《高等数学 》课件-第2章

2.1导数的概念2.2导数的运算2.3隐函数与参数方程的求导法2.4函数的微分2.5用MATLAB求一元函数的导数第2章导数与微分

2.1导数的概念

2.1.1导数问题的引入

在实际问题中研究变量的变化情况时，常常碰到求一个变量相对于另一个变量的变化快慢问题，即函数的变化率问题.如物体运动的速度、曲线的变化快慢等问题.为了阐述这一重要概念，下面先看两个实例.例2-1(变速直线运动的速度)设物体作直线运动，其运动方程为s=f(t),其中s为物体在时刻t离开起点的路程.在从t=t0到t=t0+Δt的时间间隔内，路程的增量(参见图2-1)是

Δs=f(t0+Δt)-f(t0).在这段时间内物体运动的平均速度为

显然，时间间隔Δt越短，平均速度越接近于物体在时刻t0的瞬时速度.当Δt无限接近于零时，就无限接近于物体在时刻t0的瞬时速度v(t0).因此，平均速度在Δt→0时的极限值就是物体在时刻t0的瞬时速度，即图2-1例2-2(曲线的切线)设曲线c的方程为y=f(x),P(a,f(a))为曲线c上一定点，求曲线c在点P处的切线斜率.

如图2-2所示,在曲线c上点P的邻近另取一点Q(a+Δx,

f(a+Δx)),Δx≠0,则割线PQ的斜率为

当点Q沿曲线c趋向于点P时，Δx→0,割线PQ趋向于极限位置PT.我们把直线PT称为曲线c在点P处的切线.此时，切线的斜率为图2-2以上两个实例反映的问题，虽然实际意义不同，但从数学观点来看，都可归结为计算函数增量与自变量增量之比的极限问题.这种特殊的极限就可称为函数的导数.2.1.2导数的定义

定义2.1设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，当自变量x在点x0有增量Δx(点x0+Δx仍在该邻域内且Δx≠0)时，函数有相应的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0).如果当Δx→0时，两个增量之比的极限

存在，则称函数y=f(x)在点x0处可导，且称这个极限为函数y=f(x)在点x0的导数(也称变化率),记作(2-1)即

若式(2-1)不存在，则称函数y=f(x)在点x0处不可导.

如果不可导的原因是因为Δx→0时,→∞,这时也称函数y=f(x)在x0处的导数为无穷大.

有了导数的概念，前面讨论的两个实例可以叙述为：

(1)变速直线运动的速度v(t0)是路程s=s(t)在t0时刻的导数，即

(2)曲线在点P(a,f(a))处的切线的斜率等于函数f(x)在点a处的导数，即

k=f′(a)

如果函数y=f(x)在区间(a,b)内每一点都可导，则称函数在区间(a,b)内可导.这时对任意给定的值x∈(a,b),都有一个确定的导数值与之对应，因此就构成了x的一个新的函数，称该函数为f(x)的导函数，记作

即显然，函数y=f(x)在点x0处的导数，就是导函数f′(x)在点x=x0的函数值，即

以后在不会混淆的情况下，可把导函数简称为导数.

用导数的定义求简单函数的导数，可分为以下三个步骤：(1)求增量：给自变量x以增量Δx,求出对应的函数增量

Δy=f(x+Δx)-f(x)

(2)算比值：计算出两个增量的比值

(3)取极限：对上式两端取极限

例2-3求函数y=C(C为常数)的导数.

解因为Δy=C-C=0,所以

即C′=0例2-4求函数y=x3的导数.

解

即

(x3)′=3x2

类似地，利用二项式定理，可求得y=xn(n∈Z+)的导数，(xn)′=nxn-1.

更一般地，对于幂函数y=xa(a∈R),有(xa)′=axa-1.利用这个公式可以很方便地求出幂函数的导数.例如：例2-5求函数y=sinx的导数.

