2025版高考数学大一轮复习第五章平面向量第3讲平面向量的数量积及应用举例分层演练理含解析新人教A版

PAGEPAGE1第3讲平面对量的数量积及应用举例1．(2024·洛阳市第一次统一考试)已知平面对量a，b满意|a|＝2，|b|＝1，a与b的夹角为eq\f(2π,3)，且(a＋λb)⊥(2a－b)，则实数λ的值为()A．－7 B．－3C．2 D．3解析：选D.依题意得a·b＝2×1×coseq\f(2π,3)＝－1，(a＋λb)·(2a－b)＝0，即2a2－λb2＋(2λ－1)a·b＝0，－3λ＋9＝0，λ＝3.2．(2024·山西四校联考)向量a，b满意|a＋b|＝2eq\r(3)|a|，且(a－b)·a＝0，则a，b的夹角的余弦值为()A．0 B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(\r(3),2)解析：选B.(a－b)·a＝0⇒a2＝b·a，|a＋b|＝2eq\r(3)|a|⇒a2＋b2＋2a·b＝12a2⇒b2＝9a2，所以cos〈a，b〉＝eq\f(b·a,|b|·|a|)＝eq\f(a2,3|a|·|a|)＝eq\f(1,3).故选B.3．(2024·洛阳市第一次统一考试)已知向量a＝(1，0)，|b|＝eq\r(2)，a与b的夹角为45°，若c＝a＋b，d＝a－b，则c在d方向上的投影为()A.eq\f(\r(5),5) B．－eq\f(\r(5),5)C．1 D．－1解析：选D.依题意得|a|＝1，a·b＝1×eq\r(2)×cos45°＝1，|d|＝eq\r(（a－b）2)＝eq\r(a2＋b2－2a·b)＝1，c·d＝a2－b2＝－1，因此c在d方向上的投影等于eq\f(c·d,|d|)＝－1，选D.4．在△ABC中，(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→)))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|2，则△ABC的形态肯定是()A．等边三角形 B．等腰三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形解析：选C.由(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→)))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|2，得eq\o(AC,\s\up6(→))·(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝0，即eq\o(AC,\s\up6(→))·(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→)))＝0，所以2eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))＝0，所以eq\o(AC,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→)).所以∠A＝90°，又因为依据条件不能得到|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|.故选C.5．(2024·福建漳州八校联考)在△ABC中，|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(3)|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝3，则eq\o(CB,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))的值为()A．3 B．－3C．－eq\f(9,2) D.eq\f(9,2)解析：选D.由|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(3)|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|两边平方可得，eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(AC,\s\up6(→))2＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝3(eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(AC,\s\up6(→))2－2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→)))，即eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(AC,\s\up6(→))2＝4eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))，又|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝3，所以eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(9,2)，又因为eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))，所以eq\o(CB,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))·(－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\o(AC,\s\up6(→))2－eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝9－eq\f(9,2)＝eq\f(9,2)，故选D.6．(2024·高考全国卷Ⅰ)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.解析：易知|a＋2b|＝eq\r(|a|2＋4a·b＋4|b|2)＝eq\r(4＋4×2×1×\f(1,2)＋4)＝2eq\r(3).答案：2eq\r(3)7．(2024·江西七校联考)已知向量a＝(1，eq\r(3))，b＝(3，m)，且b在a上的投影为－3，则向量a与b的夹角为________．