单招向量数学练习题

PAGE\MERGEFORMAT1/PAGE\MERGEFORMAT1/NUMPAGES\MERGEFORMAT1单招向量数学练习题练习题

一、选择题（每题1分，共5分）

1.向量的线性组合中，若向量组线性无关，则其张成的空间维数是：

A.向量个数

B.向量个数减去线性相关向量的个数

C.向量组中任意两个向量的线性组合的维数

D.向量组中最多线性无关向量的个数

2.下列哪个向量组线性相关？

A.(1,2,3),(4,5,6)

B.(1,0,0),(0,1,0),(1,1,0)

C.(1,2,3),(0,1,2),(0,0,1)

D.(1,1,1),(1,0,0),(0,1,0)

3.设向量a=(1,2)，向量b=(3,4)，则向量2a3b是：

A.(1,2)

B.(5,6)

C.(5,6)

D.(6,5)

4.向量组(a,b,c)线性无关，以下哪个结论正确？

A.(a+b,b+c,c+a)线性相关

B.(a+b,b+c,c+a)线性无关

C.(2a,2b,2c)线性相关

D.(2a,2b,2c)线性无关

5.向量空间V的基是：

A.V中的任意线性无关的向量组

B.V中任意两个线性无关的向量

C.V中的任意线性相关向量组

D.V中能够张成V的最小线性无关向量组

二、判断题（每题1分，共5分）

1.向量的长度（范数）可以为负数。（）

2.向量组的秩等于向量组中线性无关向量的个数。（）

3.若向量组A可由向量组B线性表示，则向量组B的秩一定大于等于向量组A的秩。（）

4.任何向量组都可以扩充为一个基。（）

5.两个向量垂直的充分必要条件是它们的点积为零。（）

三、填空题（每题1分，共5分）

1.向量a=(1,2,3)的长度是______。

2.设向量a=(1,2)，向量b=(3,4)，则向量a和向量b的点积是______。

3.设矩阵A=[[1,2],[3,4]]，则矩阵A的行列式是______。

4.若向量组线性无关，则其张成的空间维数是______。

5.向量空间的一个基包含的向量个数称为该向量空间的______。

四、简答题（每题2分，共10分）

1.解释向量线性组合的概念。

2.解释向量组的线性相关与线性无关的概念。

3.解释向量空间的基和维度的概念。

4.解释行列式的概念及其在向量空间中的应用。

5.解释正交向量的概念及其性质。

五、计算题（每题2分，共10分）

1.设向量a=(1,2,3)，求向量a的长度。

2.设向量a=(1,2)，向量b=(3,4)，求向量a和向量b的夹角余弦值。

3.求矩阵A=[[1,2],[3,4]]的行列式。

4.判断向量组(1,2,3),(4,5,6),(7,8,9)是否线性相关。

5.设向量组(a,b,c)线性无关，求向量组(a+b,b+c,c+a)的线性关系。

六、作图题（每题5分，共10分）

1.画出向量a=(2,3)和向量b=(1,1)的线性组合，并标明向量a、向量b及线性组合的结果。

2.画出三维空间中的点A(1,2,3)，B(4,5,6)，C(7,8,9)，并求出向量AB、向量BC、向量AC。

七、案例分析题（每题5分，共10分）

1.已知向量组(a,b,c)线性无关，向量d可以由向量组(a,b,c)线性表示，求证：向量组(a,b,c,d)线性相关。

2.某向量空间的基为{e1,e2,e3}，向量f在该空间中，求证：向量f可以唯一地表示为向量组{e1,e2,e3}的线性组合。

练习题

八、案例设计题（每题2分，共10分）

1.设计一个三维空间中的向量组，使其线性相关，并给出具体的线性关系式。

2.给定向量组{v1,v2,v3}，设计一个向量v4，使得向量组{v1,v2,v3,v4}线性相关。

3.在二维平面上，设计两个不共线的向量，并说明这两个向量可以作为二维向量空间的基。

4.设计一个矩阵，其行列式不为零，并解释该矩阵对应的线性变换的性质。