解

即(sinx)′=cosx

类似地，可以求得

(cosx)′=-sinx

例2-6求函数y=logax(a>0,a≠1)的导数.

2.1.3导数的几何意义

由例2-2及导数的定义可得：函数y=f(x)在x0处的导数f′(x0),在几何上表示曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线斜率.因此，曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程为

y-f(x0)=f(x0)(x-x0)

如果f′(x0)=0,则切线方程为y=y0,此时切线平行于x轴.

如果f′(x0)为无穷大，即切线的斜率是无穷大，则切线方程为x=x0,此时切线垂直于x轴.过点(x0,f(x0))且与切线垂直的直线称为曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的法线.如果f′(x0)≠0,则法线的斜率为

从而法线方程为例2-8求曲线y=x3在点P(1,1)处的切线方程和法线方程.

解y′=(x3)′=3x2

曲线在点P(1,1)处的切线斜率为

k=y′|x=1=3x2|x=1=3

从而所求的切线方程为

y-1=3(x-1)

即3x-y-2=0

所求法线方程为

即x+3y-4=02.1.4函数可导与连续的关系

定理2.1若函数f(x)在点x0处可导，则函数f(x)在点x0处连续.

证明因为

所以因此,即函数f(x)在点x0处连续.

定理2.1的逆定理不成立，也就是说，若函数f(x)在点x0处连续，f(x)在点x0处不一定可导.例2-9验证函数f(x)=|x|在x=0处连续但不可导.

证明因为图2-3*2.1.5函数的相对变化率——函数的弹性

例2-10设函数y=x2,当x由10变到11时，y由100变到121.此时，自变量与因变量的绝对改变量分别为Δx=1,Δy=21,而它们的相对改变量分别为

这表明，自变量x由10变到11的相对变动为10%时，y的相对变动为21%.这时两相对改变量的比为表示自变量x在(10,11)内从x=10起，当x改变1%时，y平均改变2.1%,我们称它为从x=10到x=11函数y=x2的平均相对变化率，也称为平均意义下函数y=x2的弹性.对任意点x,若y=f(x)可导,则有

函数f(x)在点x处的弹性E|x反映了随x的变化f(x)变化幅度的大小，也就是f(x)对x变化反应的强烈程度或灵敏度.即当x产生1%的改变时，f(x)近似地改变E|x%.在应用问题中解释弹性的具体意义时，经常略去“近似”两字.

例2-11求指数函数y=ax(a>0,a≠1)在点x处的弹性.

解实训2.1

1.若f(x)=3x,则f′(3)=———,[f(3)]′=———.

2.设y=2x2+1,试按定义求y′|x=-1.

3.求下列函数的导数.

4.求曲线y=lnx在点M(e,1)处的切线和法线方程.

5.设讨论a和b取何值时，f(x)在点x=0处可导.

6.指出图2-4中的函数图形在a、b、c、d点是否连续，是否可导.

*7.验证双曲线y=上任意一点处的切线与两个坐标轴所围成的三角形面积等于2.

8.若函数p(t)表示在时刻t某件产品的价格，则在通货膨胀期间，p(t)将迅速增加.假设某国家的经济正处于通货膨胀时期，该国总统的经济顾问发现，通货膨胀率正在减慢，于是，在不久的某次发布会上，总统说：“通货膨胀仍然存在，但已经在控制之下，不久物价将会稳定下来.”

(1)用描述为什么“通货膨胀仍然存在”.

(2)用描述为什么总统相信通货膨胀仍然存在,“但已经在控制之下”.

(3)用描述总统的预言“不久物价将会稳定下来”.图2-4

2.2导数的运算

上一节根据导数的定义可以求出一些简单函数的导数.但对于一般初等函数的导数，用导数的定义来求是比较困难的，因此有必要讨论函数的求导法则，将复杂函数的求导转化为对简单函数的求导.2.2.1函数的和、差、积、商的求导法则

设u=u(x)、v=v(x)都是x的可导函数，则有下面结论：

定理2.2(函数的和、差、积、商的求导法则)

(1)和、差的导数：(u±v)′=u′±v′.

