【2024】年中考数学真题完全解读（重庆卷）「含答案」

2024年中考数学真题完全解读(重庆卷)试卷内容与结构：本次试卷从题目数量与题型上看，相比去年没有发生变化，依然是10(选择)+8(填空)+8(解答)的试卷结构，从试卷内容上看，本次试题在保持相对稳定的基础上，适当调整了考点。试题体现了数学课程的基本理念，全面评价学生在知识技能、数学思考、问题解决和情感态度方面的表现，对初中数学学习中的核心知识进行了重点全面的考试题难度与区分度：试卷难易程度依然为3:5:2,但试卷灵活度相较去年略有提升，考察的知识面更广。相较于去年高分与超高分段扎堆出现的情况，今年的成绩分布更合理，140+以上的人数明显减少，试卷也更加具有区分度，各个分段的人数更加的合理。试卷命题质量：1、本次试题注重基础，同时也考查学生的思维能力。其中有知识考点的变化，这也提醒了老师们在教学过程中，要注重数学试题的多元性，不能单就重点知识花费大量时间机械化地刷题训练。2、从命题要求看不在考察规律性，结论性的知识点，比如费马点，主从联动等，改考探究性结论，比如26题，使得题目更加灵活，更加注重学生思维能力。3、情境创设部分：填空题14题适当引入重庆特色，将“重庆的旅游”与“概率相结合”,将数学知识运用到社会生产与生活中，但是相较于往年的试卷来说，今年的情景加入的比较少。4、难易程度合理：注重考察学生思维，在反刷题上下功夫，比如变动填空题17题的位置，从选择变成了双空，使得题目更加有区分度，不同能力的学生拿到不同的分数，题型的改变，更加的注重的考察学生的思维过程，逻辑性，没有选项使得学生无法猜出答案。解答题25题部分，第三问角度问题的改革，第一年考察的比较简单，所以在第二问新增加了难度，一方面可以平衡题目难度，另一方面起到了反刷题的作用，不在单一固定考察某个知识点，最后第二问新增加的考点和第三问的影响不大，不影响第三问的作答，考察的也是一个学生的心态，真可谓一举三得，非常不错。1、在后续备考过程中，一定要回归课本，回归基础，多注重对概念，性质，关系，规律变换与关联的理解。试卷第1页，共13页4、重庆卷的综合难度在全国还是比较高，计算能力是数学的基石，所以一定要有一个非常2、原选择题第8题变为填空题第17题，原填空16题变为选择第八题。两题考察均为圆，3、原填空17题变为填空16题，难度低于圆的综合考察；4、二次函数中由原来的单一铅垂线问题变为铅14选择题有理数的比较大小24选择题轴对称图形的认识34选择题反比例函数44选择题平行线的性质试卷第2页，共13页54选择题质相似三角形相似比与面积比的关系64选择题74选择题无理数的计算与取值范围84选择题圆94选择题形的性质4选择题4填空题的运算"0”次幂和“-1"次幂的计算4填空题多边形多边形的内角和，外角和与边数的关系4填空概率的古典概型，树状图试卷第3页，共13页题4填空题用一元二次方程应用的增长率问题4填空题合三角形的全等，相似，中点的应用4填空题4填空题圆圆的性质综合，包含垂径定理，切线定理，圆周角定理，涉及4填空題数论问题中余数型与方程型8解答題解答题统计1、中位数、众数、平均数，扇形图；2、数据比较；3、从部分解答题尺规作图与证明1、过直线外一点作直线的垂线；2、填空式证明解实际应用试卷第4页，共13页答题解答题与几何性质1、根据相似的性质与运动求函数表达式；2、画函数图像，函数的性质；3、函数与不等式的关系。解答题解答题二次函数1、待定系数法求解析式；2造桥选址问题，铅垂线最值问题；3、角度存在性问题解答题几何综合1、三角形性质求角度度数；2、探究线段的数量关系：添加辅的比值，解三角形。1、减少死记硬背和‘机械刷题’现象”,扩大试题的开放性与灵活度，进一步降低死记3、回归数学探究本身，尽量不考察总结性的知识点，比如费马点、胡不归等，切实练好数学基本功。要注重落实基础，练好基本功，考生一定要回归教材，回归课堂。4、考试题目的综合性，灵活性逐年加强，强调知识的融会贯通，学以致用。考生在学习的过程中，一方面要注意梳理知识点，注意各知识点之间的关联性，另一方面通过一定的练习，加深对知识的理解，锻炼思维能力。试卷第5页，共13页2024年重庆卷数学试题都给出代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧确答案所对应的方框涂黑.1.下列四个数中，最小的数是()A.-2B.02.下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是()A.-3B.34.如图，AB//CD,∠1=65°,则∠2的度数是()A.105°B.115°C.125°5.若两个相似三角形的相似比是1:3,则这两个相似三角形的面积比是()A.1:3B.1:4C.1:66.烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子.第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，.….…按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是()试卷第6页，共13页A.20B.22C.24A.2<m<3B.3<m<4C.4<m<58.如图，在矩形ABCD中，分别以点A和C为圆心，AD长为半径画弧，两弧有且仅有一个公共点.若AD=4,则图中阴影部分的面积为()A.32-8πB.16√3-4πC.32-4πD.16√3-8π9.如图，在正方形ABCD的边CD上有一点E,连接AE,把AE绕点E逆时针旋转90°,得到FE,连接CF并延长与AB的延长线交于点G.则的值为()A.√2B.√310.已知整式M:a,x"+an-1x"⁻¹+…+a₁x+a₀,其中n,an-1,…,a₀为自然数，an为正整数，且①满足条件的整式M中有5个单项式；②不存在任何一个n,使得满足条件的整式M有且只有3个；③满足条件的整式M共有16个.其中正确的个数是()A.0试卷第7页，共13页二、填空题：(本大题8个小题，每小题4分，共32分)请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上. 12.如果一个多边形的每一个外角都是40°,那么这个多边形的边数为· 13.重庆是一座魔幻都市，有着丰富的旅游资源.甲、乙两人相约来到重庆旅游，两人分别从A、B、C三个景点中随机选择一个景点游览，甲、乙两人同时选择景点B的概率14.随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增.该公司2021年缴税40万元，202315.如图，在△ABC中，延长AC至点D,使CD=CA,过点D作DE//CB,且DE=DC,连接AE交BC于点F.若∠CAB=∠CFA,CF=1,则BF=.16.若关于x的不等式组至少有2个整数解，且关于V的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和为17.如图，以AB为直径的O0与AC相切于点A,以AC为边作平行四边形ACDE,点D、E均在O0上，DE与AB交于点F,连接CE,与⊙0交于点G,连接DG.若AB=10,DE=8,则AF=.DG=.18.我们规定：若一个正整数A能写成m²-n,其中m与n都是两位数，且m与n的十位数解”.例如：因为602=25²-23,25与23的十位数字相同，个位数字5与3的和为8,所以602试卷第8页，共13页一个新的四位数B,若B除以19余数为1,且2m+n=k²(k为整数),则满足条件的正整数A为解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形(包括辅助线),请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.20.为了解学生的安全知识掌握情况，某校举办了安全知识竞赛.现从七、八年级的学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩(百分制)进行收集、整理、描述、分析.所有学生的成绩均高于60分(成绩得分用x表示，共分成四组：A.60<x≤70;B.70<x≤80;C.80<x≤90;D.90<x≤100),下面给出了部分信息：七年级20名学生的竞赛成绩为：66,67,68,68,75,83,886,87,87,89,95,95,96,八年级20名学生的竞赛成绩在C组的数据是：81,82,84,87,88,89.七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表年级七年级八年级中位数ba八年级所抽学生的竞赛成绩统计图试卷第9页，共13页请说明理由(写出一条理由即可);(3)该校七年级有400名学生，八年级有500名学生参加了此次安全知识竞赛，估计该校七、八年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀(x>90)的学生人数是多少?成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论.根据他的(1)如图，在矩形ABCD中，点O是对角线AC的中点.用尺规过点O作AC的垂线，分别交AB,CD于点E,F,连接AF,CE.(不写作法，保留作图痕迹)EFIAC.求证：四边形AECF是菱形.∴AB//CD.试卷第10页，共13页进一步思考，如果四边形ABCD是平行四边形呢?