2024-2025学年新教材高中数学 第6章 导数及其应用 6.2 利用导数研究函数的性质 6.2.2 第2课时 函数最值的求法教学实录 新人教B版选择性必修第三册

2024-2025学年新教材高中数学第6章导数及其应用6.2利用导数研究函数的性质6.2.2第2课时函数最值的求法教学实录新人教B版选择性必修第三册授课内容授课时数授课班级授课人数授课地点授课时间教学内容《2024-2025学年新教材高中数学第6章导数及其应用6.2利用导数研究函数的性质6.2.2第2课时函数最值的求法教学实录新人教B版选择性必修第三册》主要内容包括：复习回顾导数的定义、求导法则和导数的几何意义；学习运用导数研究函数的增减性，并通过具体实例学习利用导数求解函数的最值，包括闭区间和开区间两种情况。核心素养目标培养学生运用导数分析函数性质的能力，提高逻辑推理和数学建模素养；增强数学抽象和直观想象能力，通过实际问题解决提升数学应用意识；强化数学表达和交流能力，在合作学习中提升数学思维品质。教学难点与重点1.教学重点

-明确本节课的核心内容，以便于教师在教学过程中有针对性地进行讲解和强调。

a.导数在函数最值问题中的应用：教师需强调导数是研究函数性质的重要工具，特别是如何利用导数判断函数的极值点，以及如何从极值点判断函数的最大值或最小值。

b.导数的几何意义与函数最值的关系：重点讲解导数的几何意义如何帮助我们直观理解函数在特定点的切线斜率与函数的增减性之间的关系。

2.教学难点

-识别并指出本节课的难点内容，以便于教师采取有效的教学方法帮助学生突破难点。

a.极值点的判定：学生可能难以理解如何根据导数的符号变化判断极值点，需要通过实例和练习来强化这一概念。

b.函数最值的分类讨论：对于闭区间和开区间的情况，学生需要学会如何根据函数的连续性和端点值来分类讨论最值问题，这是一个抽象的数学思维过程。

c.复杂函数的最值求解：在处理涉及复合函数或分段函数的最值问题时，学生可能难以确定合适的求导策略和求解方法，需要教师提供具体的指导。教学资源-软硬件资源：电子白板、笔记本电脑、投影仪、数学软件（如Mathematica、GeoGebra等）

-课程平台：学校内部教学平台、在线教育平台（如国家中小学网络云平台）

-信息化资源：导数概念动画、函数图像分析软件、在线测试系统

-教学手段：多媒体课件、教学视频、课堂练习题、学生互动软件教学实施过程1.课前自主探索

教师活动：

发布预习任务：通过在线平台或班级微信群，发布预习资料（如PPT、视频、文档等），明确预习目标和要求。例如，要求学生预习导数的定义和求导法则，并尝试对简单函数进行求导。

设计预习问题：围绕导数及其应用，设计一系列具有启发性和探究性的问题，引导学生自主思考。如：“如何通过导数判断函数的单调性？”