(2)乘积的导数：(uv)′=u′v+uv′.

特别地，(C·u)′=C·u′(C为常数).

(3)商的导数：其中v≠0.下面给出(2)的证明，其他的留给读者自己证明.

证明设y=u(x)v(x).因为

Δy=u(x+Δx)v(x+Δx)-u(x)v(x)

=u(x+Δx)v(x+Δx)-u(x+Δx)v(x)+u(x+Δx)v(x)-u(x)v(x)

=u(x+Δx)Δv+v(x)Δu

所以

于是

即

(u(x)v(x))′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x)

以上结果可简单地表示为

(uv)′=u′v+uv′

注意:导数的加法法则和乘法法则可以推广到有限多个可导函数的情形.

(1)(u1±u2±…±un)′=u1′±u2′±…±un′；

(2)(uvw)′=u′vw+uv′w+uvw′.例2-12设y=ax+sinx-cosx(a>0,a≠1),求y′.

解y′=(ax)′+(sinx)′-(cosx)′

=axlna+cosx+sinx

例2-13设y=x3lnx,求y′.

解y′=(x3lnx)′=(x3)′lnx+x3·(lnx)′

=3x2lnx+x3·

=3x2lnx+x2

=x2(3lnx+1)例2-14设y=tanx,求y′.

解

类似地，可以推导出

(cotx)′=-csc2x

例2-15设y=secx,求y′.

解

类似地，可以推导出(cscx)′=-cotx·cscx

2.2.2反函数的求导法则

定理2.3若函数y=f(x)在点x的某邻域内连续且单调，在点x处可导，且f′(x)≠0,则y=f(x)的反函数x=φ(y)在对应点y处也可导，且

例2-16求对数函数y=logax(a>0,a≠1)的导数y′.

解因为对数函数y=logax(a>0,a≠1)与指数函数x=ay互为反函数，函数y=logax(a>0,a≠1)在开区间(0,+∞)内单调、可导，由定理2.3可得即

特别地，当a=e时，有2.2.3复合函数的求导法则

设y=f[φ(x)]是由y=f(u)及u=φ(x)构成的复合函数，其中f为外层函数，φ为内层函数.设Δx为x的微小增量，因为u=φ(x)在点x处可导，所以当x→0时，有Δu→0.设Δu≠0,则有即{f[φ(x)]}′=f′[φ(x)]φ′(x)于是有下述定理.定理2.4若函数u=φ(x)在点x处可导，函数y=f(u)在相应点u处可导，则复合函数y=f[φ(x)]在点x处可导，且有

或{f[φ(x)]}′=f′[φ(x)]φ′(x)

定理2.4又称为复合函数求导的链式法则，用语言表述为：复合函数的导数等于外层函数f(u)的导数和内层函数φ(x)的导数的乘积.

注意:在导数符号的书写中，f′[φ(x)]表示复合函数y=f[φ(x)]关于中间变量u=φ(x)的导数，而{f[φ(x)]}′表示复合函数y=f[φ(x)]关于自变量x的导数.例2-18求下列函数的导数y′.

(1)y=sin2x；(2)y=lntanx.

解(1)y=sin2x是由y=sinu和u=2x复合而成的，所以

y′=(sinu)′(2x)′=cosu·2=2cos2x

(2)y=lntanx是由y=lnu和u=tanx复合而成的，所以

对复合函数的复合过程熟悉后，可不必写出中间变量，直接运用链式法则，按照复合的次序，由外到里，层层求导.

如此例中，可以把1-x2看做中间变量，而不写出中间变量u的符号，即

(2)y′=3(x+sin2x)2·(x+sin2x)′

=3(x+sin2x)2·[1+2sinx(sinx)′]

=3(x+sin2x)2·(1+2sinxcosx)=3(x+sin2x)2·(1+sin2x)

复合函数求导的链式法则可以推广到由有限个函数复合而成的复合函数的情形，如y=f(u),u=g(v),v=φ(x)满足定理2.4的相应条件，则例2-20求函数y=arctanln(3x-1)的导数y′.

