2023年人教版高中数学选修一知识点归纳超级精简版

(名师选题)2023年人教版高中数学选修一知识点归纳超级精简版

单选题1、已知是椭圆的两个焦点，是椭圆上任意一点，过引的外角平分线的垂线，垂足为，则与短轴端点的最近距离为（

）A．B．C．D．答案：C分析：由可知，又已知OQ是△F1F2M的中位线，点Q与y轴重合时，Q与短轴端点距离最近.解：设F1Q的延长线交F2P的延长线于点M，则由题意知∵∴由题意知OQ是△F1F2M的中位线∴∴Q点的轨迹是以O为圆心，以6为半径的圆∴当点Q与y轴重合时，Q与短轴端点取最近距离故选：C．2、已知双曲线的左焦点为F，点F到双曲线C的一条渐近线的距离为，则双曲线C的渐近线方程为（

）A．B．C．D．答案：A分析：首先根据题意得到，从而得到，即可得到答案.由题知：设，一条渐近线方程为，即.因为，所以，故渐近线方程为.故选：A3、已知两圆分别为圆和圆，这两圆的位置关系是（

）A．相离B．相交C．内切D．外切答案：B分析：先求出两圆圆心和半径，再由两圆圆心之间的距离和两圆半径和及半径差比较大小即可求解.由题意得，圆圆心，半径为7；圆，圆心，半径为4，两圆心之间的距离为，因为，故这两圆的位置关系是相交.故选：B.4、在直角坐标平面内，与点距离为2，且与点距离为3的直线共有（

）A．1条B．2条C．3条D．4条答案：C分析：根据直线是否存在斜率，分类讨论，利用点到直线距离公式进行求解即可.当直线不存在斜率时，设为，由题意可知：且，没有实数使得两个式子同时成立；当直线存在斜率时，设直线方程为：，点到该直线的距离为2，所以有，点到该直线的距离为3，所以有，由得：或，当时，代入中，得，该方程的判别式，该方程有两个不相等的实数根，当时，代入中，得，该方程的判别式，该方程有两个相等的实数根，所以这样的直线共有三条，故选：C.小提示：关键点睛：本题的关键是解方程组.5、美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法.三庭：将整个脸部按照发际线至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的，五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份.如图，假设三庭中一庭的高度为2cm，五眼中一眼的宽度为1cm，若图中提供的直线AB近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为（

）A．B．C．D．答案：B分析：建立平面直角坐标系，求出直线AB的方程，利用点到直线距离公式进行求解.如图，以鼻尖所在位置为原点O，中庭下边界为x轴，垂直中庭下边界为y轴，建立平面直角坐标系，则，直线

，整理为，原点O到直线距离为，故选：B6、已知椭圆的右焦点和上顶点分别为点和点，直线交椭圆于两点，若恰好为的重心，则椭圆的离心率为（

）A．B．C．D．答案：C分析：由题设，利用为的重心，求出线段的中点为，将B代入直线方程得，再利用点差法可得，结合，可求出，进而求出离心率.由题设，则线段的中点为，由三角形重心的性质知，即，解得：即代入直线，得①.又B为线段的中点，则，又为椭圆上两点，，以上两式相减得，所以，化简得②由①②及，解得：，即离心率.

故选：C.小提示：方法点睛：本题考查求椭圆的离心率，求解离心率在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出；②构造的齐次式，求出；③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；④根据圆锥曲线的统一定义求解．7、已知圆：，直线：，则当的值发生变化时，直线被圆所截的弦长的最小值为，则的取值为（

）A．B．C．D．答案：C分析：由直线过定点，结合圆的对称性以及勾股定理得出的取值.直线：恒过点，由于直线被圆所截的弦长的最小值为，即当直线与直线垂直时（为原点），弦长取得最小值，于是，解得.故选：C8、若直线与双曲线的一条渐近线平行，则实数m的值为（

）A．B．9C．D．3答案：A分析：根据双曲线渐近线的求法，利用直线平行斜率相等即可求解.的渐近线方程满足，所以渐进线与平行，所以渐近线方程为，故故选：A9、过点且倾斜角为的直线方程为（

）A．B．C．D．答案：D分析：由倾斜角为求出直线的斜率，再利用点斜式可求出直线方程解：因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，所以直线方程为，即，故选：D10、直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为等边三角形，

AA1＝AB，M是A1C1的中点，则AM与平面所成角的正弦值为（

）A．B．C．D．答案：B分析：取的中点，以为原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，即可根据线面角的向量公式求出．如图所示，取的中点，以为原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，不妨设，则，所以，平面的一个法向量为设AM与平面所成角为，向量与所成的角为，所以，即AM与平面所成角的正弦值为．故选：B．11、已知椭圆C：（）的左､右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相交，则椭圆C的离心率的取值范围为（

）A．B．C．D．.答案：B分析：由题设以线段为直径的圆为，根据直线与圆相交，利用点线距离公式列不等式求椭圆C的离心率的范围.由题设，以线段为直径的圆为，与直线相交，所以，可得，即，又，所以.故选：B12、如果复数z满足，那么的最大值是（

）A．B．C．D．答案：A分析：复数满足，表示以为圆心，2为半径的圆．表示圆上的点与点的距离，求出即可得出．复数满足，表示以为圆心，2为半径的圆．表示圆上的点与点的距离．．的最大值是．故选：A．小提示：本题考查复数的几何意义、圆的方程，求解时注意方程表示的圆的半径为2，而不是．双空题13、已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，＝