监控预习进度：利用平台功能或学生反馈，监控学生的预习进度，确保预习效果。例如，通过在线测试或课堂提问来检查学生的预习情况。

学生活动：

自主阅读预习资料：按照预习要求，自主阅读预习资料，理解导数的概念和求导法则。

思考预习问题：针对预习问题，进行独立思考，记录自己的理解和疑问。例如，学生可能会对导数的几何意义产生疑问。

提交预习成果：将预习成果（如笔记、思维导图、问题等）提交至平台或老师处。教师可以通过这些成果了解学生的预习情况。

2.课中强化技能

教师活动：

导入新课：通过实际生活中的例子，如速度与时间的关系，引出导数的概念，激发学生的学习兴趣。

讲解知识点：详细讲解导数的定义、求导法则和导数的几何意义，结合实例帮助学生理解。例如，通过绘制函数图像和切线斜率来解释导数的几何意义。

组织课堂活动：设计小组讨论，让学生通过合作解决函数最值问题。例如，让学生讨论如何利用导数找到函数的极大值和极小值。

解答疑问：针对学生在学习中产生的疑问，如“如何确定函数的极值点？”进行及时解答和指导。

学生活动：

听讲并思考：认真听讲，积极思考老师提出的问题。

参与课堂活动：积极参与小组讨论，体验导数在解决实际问题中的应用。

提问与讨论：针对不懂的问题或新的想法，如“导数在非连续点如何处理？”勇敢提问并参与讨论。

3.课后拓展应用

教师活动：

布置作业：布置一些涉及导数应用的练习题，如求函数的极值、分析函数的单调性等，巩固学习效果。

提供拓展资源：提供与导数相关的拓展资源，如数学竞赛题、在线教程等，供学生进一步学习。

反馈作业情况：及时批改作业，给予学生反馈和指导，如指出错误的原因并提供改进建议。

学生活动：

完成作业：认真完成老师布置的课后作业，巩固学习效果。

拓展学习：利用老师提供的拓展资源，尝试解决更复杂的数学问题。

反思总结：对自己的学习过程和成果进行反思和总结，提出改进建议。例如，学生可能会反思自己在解决最值问题时遇到的困难，并思考如何改进解题策略。教学资源拓展1.拓展资源