解2.2.4初等函数的导数

前面我们不仅给出了函数的和、差、积、商的求导法则与复合函数的求导法则，而且得到了所有的基本初等函数求导公式.

1.基本初等函数的求导公式

2.函数的和、差、积、商的求导法则

3.复合函数的求导法则

设y=f(u),u=φ(x)均可导，则复合函数y=f[φ(x)]也可导，且

由于初等函数是由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合而成的函数，因此，一切初等函数的求导问题都已解决.2.2.5高阶导数

1.高阶导数的概念

我们知道，变速直线运动的速度v(t)是路程函数s(t)关于时间t的导数，即v(t)=或v(t)=s′(t)；而加速度a又是速度v(t)对时间t的导数，即

我们称这种导数的导数或(s′(t))′为s(t)对t的二阶导数,记作或s″(t).对一般函数y=f(x),如果函数y=f(x)的导数f′(x)可导，称f′(x)的导数为函数y=f(x)的二阶导数，记作y″,f″(x)或.类似地，二阶导数f″(x)的导数称为函数y=f(x)的三阶导数，记作y,f(x)或.

一般地，函数y=f(x)的n-1阶导数f(n-1)(x)的导数称为y=f(x)的n阶导数，记作y(n),f(n)(x)或.

二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数.由此可见，求高阶导数就是多次接连地求导数.

2.高阶导数的计算

例2-22设y=x3,求、y(4)的值.

解y′=3x2,

y″=3·2x

=3!,

y(4)=0

例2-23设y=x2013,求y(2013)、y(2014)的值.

例2-24求指数函数y=ax(a>0,a≠1)和y=ex的n阶导数.

解因为y′=axlna,y″=ax(lna)2,…,y(n)=ax(lna)n,所以

(ax)(n)=ax(lna)n

特别地

(ex)(n)=ex实训2.2

2.3隐函数与参数方程的求导法

2.3.1隐函数求导法

前面我们所遇到的函数都是y=f(x)的形式，就是因变量y可由含有自变量x的数学式子直接表示出来，这样的函数称为显函数.例如：y=sinx,y=ln(1+

)等.但是有些函数的表达方式却不是这样，例如方程x+y3-10=0与ey-2xy=0也可以分别确定一个函数，当自变量x在(-∞,+∞)内取值时，变量y有唯一确定的值与之对应，而这样的函数称为隐函数.一般地，如果变量x和y之间的函数关系是由某一个方程F(x,y)=0所确定，那么这种函数就叫做由方程所确定的隐函数.

把一个隐函数化成显函数叫做隐函数的显化.例如由方程x+y3-10=0解出y=

,于是就把隐函数化成了显函数.但有的隐函数不易显化,甚至不可能显化,例如由方程

ey-xy=0所确定的隐函数就不能用显式表示出来.

对于由方程F(x,y)=0所确定的函数求导当然不能完全寄希望于把它显化，关键是要由F(x,y)=0直接把求出来.我们知道，把方程F(x,y)=0所确定的函数y=f(x)代入原方程，其结果是恒等式

F[x,f(x)]≡0

把这个恒等式的两端对x求导，所得的结果也必然相等.但应注意，左端F[x,f(x)]是将y=f(x)代入F(x,y)后所得的结果，所以，当方程F(x,y)=0的两端对x求导时，要记住y是x的函数，然后用复合函数求导法则去求导，这样便可得到所需要的导数.下面举例说明.例2-26求由方程xy-ex+ey=0所确定的隐函数的导数y′.解把方程xy-ex+ey=0的两端对x求导，得

y+xy′-ex+eyy′=0

由上式解出y′,便得隐函数的导数为

例2-27求曲线3y2=x3+x+2在点(2,2)处的切线方程.

