六、数形结合思想

在古代兵法《三十六计》开篇中有一句话：“数中有术，术中有数”，可以理解为：不同的战争形势自有其对战策略，同时，每项对战策略之中，又存在着多种战争的变化形式.同样的，在数学中，“数中有形，形中有数”.数与形是数学中两个最基本的元素，正是基于对数与形的抽象研究才产生了数学这门学科.每一个几何图形中都蕴藏着一定的数量关系，而数量关系又常常可以通过图形的直观性作出形象的描述.因此，在解决数学问题时，常常根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，将数的问题利用形来观察，体现其几何意义；而形的问题也常借助数去思考，分析其代数含义.这样数和形的巧妙结合，会使解题更加便捷灵活，就是我们常说的数形结合思想方法.数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，包含“以形助数”和“以数解形”两个方面.高考数学中选择题、填空题侧重考查数到形的转化，即“以形助数”，把数量关系的研究转化为图形性质的研究，使代数问题几何化；在解答题中突出形到数的转化，即“以数解形”，把图形性质的研究转化为数量关系的研究，使几何问题代数化，解析几何就是非常典型的例子.由“形”转到“数”，往往比较明显，而由“数”转到“形”却需要转化的意识，因此，数形结合思想的使用往往偏重于由“数”到“形”的转化.数形结合思想方法可以解决很多数学问题，比如：在解析几何中与斜率、距离、截距、定义等相关的问题，在函数中与零点、单调性、比较数值大小等相关的问题，还可以运用数形结合思想解不等式、解三角函数、集合、线性规划、立体几何等相关的问题.下面通过几个例题来感受数形结合的应用.一、利用数形结合思想讨论方程的根：例1：方程|x2－2x|＝a2＋1(a>0)的解的个数是（）A．1B．2C．3D．4二、利用数形结合思想解不等式、求参数范围：例2：不等式|x＋3|－|x－1|≤a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（）A．(－∞，－1]∪[4，＋∞)B．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C．[1，2]D．(－∞，1]∪[2，＋∞)解：f(x)＝|x＋3|－|x－1|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－4x<－3，,2x＋2－3≤x<1，,4x≥1.))画出函数f(x)的图象，如图，可以看出函数f(x)的最大值为4，故只要a2－3a≥4即可，解得a≤－1或a≥4.正确选项为A.例3：已知奇函数f(x)的定义域是{x|x≠0，x∈R}，且在(0，＋∞)上单调递增，若f(1)＝0，则满足x·f(x)<0的x的取值范围是________．通过这些例题可以总结出：1.在数学中函数的图象、方程的曲线、不等式所表示的平面区域等都是实现以形助数的途径，分析题目中所给数量关系的几何意义，利用图形来解决相应的数量问题.2.利用数形结合解题，有时只需把图象大致形状画出即可，不需要精确图象．以下给出一些不同内容的练习题，体会其中的数形结合思想.练习题：一、集合相关问题：在集合运算中，可借助数轴、Venn图来处理集合的交、并、补等运算，从而使求解更加直观清晰.1.【2015浙江理，1】已知集合，，则（）A.B.C.D.二、函数相关问题：常见问题主要有：借助函数的大致图象研究函数的性质；根据题目给出的函数图象几何特征判断相应的问题；根据函数的关系式判断函数的图象等.在函数问题中，数形结合使得图象的几何特征与数量特征紧密结合.2.【2016全国Ⅱ理，12】已知函数满足，若函数与图象的交点为则（）A.0B.C.D.3.【2014浙江理，7】在同一直角坐标系中，函数f(x)=xa(x≥0)，g(x)=logax的图象可能是（）A.B.C.D.三、方程与不等式相关：函数与方程常见的是函数的零点问题，此时常将零点问题转化为两个函数图象的交点问题；函数与不等式相关的，结合题目已知条件，可以把不等关系转化成比较函数图象的高低问题.4.【2015江苏，13】已知函数，，则方程实根的个数为5.【2015北京理，7】如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是（）A．B．C．D．四、线性规划问题：线性规划问题是在约束条件下求目标函数的最值，在画不等式组表示的可行域时，从体现了数形结合思想的应用.6.【2016浙江理，3】在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影．由区域中的点在直线x+y2=0上的投影构成的线段记为AB，则│AB│=（）A．2B．4C．3D．六、不等式相关问题：常见的比如：已知含绝对值的不等式，根据已知条件，可利用函数图象来解相应的不等关系.7.【2015河南开封模拟，22】设函数f(x)=|x−1|+|x−2|

.（Ⅰ）画出函数y=f(x)的图像；（Ⅱ）若不等式|a+b|+|a−b|≥|a|f(x)

，(a≠0，a，b∈R)恒成立，求实数x的范围.七、几何概型相关问题：几何概型求解时，需根据某几何图形的面积、长度等来求解，这就体现了数形结合思想的应用.8.【2016山东理，14】在上随机的取一个数，则事件“直线与圆相交”发生的概率为.八、平面解析几何、平面向量等相关问题：平面解析几何的基本思想就是数形结合，在解题中将几何问题转化成代数问题来解决，这里也常用“坐标法”.平面向量相关的线性运算涉及三角形法则、平行四边形法则，并常与几何问题相结合来考察，体现了数形结合思想.9.【2016四川文，9】已知正三角形ABC的边长为，平面ABC内的动点P，M满足，则的最大值是（）A.B.C.D.10.【2014四川理，14】设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx－y－m+3=0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是__________.九、立体几何：立体几何中常见的空间向量法，就是将抽象的几何问题转化纯粹的代数运算，即“以数解形”.11.【2015四川理，14】如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E，F分别为AB，BC的中点.设异面直线EM与AF所成的角为，则的最大值为.练习题解析：1.【2015浙江理，1】已知集合，，则（）A.B.C.D.2.【2016全国Ⅱ理，12】已知函数满足，若函数与图象的交点为则（）A.0B.C.D.3.【2014浙江理，7】在同一直角坐标系中，函数f(x)=xa(x≥0)，g(x)=logax的图象可能是（）A.B.C.D.4.【2015江苏，13】已知函数，，则方程实根的个数为5.【2015北京理，7】如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是（）A．B．C．D．6.【2016浙江理，3】在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影．由区域中的点在直线x+y2=0上的投影构成的线段记为AB，则│AB│=（）A．2B．4C．3D．7.【2015河南开封模拟，22】设函数f(x)=|x−1|+|x−2|

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（Ⅰ）画出函数y=f(x)的图像；（Ⅱ）若不等式|a+b|+|a−b|≥|a|f(x)

，(a≠0，a，b∈R)恒成立，求实数x的范围.8.【2016山东理，14】在上随机的取一个数，则事件“直线与圆相交”发生的概率为9.【2016四川文，9】已知正三角形ABC的边长为，平面ABC内的动点P，M满足，则的最大值是（）A.B.C.D.10.【2014四川理，14