请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：22.为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代.条甲类生产线的设备可获得3万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴.这样更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元的补贴.该企业甲、乙两类生(2)经测算，购买更新1条甲类生产线的设备比购买更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元，用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业在获得70万元的补贴后，还需投入多少资金更新生产线的设备?23.如图，在△ABC中，AB=6,BC=8,点P为AB上一点，过点P作PQ//BC交AC于点Q.设AP的长度为x,点P,Q的距离为y₁,△ABC的周长与△APQ的周长之比为(3)结合函数图象，直接写出y₁>y₂时x的取值范围.(近24.如图，甲、乙两艘货轮同时从A港出发，分别向B,D两港运送物资，最后到达A港正东方向的C港装运新的物资.甲货轮沿A港的东南方向航行40海里后到达B港，再沿北偏试卷第11页，共13页(1)求A,C两港之间的距离(结果保留小数点后一位);(2)若甲、乙两艘货轮的速度相同(停靠B、D两港的时间相同),哪艘货轮先到达C港?请通过计算说明.25.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+4(a≠0)经过点(-1,6),与V轴交于点C,与x轴交于A,B两点(A在B的左侧),连接AC,BC,tan∠CBA=4.备用图(2)点P是射线CA上方抛物线上的一动点，过点P作PE⊥x轴，垂足为E,交AC于点D.点M是线段DE上一动点，MN⊥y轴，垂足为N,点F为线段BC的中点，连接AM,NF.当线段PD长度取得最大值时，求AM+MN+NF的最小值；(3)将该抛物线沿射线CA方向平移，使得新抛物线经过(2)中线段PD长度取得最大值时的点D,且与直线AC相交于另一点K.点Q为新抛物线上的一个动点，当∠QDK=∠ACB时，直接写出所有符合条件的点Q的坐标.26.在△ABC中，AB=AC,点D是BC边上一点(点D不与端点重合).点D关于直线AB的对称点为点E,连接AD,DE.在直线AD上取一点F,使∠EFD=∠BAC,直线EF与直线AC交于点G.试卷第12页，共13页(1)如图1,若∠BAC=60°,BD<CD,∠BAD=α,求∠AGE的度数(用含α的代数式表示);(2)如图1,若∠BAC=60°,BD<CD,用等式表示线段CG与DE之间的数量关系，并证明；(3)如图2,若∠BAC=90°,点D从点B移动到点C的过程中，连接AE,当△AEG为等腰三角形时，请直接写出此时的值.试卷第13页，共13页【分析】本题考查了有理数比较大小，解题的关键是掌握比较大小的法则.根据正数大于0,0大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，即可得到答案.【详解】解：∴最小的数是-2;【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念逐一判断即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴)对称，熟练掌握知识点是解题的关键.【详解】A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；C、是轴对称图形，故本选项符合题意；D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；故选：C.【分析】本题考查了待定系数法求反比例解析式，把(-3,2)代入求解即可.【详解】解：把(-3,2)代入),得【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据平行线的性质得∠3=∠1=65°,由邻补角性质得∠2+∠3=180°,然后求解即可，熟练掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键.【详解】解：如图，答案第1页，共24页即可.【详解】解：两个相似三角形的相似比是1:3,则这两个相似三角形的面积比是1:9,【分析】本题考查数字的变化类，根据图形，可归纳出规律表达式的特点，再解答即可.