解析：因为b在a上的投影为－3，所以|b|cos〈a，b〉＝－3，又|a|＝eq\r(12＋（\r(3)）2)＝2，所以a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝－6，又a·b＝1×3＋eq\r(3)m，所以3＋eq\r(3)m＝－6，解得m＝－3eq\r(3)，则b＝(3，－3eq\r(3))，所以|b|＝eq\r(32＋（－3\r(3)）2)＝6，所以cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－6,2×6)＝－eq\f(1,2)，因为0≤〈a，b〉≤π，所以a与b的夹角为eq\f(2,3)π.答案：eq\f(2,3)π8．(2024·高考天津卷)在△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2.若eq\o(BD,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))(λ∈R)，且eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AE,\s\up6(→))＝－4，则λ的值为________．解析：eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→)).又eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝3×2×eq\f(1,2)＝3，所以eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)\o(AB,\s\up6(→))＋\f(2,3)\o(AC,\s\up6(→))))·(－eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(AC,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)λ－\f(2,3)))eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)λeq\o(AC,\s\up6(→))2＝－3＋3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)λ－\f(2,3)))＋eq\f(2,3)λ×4＝eq\f(11,3)λ－5＝－4，则λ＝eq\f(3,11).答案：eq\f(3,11)9．已知向量a＝(2，－1)，b＝(1，x)．(1)若a⊥(a＋b)，求|b|的值；(2)若a＋2b＝(4，－7)，求向量a与b夹角的大小．解：(1)由题意得a＋b＝(3，－1＋x)．由a⊥(a＋b)，可得6＋1－x＝0，解得x＝7，即b＝(1，7)，所以|b|＝eq\r(50)＝5eq\r(2).(2)a＋2b＝(4，2x－1)＝(4，－7)，故x＝－3，所以b＝(1，－3)，所以cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(（2，－1）·（1，－3）,\r(5)×\r(10))＝eq\f(\r(2),2)，因为〈a，b〉∈[0，π]，所以a与b夹角是eq\f(π,4).10．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.(1)求a与b的夹角θ；(2)求|a＋b|；(3)若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，求△ABC的面积．解：(1)因为(2a－3b)·(2a＋b)＝61，所以4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.又|a|＝4，|b|＝3，所以64－4a·b－27＝61，所以a·b＝－6.所以cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－6,4×3)＝－eq\f(1,2).又因为0≤θ≤π，所以θ＝eq\f(2π,3).(2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝42＋2×(－6)＋32＝13，所以|a＋b|＝eq\r(13).(3)因为eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))的夹角θ＝eq\f(2π,3)，所以∠ABC＝π－eq\f(2π,3)＝eq\f(π,3).又|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|a|＝4，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝|b|＝3，所以S△ABC＝eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(BC,\s\up6(→))|sin∠ABC＝eq\f(1,2)×4×3×eq\f(\r(3),2)＝3eq\r(3).1．已知点G为△ABC的重心，∠A＝120°，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝－2，则|eq\o(AG,\s\up6(→))|的最小值是()A.eq\f(\r(3),3) B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(2,3) D.eq\f(3,4)解析：选C.设BC的中点为M，则eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AM,\s\up6(→)).又M为BC中点，所以eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，所以eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，所以|eq\o(AG,\s\up6(→))|＝eq\f(1,3)eq\r(\o(AB,\s\up6(→))2＋\o(AC,\s\up6(→))2＋2\o(AB,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→))).又因为eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝－2，∠A＝120°，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(AC,\s\up6(→))|＝4.