【数学】3.3.1《几何概型》课件(新人教B版必修3)

3.3.1几何概型

我们知道古典概型只有在满足“有限性”和“等可能性”两个性质的前提下才能适用，那么对于试验结果有无穷多个的情形该怎样处理呢？例1.在转盘上有8个面积相等的扇形，转动转盘，求转盘停止转动时指针落在阴影部分的概率。我们知道古典概型只有在满足“有限性”和“等可能性”两个性质的前提下才能适用，那么对于试验结果有无穷多个的情形该怎样处理呢？例1.在转盘上有8个面积相等的扇形，转动转盘，求转盘停止转动时指针落在阴影部分的概率。例2.在500ml的水中有一只草履虫，现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察，求发现草履虫的概率。以上两个试验的可能结果个数无限，所以它们都不是古典概型。先看例1，由经验得知“指针落在阴影部分的概率”可以用阴影部分的面积与总面积之比来衡量，即P(A)=同样地，例2中由于取水样的随机性，所求事件A：“在取出的2ml的水样中有草履虫”的概率等于水样的体积与总体积之比总之，这两个试验的共同点是：如果把事件A理解为区域Ω的某一个子区域A，A的概率只与子区域A的几何度量（长度、面积或体积）成正比，而与A的位置和形状无关，则称满足以上条件的试验为几何概型

.Ω在几何概型中，事件A的概率定义为：其中μΩ表示区域Ω的几何度量,μA表示子区域A的几何度量

.几何概型具有两个特点：一是无限性：在一次试验中，基本事件的个数必须是无数个；二是等可能性：在试验中，每一个基本事件发生的可能性是均等的。例3.随机事件A：“从正整数中任取两个数，其和为偶数”是否为几何概型。解：尽管这里事件满足几何概型的两个特点：有无限多个基本事件，且每个基本事件的出现是等可能的，但它不满足几何概型的基本特征——能进行几何度量。所以事件A不是几何概型。例4.下列随机试验是否为几何概型？为什么？（1）经过严格训练的枪手的打靶；（2）某学生从家里到达学校所用的时间。答案：（1）不是；（2）是。例5.一海豚在水池中自由游弋，水池为长30m，宽20m的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2m的概率.解：对于几何概型，关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率.如图，区域Ω是长30m、宽20m的长方形.图中阴影部分表示事件A：“海豚嘴尖离岸边不超过2m”，问题可以理解为求海豚嘴尖出现在图中阴影部分的概率.

由于区域Ω的面积为30×20=600(m2)，阴影A的面积为30×20－26×16=184(m2).∴P（A）=≈0.31.例6.平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径r<a的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任一条平行线相碰的概率.解：记事件A：“硬币不与任一条平行线相碰”.为了确定硬币的位置，由硬币中心O向靠得最近的平行线引垂线OM，垂足为M，参看图，这样线段OM长度(记作|OM|)的取值范围是[0，a]，只有当r＜|OM|≤a时，硬币不与平行线相碰，所以P(A)=例7.某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率.解：设A={等待的时间不多于10分钟}，我们所关心的事件A恰好是打开收音机的时刻位于[50，60]时间段内，因此由几何概型的求概率的公式得P(A)=例8.假设你家订了一份报纸，送报人在早上6：30至7：30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间在早上7：00至8：00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A)的概率是多少？解：这里涉及到两个变量，把送报人的时间设为x变量，父亲上班的时间设为y变量，于是得到数对(x，y)，表示某一天两个变量之间的关系。总的情况是Ω={(x,y)|6.5≤x≤7.5,7≤y≤8}.事件A满足的条件是A={(x,y)|y≤x,x∈Ω,y∈Ω}.在直角坐标系中画出图形。总的情况是Ω={(x,y)|6.5≤x≤7.5,7≤y≤8}.事件A满足的条件是A={(x,y)|y≤x,x∈Ω,y∈Ω}.在直角坐标系中画出图形。Ω表示的是矩形面积1，A表示的是阴影部分面积所以P(A)=例9.如图，在直角坐标系内，射线OT落在60°角的终边上，任作一条射线OA，求射线OA落在XOT内的概率.解：以O为起点作射线OA是随机的，因而射线OA落在任何位置都是等可能的。落在∠XOT内的概率只与∠XOA的大小有关，符合几何概型的条件。记事件A={射线OA落在∠XOT内}.因为∠XOT=60°，所以P(A)=例10.将长为l的棒随机折成3段，求3段长度能构成三角形的概率.解：设A=“3段长度能构成三角形”，x，y

分别表示其中两段的长度，则第3段的长度为l－x－y，试验的全部结果可构成集合

Ω={(x，y)|0<x<l，0<y<l，0<x+y<l}，要使3段长度能构成三角形，当且仅当任意两段长度之和大于第3段长度。故所求结果构成的集合A={(x，y)|x+y>,x<