解方程两边对x求导，可得

6yy′=3x2+1

于是得所以

因而，所求切线方程为

即

13x-12y-2=02.3.2对数求导法

根据隐函数求导法，我们还可以得到一个简化求导运算的方法.它适合于由几个因子通过乘、除、乘方、开方所构成的比较复杂的函数(包括幂指函数)的求导.这个方法是先取对数，化乘、除为加、减,化乘方、开方为乘积，然后利用隐函数求导法求导，因此该方法称为对数求导法.2.3.3由参数方程所确定的函数求导法

在前面我们讨论了由y=f(x)或F(x,y)=0给出的函数关系的求导问题.但在研究物体运动轨迹时，曲线常被看做质点运动的轨迹，动点M(x,y)的位置随时间t变化，因此动点坐标x和y分别是时间t的函数.

如果参数方程

确定了y与x之间的函数关系，则称此函数为由参数方程所确定的函数.对于参数方程所确定的函数的求导，通常并不需要由参数方程消去参数t,化为y与x之间的直接函数关系后再求导.

如果函数x=φ(t),y=ψ(t)都可导，且φ′(t)≠0,又x=φ(t)具有单调连续的反函数t=φ-1(x),则参数方程确定的函数可以看成是由y=ψ(t)与t=φ-1(x)复合而成的函数.根据复合函数与反函数的求导法则，有例2-30设摆线

(1)求摆线在任一点的切线斜率；

(2)求摆线在处的切线方程.

解(1)摆线在任一点的切线斜率为实训2.3

1.求下列隐函数的导数.

(1)y3-3y+2x=0；(2)y=1+xey；

(3)sin(xy)=x；(4)yex+lny=10.

*2.利用对数求导法求下列函数的导数.

*3.求下列参数方程所确定的函数的导数

2.4函数的微分

2.4.1微分的概念

在实际问题中，当我们分析运动过程时，常常要通过微小的局部运动来寻找运动的规律，因此需要考虑变量的微小改变量.

一般来说，计算函数y=f(x)的改变量Δy的精确值是较繁琐和困难的.往往需要计算其近似值，找出简便的计算方法.下面我们先讨论两个具体的例子.例2-31一块正方形金属薄片在受到温度变化影响时，其边长由x0变到x0+Δx(如图2-5所示)，问此薄片的面积改变了多少.

解设此薄片的边长为x,面积为A，则A是x的函数：A=x2.薄片在受到温度变化影响时，面积的改变量可以看成是:当自变量x自x0取得增量Δx时，函数A相应的增量为ΔA,即

ΔA=(x0+Δx)2-x20=2x0Δx+(Δx)2

从上式可以看出，ΔA可分成两部分：一部分是2x0Δx,它是Δx的线性函数，即图2-5中带有斜线的两个矩形面积之和；另一部分是(Δx)2,

在图中是带有交叉线的小正方形的面积.显然，2x0Δx是面积增量ΔA的主要部分，而(Δx)2是次要部分，当|Δx|很小时，(Δx)2比2x0Δx要小得多.也就是说，当|Δx|很小时，面积增量ΔA可以近似地用2x0Δx表示，即

ΔA≈2x0Δx

略去的部分(Δx)2是比Δx高阶的无穷小，即例2-32求自由落体由时刻t到t+Δt所经过路程的近似值.

解自由落体的路程s与时间t的关系是.当时间从t变到t+Δt时，路程s有相应的改变量

上式右边第一部分是Δt的线性函数，第二部分是当Δt→0时的一个比Δt高阶的无穷小，因此，当|Δt|很小时，我们可以把第二部分忽略，从而得到路程改变量的近似值

Δs≈gtΔt以上两个例题反映的实际意义虽然不同，但在数量关系上却有共同点：函数的改变量可以表示成两部分，一部分为自变量增量的线性部分；另一部分是当自变量增量趋于零时，比自变量增量高阶的无穷小.

