝DF C．AC＝BF D．CF⊥BF【训练6-2】已知四边形ABCD是平行四边形，再从四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（）①AB＝BC，②∠ABC＝90˚，③AC＝BD，④AC⊥BD选①② B．选①③ C．选②③ D．选②④【训练6-3】如图，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．要使四边形EFGH是正方形，BD、AC应满足的条件是．【题型7正方形判定的证明】【例7】如图，已知四边形ABCD是矩形，点E在对角线AC上，点F在边CD上（点F与点C、D不重合），BE⊥EF，且∠ABE+∠CEF＝45°．求证：四边形ABCD是正方形．【训练7-1】已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E是两锐角平分线的交点，ED⊥BC，EF⊥AC，垂足分别为D，F，求证：四边形CDEF是正方形．【训练7-2】如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M、N．（1）求证：∠ADB＝∠CDB；（2）若∠ADC＝°时，四边形MPND是正方形，并说明理由．【训练7-3】如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC中点、F是AC中点，AN是△ABC的外角∠MAC的平分线，延长DF交AN于点E，连接CE．（1）求证：四边形ADCE是矩形；（2）若AB＝BC＝4，则四边形ADCE的面积为多少？（3）直接回答：当△ABC满足时，四边形ADCE是正方形．【题型8正方形的判定与性质综合】【例8】四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）如图，求证：矩形DEFG是正方形；（2）若AB＝4，CE＝22，求CG的长度；（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是40°时，直接写出∠EFC的度数．【训练8-1】如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝42，点E为对角线AC上一动点，连接DE、过点E作EF⊥DE．交BC点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．【训练8-2】如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，EF⊥AD于点F，DG