所以|eq\o(AG,\s\up6(→))|＝eq\f(1,3)eq\r(\a\vs4\al(\o(AB,\s\up6(→))2＋\o(AC,\s\up6(→))2－4))≥eq\f(1,3)eq\r(\a\vs4\al(2|\o(AB,\s\up6(→))||\o(AC,\s\up6(→))|－4))＝eq\f(2,3)，当且仅当|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|时取“＝”，所以|eq\o(AG,\s\up6(→))|的最小值为eq\f(2,3)，故选C.2．(2024·广东七校联考)在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，M，N为AC边上的两个动点(M，N不与A，C重合)，且满意|eq\o(MN,\s\up6(→))|＝eq\r(2)，则eq\o(BM,\s\up6(→))·eq\o(BN,\s\up6(→))的取值范围为()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2)) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))解析：选C.不妨设点M靠近点A，点N靠近点C，以等腰直角三角形ABC的直角边所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示，则B(0，0)，A(0，2)，C(2，0)，线段AC的方程为x＋y－2＝0(0≤x≤2)．设M(a，2－a)，N(a＋1，1－a)(由题意可知0<a<1)，所以eq\o(BM,\s\up6(→))＝(a，2－a)，eq\o(BN,\s\up6(→))＝(a＋1，1－a)，所以eq\o(BM,\s\up6(→))·eq\o(BN,\s\up6(→))＝a(a＋1)＋(2－a)(1－a)＝2a2－2a＋2＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))2＋eq\f(3,2)，因为0<a<1，所以由二次函数的学问可得eq\o(BM,\s\up6(→))·eq\o(BN,\s\up6(→))∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2)).3．设非零向量a与b的夹角是eq\f(5π,6)，且|a|＝|a＋b|，则eq\f(|2a＋tb|,|b|)的最小值是________．解析：因为非零向量a与b的夹角是eq\f(5π,6)，且|a|＝|a＋b|，所以|a|2＝|a＋b|2＝|a|2＋|b2|＋2|a|·|b|coseq\f(5π,6)，所以|b|2－eq\r(3)|a||b|＝0，所以|b|＝eq\r(3)|a|，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|2a＋tb|,|b|)))eq\s\up12(2)＝eq\f(4|a|2＋t2|b|2＋4ta·b,|b|2)＝eq\f(4|a|2＋t2·3|a|2－6t|a|2,3|a|2)＝t2－2t＋eq\f(4,3)＝(t－1)2＋eq\f(1,3)，所以当t＝1时，eq\f(|2a＋tb|,|b|)取最小值eq\r(\f(1,3))＝eq\f(\r(3),3).答案：eq\f(\r(3),3)4．(2024·昆明质检)定义一种向量运算“⊗”：a⊗b＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a·b，当a，b不共线时，,|a－b|，当a，b共线时))(a，b是随意的两个向量)．对于同一平面内的向量a，b，c，e，给出下列结论：①a⊗b＝b⊗a；②λ(a⊗b)＝(λa)⊗b(λ∈R)；③(a＋b)⊗c＝a⊗c＋b⊗c；④若e是单位向量，则|a⊗e|≤|a|＋1.以上结论肯定正确的是________．(填上全部正确结论的序号)解析：当a，b共线时，a⊗b＝|a－b|＝|b－a|＝b⊗a，当a，b不共线时，a⊗b＝a·b＝b·a＝b⊗a，故①是正确的；当λ＝0，b≠0时，λ(a⊗b)＝0，(λa)⊗b＝|0－b|≠0，故②是错误的；当a＋b与c共线时，则存在a，b与c不共线，(a＋b)⊗c＝|a＋b－c|，a⊗c＋b⊗c＝a·c＋b·c，明显|a＋b－c|≠a·c＋b·c，故③是错误的；当e与a不共线时，|a⊗e|＝|a·e|＜|a|·|e|＜|a|＋1，当e与a共线时，设a＝ue，u∈R，|a⊗e|＝|a－e|＝|ue－e|＝|u－1|≤|u|＋1，故④是正确的．综上，结论肯定正确的是①④.答案：①④5．(2024·安康模拟)已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(0，2)、B(4，1)、C(－6，9)．(1)若AD是BC边上的高，求向量eq\o(AD,\s\up6(→))的坐标；(2)若点E在x轴上，使△BCE为钝角三角形，且∠BEC为钝角，求点E横坐标的取值范围．解：(1)设D(x，y)，则eq\o(AD,\s\up6(→))＝(x，y－2)，eq\o(BD,\s\up6(→))＝(x－4，y－1)，由题意知AD⊥BC，则eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，即－10x＋8(y－2)＝0，即5x－4y＋8＝0，①由eq\o(BD,\s\up6(→))∥eq\o(BC,\s\up6(→))，得8(x－4)＝－10(y－1)，即4x＋5y－21＝0，②联立①②解得x＝eq\f(44,41)，y＝eq\f(137,41)，则eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(44,41)，\f(55,41))).(2)设E(a，0)，则eq\o(EB,\s\up6(→))＝(4－a，1)，eq\o(EC,\s\up6(→))＝(－6－a，9)，由∠BEC为钝角，得(4－a)·(－6－a)＋9＜0，解得－5＜a＜3，由eq\o(EB,\s\up6(→))与eq\o(EC,\s\up6(→))不能共线，得9(4－a)≠－6－a，解得a≠eq\f(21,4).故点E的横坐标的取值范围为(－5，3)．6.在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(1，0)和点B(－1，0)，|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝1，且∠AOC＝θ，其中O为坐标原点．(1)若θ＝eq\f(3,4)π，设点D为线段OA上的动点，求|eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))|的最小值；(2)若θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\v