5.设计一个向量组和一个线性变换，使得变换后的向量组与原向量组线性相关。

九、应用题（每题2分，共10分）

1.一个力的分解可以用向量的线性组合表示，给定一个力F和一个方向，求该力的分解向量。

2.在平面几何中，给定一个点P和两个不共线的向量a、b，求通过点P且在向量a、b张成的平面上的所有向量。

3.给定一个三角形的三边长度，使用向量方法验证勾股定理。

4.使用向量表示两个城市的相对位置，如果知道其中一个城市到第三个城市的向量，求另一个城市到第三个城市的向量。

5.给定一个线性变换矩阵，求变换后向量空间的基。

十、思考题（每题2分，共10分）

1.如果一个向量组线性相关，那么这个向量组中的向量是否都可以被其它向量线性表示？

2.在三维空间中，四个点是否总是能构成一个四面体？如果可以，请给出证明；如果不可以，请给出反例。

3.一个线性变换是否总是能将线性无关的向量组变换为线性相关的向量组？

4.如果两个向量组的秩相等，它们是否能互相线性表示？请给出理由。

5.向量空间中的基变换是否总是可逆的？如果可逆，为什么；如果不可逆，请给出条件。

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下

一、选择题答案

1.D

2.B

3.B

4.D

5.D

二、判断题答案

1.×

2.√

3.√

4.√

5.√

三、填空题答案

1.√(1^2+2^2+3^2)=√14

2.11

3.2

4.向量个数

5.维数

四、简答题答案

1.向量线性组合：多个向量的加权相加，权重为实数。

2.线性相关：向量组中至少有一个向量可以由其余向量线性表示；线性无关：向量组中任意一个向量都不能由其余向量线性表示。

3.基：张成向量空间的最小线性无关向量组；维度：基中向量的个数。

4.行列式：矩阵的行列式表示了该矩阵对应的线性变换对空间的拉伸或压缩程度；在向量空间中的应用：判断线性变换的可逆性、求解线性方程组等。

5.正交向量：两个向量的点积为零；性质：相互正交的向量线性无关，构成的空间基可以进行正交分解。

五、计算题答案

1.√(1^2+2^2+3^2)=√14

2.cosθ=(13+24)/(√(1^2+2^2)√(3^2+4^2))=11/√29

3.|A|=1423=2

4.线性相关，因为第三个向量是前两个向量的线性组合。

5.线性无关，因为a+b,b+c,c+a可以表示为a,b,c的线性组合。

六、作图题答案

1.略

2.略

七、案例分析题答案

1.因为d可以由a,b,c线性表示，所以d不提供新的线性无关的信息，因此(a,b,c,d)线性相关。

2.向量f在向量空间中，意味着f可以由基{e1,e2,e3}线性表示，且唯一性由线性无关性保证。

八、案例设计题答案

1.略

2.v4=v1+v2+v3

3.v1=(1,0),v2=(0,1)

4.略

5.略

九、应用题答案

1.略

2.略

3.略

4.略

5.略

十、思考题答案

1.是的，线性相关的向量组中的向量都可以被其它向量线性表示。

2.不是，四个共面的点不能构成四面体。

3.不一定，线性变换不总是能将线性无关的向量组变换为线性相关的向量组。

4.不一定，秩相等并不意味着它们能互相线性表示，还需要考虑具体的向量组。

5.基变换通常是可逆的，条件是变换矩阵是可逆的。

知识点总结及各题型考察学生的知识点详解：

1.向量的基本概念：长度、点积、向量组合、线性相关与线性无关。

选择题、判断题、填空题、简答题、计算题、案例设计题、应用题、思考题

2.向量空间与基：向量空间的定义、基的概念、维度的确定。

选择题、判断题、填空题、简答题、思考题

3.矩阵与行列式：矩阵的基本运算、行列式的计算、矩阵与行列式的关系。

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