为此我们引入函数微分的概念.

定义2.3若函数y=f(x)在点x的某邻域内有定义，如果f(x)在点x处的改变量Δy=f(x+Δx)-f(x)可以表示成Δy=AΔx+o(Δx)

其中o(Δx)为比Δx(Δx→0)高阶的无穷小，则称函数f(x)在点x处可微；并称其线性主部AΔx为函数y=f(x)在点x处的微分，记为dy或df(x),即dy=AΔx.定理2.5函数y=f(x)在点x处可微的充分必要条件是y=f(x)在该点可导，且有

dy=f′(x)dx

证明(1)必要性.若y=f(x)在点x处可微，则有Δy=AΔx+o(Δx),其中于是

上式两边取极限,得即f′(x)=A

所以函数y=f(x)在点x处可导.

(2)充分性证明略.

由定理2.5可知：一元函数的可导与可微是等价的，且其关系为dy=f′(x)Δx.为方便起见，把自变量的增量Δx写成dx,即Δx=dx.这样函数y=f(x)的微分可以写成

dy=f′(x)Δx=f′(x)dx

上式两边同除以dx,有由此可见，导数等于函数的微分与自变量的微分之商，即.正因为这样,导数也称为“微商”，而也常常被用作导数的符号.

应当注意，微分与导数虽然有着密切的联系，但它们是有区别的：导数是函数在一点处的变化率，而微分是函数在一点处由自变量增量所引起的函数变化量的主要部分；导数的值只与x有关，而微分的值与x和Δx都有关.例2-33求函数y=x2在x=1、Δx=0.1时的改变量及微分.解Δy=(x+Δx)2-x2=1.12-12=0.21

在点x=1处，y′|x=1=2x|x=1=2,所以

dy=y′Δx=2×0.1=0.22.4.2微分的几何意义

为了对微分有比较直观的了解，下面说明微分的几何意义.

设函数y=f(x)的图形如图2-6所示，MP是曲线上点M(x0,y0)处的切线，设MP的倾角为α，当自变量x有改变量Δx时，得到曲线上的另一点N(x0+Δx,y0+Δy).从图2-6可知，MQ=Δx,QN=Δy,而

QP=MQ·tanα=f′(x0)Δx

即

dy=QP由此可知，微分dy=f′(x0)Δx是当x有改变量Δx时，曲线y=f(x)在点(x0,y0)处切线纵坐标的改变量.用dy近似代替Δy,就是用点M(x0,y0)处切线纵坐标的改变量QP来近似代替曲线y=f(x)的纵坐标的改变量QN,并且有|Δy-dy|=PN.图2-62.4.3微分的运算

因为函数y=f(x)的微分等于导数f′(x)乘以dx,所以根据导数公式和导数运算法则，就能得到相应的微分公式和微分运算法则.

2.函数的和、差、积、商的微分运算法则

d(u(x)±v(x))=du(x)±dv(x)

d(u(x)v(x))=v(x)du(x)+u(x)dv(x)

d(Cu(x))=Cdu(x),C为常数

3.复合函数的微分法则

设函数y=f(u)是可导函数，根据微分的定义，当u是自变量时，函数y=f(u)的微分是

dy=f′(u)du

如果u不是自变量，而是x的可导函数u=φ(x),则复合函数y=f[φ(x)]的导数为

y′=f′(u)φ′(x)

于是，复合函数y=f[φ(x)]的微分为

dy=f′(u)φ′(x)dx

因为

φ′(x)dx=du

所以

dy=f′(u)du

由此可见，不论u是自变量还是函数(中间变量),函数y=f(u)的微分总保持同一形式dy=f′(u)du,这一性质称为一阶微分形式不变性.有时，利用一阶微分形式不变性求复合函数的微分比较方便.实训2.4

1.设x的值从x=1变到x=1.01,试求y=2x2-x的增量Δy和微分dy.

2.求下列函数的微分dy.