第1种如图①有4个氢原子，即2+2×1=4第2种如图②有6个氢原子，即2+2×2=6第3种如图③有8个氢原子，即2+2×3=8∴第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：2+2×10=22;值范围的方法是解决此题的关键.先求出m=√27-√3=√12,即可求出m的范围.【分析】本题考查扇形面积的计算，勾股定理等知识.根据题意可得AC=2AD=8,由勾股定理得出AB=4√3,用矩形的面积减去2个扇形的面积即可得到结论.答案第2页，共24页【详解】解：连接AC,根据题意可得AC=2AD=8,在Rt△ABC中，AB=√AC²-BC²=4√3,【分析】过点F作DC延长线的垂线，垂足为点H,则∠H=90°,证明△ADE≌△EHF,则AD=EH=1,设DE=HF=x,得到HF=CH=x,则∠HCF=45°,故CF=√2x,同理可求CG=√2BC=√2,则FG=CG-CF=√2(1-x),因此【详解】解：过点F作DC延长线的垂线，垂足为点H,则∠H=90°,∴∠D=90°,DC//AB,DA=DC=BC,设DA=DC=BC=1,答案第3页，共24页满足条件的整式有：4x,3x+1,x+3,2x+2;满足条件的整式有：5;∴.满足条件的单项式有：x⁴,2x³,3x²,4x,5,故①符合不存在任何一个n,使得满足条件的整式M有且只有3个；故②符合题意；满足条件的整式M共有1+4+6+4+1=16个.故③符合题意；故选D【分析】根据零指数幂和负指数幂的意义计算.【详解】解：故答案为：3.【点睛】本题考查了整数指数幂的运算，熟练掌握零指数幂和负指数幂的意义是解题关【分析】本题考查了多边形的外角和定理，用外角和360°除以40°即可求解，掌握多边形的外角和等于360°是解题的关键.【详解】解：依题意，360°÷40°=9,∴这个多边形的边数是9,故答案为：9.【分析】本题考查了画树状图法或列表法求概率，根据画树状图法求概率即可，熟练掌握画树状图法或列表法求概率是解题的关键.【详解】解：画树状图如下：答案第5页，共24页由图可知，共有9种等可能的情况，其中甲、乙两人同时选择景点B的情况有1种，∴甲、乙两人同时选择景点B的的概率为【分析】本题主要考查一元二次方程的应用.设平均增长率为x,然后根据题意可列方程进行求解.【详解】解：设平均增长率为x,由题意得：解得：x₁=0.1=10%,x₂=-2.1(不符合题意，舍去);故答案为：10%.【分析】先根据平行线分线段成比例证AF=EF,进而得DE=CD=AC=2CF=2,AD=4,再证明△CAB≌△DEA,得BC从而即可得解.【详解】解：∵CD=CA,过点D作DE//CB,CD=CA,DE=DC,,CD=CA=DE,故答案为：3,答案第6页，共24页【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形的中位线定理，平行线分线段成比例以及全等三角形的判定及性质，熟练掌握三角形的中位线定理，平行线分线段成比例以及全等三角形的判定及性质是解题的关键.【分析】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组.先解不等式组，根据关于x的一元一次不等式组至少有两个整数解，确定a的取值范围a≤8,再把分式方程去分母转化为整式方程，解得.由分式方程的解为非负整数，确定a的取值范围a≥2且a≠4,进而得到2≤a≤8且a≠4,根据范围确定出a的取值，相加即可得到答案.【详解】解：解②得：∵关于x的一元一次不等式组至少有两个整数解，解得a≤8,解方,得∵关于V的分式方程的解为非负整数，解得a≥2且a≠4,a是偶数，则所有满足条件的整数a的值之和是2+6+8=16,故答案为：16. 【分析】连接DO并延长，交O0于点H,连接GH,设CE、AB交于点M,根据四边形ACDE为平行四边形，得出DE//AC,AC=DE=8,证明AB⊥DE,根据垂径定理得出,根据勾股定理得出OF=√OD²-DF²=3,求出AF=OA+OF=5+3=8;证明△EFMO△CAM,得出,求出,根据勾答案第7页，共24页股定理得出求出【详解】解：连接DO并延长，交◎0于点H,连接GH,设CE、AB交于点M,如图所示：∵以AB为直径的⊙0与AC相切于点A,∴DE//AC,AC=DE=8,∵DE//AC,即答案第8页，共24页即【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，垂径定理，圆周角定理，切线的性质，勾股定理，三角形相似的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方【分析】本题考查了新定义，设m=10a+b,则n=10a+8-b(1≤a≤9,0≤b≤8)根据最小的“方减数”可得m=10,n=18,代入，即可求解；根据B除以19余数为1,且2m+n=k²(k为整数),得出为整数，30a+b+8是完全平方数，在1≤a≤9,0≤b≤8,逐个检验计算，即可求解.