a.导数的历史背景与数学家介绍

-介绍导数的起源和发展，如牛顿和莱布尼茨的贡献。

-介绍历史上对导数概念有重要影响的人物，如费马、巴罗等。

b.导数的几何应用

-探讨导数在物理学中的应用，如速度和加速度的计算。

-研究导数在经济学中的应用，如边际成本和边际收益的分析。

c.导数的实际案例

-分析实际生活中的函数最值问题，如建筑设计中的材料最优化问题。

-探讨导数在工程技术中的应用，如电路设计中的电阻和电流分析。

d.高阶导数与隐函数求导

-介绍高阶导数的概念和性质，如二阶导数、三阶导数等。

-讲解隐函数求导的方法，如复合函数求导、参数方程求导等。

e.导数在微积分中的应用

-介绍微积分的基本概念，如微分、积分等。

-探讨导数在微积分中的应用，如求不定积分、定积分等。

2.拓展建议

a.阅读相关书籍

-推荐阅读《微积分学导论》等书籍，深入了解导数的概念和应用。

-阅读数学史书籍，了解导数的发展历程和数学家的贡献。

b.观看教学视频

-观看在线教育平台上的导数教学视频，如KhanAcademy、Coursera等。

-观看科普视频，如《数学之美》等，了解导数在各个领域的应用。

c.参加数学竞赛

-参加数学竞赛，如美国数学竞赛（AMC）、国际数学奥林匹克（IMO）等。

-通过竞赛，提高学生的数学思维能力和解决问题的能力。

d.实践项目

-参与数学建模竞赛，如美国大学生数学建模竞赛（MCM/ICM）等。

-在实践中应用导数，解决实际问题，如优化设计、数据分析等。

e.小组讨论与合作

-与同学组成学习小组，共同讨论导数相关的问题。

-通过合作学习，提高学生的沟通能力和团队合作精神。

f.教师指导

-向数学教师请教，解决在学习过程中遇到的问题。

-参加教师组织的辅导班或讲座，拓宽知识面。

g.拓展阅读

-阅读数学期刊和论文，了解导数领域的最新研究成果。

-阅读数学家的传记，了解他们的研究方法和思维方式。板书设计①导数概念

-导数定义：函数在某一点的变化率

-几何意义：函数在某一点的切线斜率

②求导法则

-基本求导法则：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的求导

-复合函数求导法则：链式法则、商法则、积法则

③导数在函数性质中的应用

-单调性：通过导数的正负判断函数的单调区间

-极值：通过导数为零的点判断极值点，结合端点值判断最值

-函数的凹凸性：通过二阶导数判断函数的凹凸性

④函数最值的求法

-闭区间上的最值：利用导数和端点值分析

-开区间上的最值：利用导数分析并考虑端点值的影响

⑤导数应用实例

-物理学中的应用：速度和加速度

-经济学中的应用：边际成本和边际收益

⑥总结

-导数是研究函数性质的重要工具

-导数的几何意义和物理意义

-利用导数解决函数最值问题作业布置与反馈作业布置：

1.完成课本第6章导数及其应用部分的相关练习题，包括求导法则的应用、函数单调性和极值的判断等。

-作业内容：第6章课后练习题1-5题（涉及求导法则）

-目的：巩固求导法则的应用，提高学生的计算能力。

2.分析以下函数的单调性和极值点，并解释原因。

-作业内容：分析函数f(x)=x^3-6x^2+9x+1的单调性和极值点。

-目的：培养学生运用导数分析函数性质的能力，提高逻辑推理能力。

3.设计一个实际问题，并使用导数解决它。

-作业内容：设计一个关于成本、收入和利润的问题，并使用导数找到最优解。

-目的：提高学生的数学应用意识和解决实际问题的能力。

4.比较以下两个函数的极值点，并解释为什么它们的极值点不同。

-作业内容：比较函数f(x)=x^2和g(x)=-x^2的极值点。

-目的：让学生理解导数在判断极值点中的作用，以及不同函数特性的影响。

作业反馈：

1.作业批改：

-对于第1项作业，检查学生是否正确应用了求导法则，是否有计算错误。

-对于第2项作业，评估学生对函数单调性和极值点的理解程度，以及分析的合理性。

-对于第3项作业，评价学生设计的实际问题的合理性，以及使用导数解决问题的能力。

-对于第4项作业，检查学生对极值点比较的准确性，以及能否解释原因。

2.作业反馈：

-对于求导法则的应用，指出学生可能出现的常见错误，如忘记常数倍数法则、幂函数求导等。

-对于函数单调性和极值点的分析，强调分析步骤的完整性，如先求导数、再找零点、最后判断极值。

-对于实际问题解决，鼓励学生尝试不同的方法，并提供改进建议，如如何更清晰地表达问题、如何选择合适的函数模型等。

-对于极值点比较，引导学生思考不同函数特性的影响，如奇偶性、对称性等。

3.反馈方式：

-通过书面反馈，详细记录学生的作业完成情况，包括正确答案、错误原因和改进建议。

-通过课堂讲解，针对共性问题进行集体反馈，帮助学生共同进步。

-通过个别辅导，针对学生的个性化问题进行一对一的反馈和指导。

4.反馈目的：

-促进学生对导数概念和应用的深入理解。

-帮助学生发现并改正错误，提高解题能力。

-鼓励学生积极参与数学学习，提高学习的主动性和积极性。教学反思九、教学反思

今天这节课，我们学习了导数及其应用中的函数最值求法。整体来看，我觉得有几个方面值得反思。

首先，我觉得我在导入新课的时候做得还可以。我尝试用一个简单的物理例子来引入导数的概念，这样既激发了学生的兴趣，又让他们更容易理解导数的意义。但是，我发现有些学生对于导数的几何意义还是不太理解，他们似乎更习惯于从代数的角度去看待问题。这让我意识到，在今后的教学中，我需要更多地结合图形和直观的例子来帮助学生理解抽象的数学概念。

接着，我在讲解求导法则时，发现学生对于复合函数求导法则的应用有些困难。他们往往记住了公式，但不知道如何在具体问题中灵活运用。我意识到，光靠讲解是不够的，我应该在讲解过程中加入更多的实例分析，让学生在实践中学会如何运用这些法则。同时，我也考虑在课后提供一些练习题，让学生通过不断的练习来提高他们的应用能力。

在课堂活动环节，我设计了一些小组讨论的问题，旨在让学生通过合作学习来解决问题。但是，我发现讨论的效果并不理想，有些小组讨论得很热烈，而有些小组则显得有些沉默。这可能是因为学生之间的互动不够，或者是对讨论问题缺乏兴趣。因此，我需要在今后的教学中更加注重培养学生的