，若x＋y(＋)，则x＝________，y＝________.答案：

1

分析：结合空间向量的线性运算列方程，由此求得的值.，所以.所以答案是：；14、在标准正交基下，已知向量

，，则向量在上的投影为______，在上的投影之积为______．答案：

-12

56分析：根据向量的加法求得，即可得在，，上的投影分别为-12，8，7，即可得答案.解：

易得，所以在，，上的投影分别为-12，8，7，其在，上的投影之积为．所以答案是：-12；56.15、椭圆第一象限上一点与中心、右焦点构成一个正三角形，则此椭圆的离心率_____，当此三角形的面积是

，则

________.答案：

解析：由题意，可得出，，代入椭圆方程，结合隐含条件求解椭圆的离心率，再由三角形面积列式求得，则可得出的值.解：如图，由为正三角形，可得，，代入椭圆方程，可得，又，得，解得：，若，则，，则．所以答案是：；．小提示：本题考查椭圆的离心率，考查椭圆的简单几何性质的应用，考查计算能力.16、如图，一个酒杯的内壁的轴截面是抛物线的一部分，杯口宽cm，杯深8cm，称为抛物线酒杯．①在杯口放一个表面积为的玻璃球，则球面上的点到杯底的最小距离为______

cm；②在杯内放入一个小的玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径的取值范围为______(单位：cm)．答案：

分析：根据题意，，进而得，，故最小距离为；进而建立坐标系，得抛物线的方程为，当杯内放入一个小的玻璃球，要使球触及酒杯底部，此时设玻璃球轴截面所在圆的方程为，进而只需满足抛物线上的点到圆心的距离大于等于半径恒成立，再根据几何关系求解即可.因为杯口放一个表面积为的玻璃球，所以球的半径为，又因为杯口宽cm，所以如图1所示，有，所以，所以，所以，又因为杯深8cm，即故最小距离为如图1所示，建立直角坐标系，易知，设抛物线的方程为，所以将代入得，故抛物线方程为，当杯内放入一个小的玻璃球，要使球触及酒杯底部，如图2，

设玻璃球轴截面所在圆的方程为，依题意，需满足抛物线上的点到圆心的距离大于等于半径恒成立，即，则有恒成立，解得，可得.所以玻璃球的半径的取值范围为.所以答案是：；小提示：本题考查抛物线的应用，考查数学建模能力，运算求解能力，是中档题.本题第二问解题的关键在于设出球触及酒杯底部的轴截面圆的方程，进而将问题转化为抛物线上的点到圆心的距离大于等于半径恒成立求解.17、若点在双曲线上，且点的横坐标与双曲线的右焦点的横坐标相同，则点的纵坐标为______．点与双曲线的左焦点间的距离为______．答案：

11分析：由题意可得，代入双曲线方程求出，再由双曲线的定义即可求解.记双曲线的左、右焦点分别为，，设．因为点的横坐标与双曲线的右焦点的横坐标相同，所以，所以，解得，所以．由双曲线定义可得，所以．所以答案是：；11解答题18、已知圆C与y轴相切，圆心C在射线上，且截直线所得弦长为．（1）求圆C的方程；（2）已知点，直线与圆C交于A、B两点，是否存在m使得，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．答案：（1）；（2）不存在，理由见解析．分析：（1）设圆C的方程为，圆C与y轴相切，则，圆心C在射线上，所以，根据弦长公式得，解方程组即可得结果；（2）依题意得在线段的中垂线上，则，根据斜率关系即可求出参数值．（1）设圆C的方程为

圆心C在射线上，所以圆C与y轴相切，则点到直线的距离

，由于截直线所得弦长为，所以则得，又

所以(舍去)，

故圆C的方程为；（2）假设m存在，由（1）得，因为，所以在线段的中垂线上，则，因为，所以

解得；当时，直线方程为即，圆心到该直线的距离，该直线与圆相离，不合题意；所以不存在实数m满足题干要求.小提示：圆的弦长的常用求法：(1)几何法：求圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则

；(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：．19、已知定点、和动点．(1)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：动点M的轨迹及其方程．条件①：条件②：(2)，求：动点M的轨迹及其方程．答案：(1)答案见解析；(2)答案见解析.分析：（1）根据不同的选择，结合椭圆的定义，即可求得动点的轨迹及其方程；（2）对的取值范围进行分类讨论，结合不同情况求得对应的轨迹及方程即可.（1）选择条件①：，因为，故点的轨迹是以为焦点的椭圆，设其方程为，则，，故其方程为：.即选择条件①，点的轨迹是椭圆，其方程为；选择条件②：，因为，故点的轨迹是线段，其方程为.（2）因为，当时，此时动点不存在，没有轨迹和方程；当时，此时，由（1）可知，此时动点的轨迹是线段，其方程为；当时，此时，此时点的轨迹是以为焦点的椭圆，其方程为.综上所述：当时，动点没有轨迹和方程；当时，动点的轨迹是线段，其方程为；当时，动点的轨迹是以为焦点的椭圆，其方程为.20、已知的顶点，AB边上的高所在的直线方程为．(1)求直线AB的方程；(2)在两个条件中任选一个，补充在下面问题中．①角A的平分线所在直线方程为②BC边上的中线所在的直线方程为______，求直线AC的方程．答案：(1)；(2)若选①：直线AC的方程为；若选②：直线AC的方程为.分析：（1）由两直线垂直时，其斜率间的关系求得直线AB的斜率为，再由直线的点斜式方程可求得答案；（2）若选①：由，求得点，再求得点B关于的对称点，由此可求得直线AC的方程；若选②：由，求得点，设点，由BC的中点在直线上，和点C在直线上，求得点，由此可求得直线AC的方