九年级数学全册模型构建专题解直角三角形应用中的“双直角三角形”模型练习

模型构建专题：解直角三角形应用中的“双直角三角形”模型——形成思维模式，快准解题eq\a\vs4\al(◆)类型一叠合式1．如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米到达F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB(单位：米)为()A．50eq\r(3)B．51C．50eq\r(3)＋1D．101第1题图第2题图2．一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行60海里至C处时发生了侧翻沉船事故，马上发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东30°方向，立刻以40海里/时的速度前往救援，海警船到达事故船C处所需的时间大约为________小时(用根号表示)．3．(2024·眉山中考)如图，埃航MS804客机失事后，国家主席亲自发电进行慰问，埃及政府出动了多艘舰船和飞机进行搜救，其中一艘潜艇在海面下500米的A点处测得俯角为45°的前下方海底有黑匣子信号发出，接着沿原方向直线航行2000米后到达B点，在B处测得俯角为60°的前下方海底有黑匣子信号发出，求海底黑匣子C点距离海面的深度(结果保留根号)．eq\a\vs4\al(◆)类型二背靠式4．某滑雪场举办冰雪嘉年华活动，采纳直升机航拍技术拍摄活动盛况．如图，通过直升机的镜头C观测到水平雪道一端A处的俯角为30°，另一端B处的俯角为45°.若直升机镜头C处的高度CD为300米，点A、D、B在同始终线上，则雪道AB的长度为()A．300米B．150eq\r(2)米C．900米D．(300eq\r(3)＋300)米第4题图第5题图5．如图，在东西方向的海岸线上有A、B两个港口，甲货船从A港沿北偏东60°的方向以4海里/时的速度动身，同时乙货船从B港沿西北方向动身，2小时后相遇在点P处，则乙货船每小时航行________海里．6．(2024·郴州中考)小宇在学习解直角三角形的学问后，萌生了测量他家对面位于同一水平面的楼房高度的想法，他站在自家C处测得对面楼房底端B的俯角为45°，测得对面楼房顶端A的仰角为30°，并量得两栋楼房间的距离为9米，请你用小宇测得的数据求出对面楼房AB的高度(结果保留到整数，参考数据：eq\r(2)≈1.4，eq\r(3)≈1.7)．模型构建专题：解直角三角形应用中的“双直角三角形”模型1．C解析：设AG＝x米．在Rt△AEG中，∵tan∠AEG＝eq\f(AG,EG)，∴EG＝eq\f(AG,tan60°)＝eq\f(\r(3),3)x米．在Rt△ACG中，∵tan∠ACG＝eq\f(AG,CG)，∴CG＝eq\f(x,tan30°)＝eq\r(3)x米，∴eq\r(3)x－eq\f(\r(3),3)x＝100，解得x＝50eq\r(3).则AB＝(50eq\r(3)＋1)米．2.eq\f(\r(3),2)解析：如图，过点C作CD⊥AB交AB的延长线于D.在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90°，∠CAD＝30°，AC＝60海里，∴CD＝eq\f(1,2)AC＝30海里．在Rt△CBD中，∵∠CDB＝90°，∠CBD＝90°－30°＝60°，∴BC＝eq\f(CD,sin∠CBD)＝20eq\r(3)(海里)，∴海警船到达事故船C处所需的时间大约为20eq\r(3)÷40＝eq\f(\r(3),2)(小时)．3．解：过C作CD⊥AB于D，交海面于点E.设BD＝x米．∵∠CBD＝60°，∴tan∠CBD＝eq\f(CD,BD)＝eq\r(3)，∴CD＝eq\r(3)x米．∵AB＝2000米，∴AD＝(x＋2000)米．∵∠CAD＝45°，∴tan∠CAD＝eq\f(CD,AD)＝1，∴eq\r(3)x＝x＋2000，解得x＝1000eq\r(3)＋1000，∴CD＝eq\r(3)(1000eq\r(3)＋1000)＝(3000＋1000eq\r(3))(米)，∴CE＝CD＋DE＝3000＋1000eq\r(3)＋500＝(3500＋1000eq\r(3))(米)．答：黑匣子C点距离海面的深度为(3500＋1000eq\r(3))米．4．D解析：∵在Rt△ACD中，∠A＝30°，CD＝300米，∴AD＝eq\f(CD,tan30°)＝300eq\r(3)(米)．∵在Rt△BCD中，∠B＝45°，CD＝300米，∴BD＝CD＝300米，∴AB＝AD＋BD＝(300eq\r(3)＋300)米．5．2eq\r(2)解析：作PC⊥AB于点C.∵甲货船从A港沿北偏东60°的方向以4海里/时的速度动身，∴∠PAC＝30°，AP＝4×2＝8(海里)，∴PC＝AP×sin30°＝8×eq\f(1,2)＝4(海里)．∵乙货船从B港沿西北方向动身，∴∠PBC＝45°，∴PB＝PC÷sin45°＝4÷eq\f(\r(2),2)＝4eq\r(2)(海里)，∴乙货船航行的速度为4eq\r(2)÷2＝2eq\r(2)(海里/时)．6．解：在Rt△ADC中，∠ACD＝30°，tan∠ACD＝eq\f(AD,CD)，CD＝9米，∴AD＝CD·tan∠ACD＝9×eq\f