【详解】①设m=10a+b,则n=10a+8-b(1≤a≤9,0≤b≤8)由题意得：m²-n=(10a+b)²-(10a+则m=10+b,n=18-b,则当b=0时，m²-n最小，为82,答案第9页，共24页故答案为：82;②设m=10a+b,则n=10a+8-∵B除以19余数为1,∴1010a+99b+7能被19整除又2m+n=k²(k为整数)∴2(10a+b)+10a+8-b=30a+b+8是完全平方数，∴30a+b+8最小为49,最大为256即7≤k≤16设3a+4b+7=19t,t为正整数，当t=1时，3a+4b=12,则,则是完全平方数，又1≤a≤9,0≤b≤8,无整数解，当t=2时，3a+4b=31,则则是完全平方数，又1≤a≤9,0≤b≤8,无整数解，当t=3时，3a+4b=50,则,则是完全平方数，经检验，当a=6,b=8时，3a+4b+7=3×6+4×8+7=57=19×3,30×6+8+8=196=14²,故答案为：82,4564.【分析】(1)根据单项式乘以多项式和完全平方公式法则分别计算，然后合并同类项即可；答案第10页，共24页(2)先将括号里的异分母分式相减化为同分母分式相减，再算分式的除法运算得以化简；键.【详解】(1)解：原式=x²-2xy+x²+2xy+y²,(3)该校七、八年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀的学生人数是320人.【分析】(1)根据表格及题意可直接进行求解；(2)根据平均分、中位数及众数分析即可得出结果；(3)由题意可得出参加此次竞赛活动成绩优秀的百分比，然后可进行求解；本题主要考查扇形统计图及中位数、众数、平均数，熟练掌握扇形统计图及中位数、众数、平均数是解题的关键.【详解】(1)根据七年级学生竞赛成绩可知：86出现次数最多，则众数为86,八年级竞赛成绩中A组：20×10%=2(人),B组：20×20%=4(人),D组：20-2-4-6=8(人)所占百分比为m%=1-10%-20%-30%=40%,则m=40,故答案为：86,87.5,40;(2)八年级学生竞赛成绩较好，理由：答案第11页，共24页七、八年级的平均分均为85分，八年级的中位数高于七年级的中位数，整体上看八年级学(人),答：该校七、八年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀的学生人数是320人.(2①∠OFC=∠OEA;②OA=OC;③OF=OE;④四边(1)根据垂线的尺规作图方法作图即可；(2)根据矩形或平行四边形的对边平行得到∠OFC=∠OEA,∠OCF=∠OAE,进而证明△CFO≌△AEO(AAS),得到OF=OE,即可证明四边形AECF是平行四边形.再由EF⊥AC,即可证明四边形AECF是菱形.【详解】(1)解：如图所示，即为所求；(2)证明：∵四边形ABCD是矩形，答案第12页，共24页(3)解：由函数图象可知，当y₁>y₂时x的取值范围2.2<x≤6.【分析】(1)过B作BE⊥AC于点E,由题意可知：∠GAB=45°,∠EBC=60°,求出(2)通过三角函数求出甲行驶路程为：AB+BC=40+56.4=96.4,乙行驶路程为：的关键.【详解】(1)如图，过B作BE⊥AC于点E,∴AC=AE+CE=20√2+20√6≈20×1.41+20×2.45≈77.2(海里),答案第15页，共24页(2)由(1)得：∠BAE=45°,∠EBC=60°,AC=77.2,(海里),∴甲行驶路程为：AB+BC=40+56.4=96.4(海里),乙行驶路程为：AD+CD=66.8+38.6=105.4(海里),∵96.4<105.4,且甲、乙速度相同，【分析】(1)利用正切函数求得OB=1,得到B(1,0),再利用待定系数法即可求解；(2)求得A(-4,0),利用待定系数法求得直线AC的解析式，设P(p,-p²-3p+4),求得PD最大，点P(-2,6),再证明四边形AMNE是平行四边形，得到AM=EN,推出当E、N、F共线时，EF取最小值，即AM+MN+NF取最小值，据此求解即可；(3)求得D(-2,2),再利用平移的性质得到新抛物线的解析式y'=-x²-7x-8,再分两种情况讨论，计算即可求解.【详解】(1)解：令x=0,则y=4,答案第16页，共24页(2)解：令y=0,则0=-x²-3x+4,设直线AC的解析式为y=mx+4,代入A(-4,0),得0=-4m+4,∴AE=2,MN=OE=2,E(-2,0),答案第17页，共