第2节无界函数的反常积分

本节讨论把定积分概念在另一个方面进行拓广,即假定积分区间仍为有限,但被积函数在区间上是无界.这种情况下积分称为无界函数反常积分(瑕积分).引言3/12/202511/29一、无界函数广义积分概念二、无界函数广义积分性质三、无界函数广义积分收敛判别法四、无界函数广义积分主值主要内容3/12/202522/291.定义:

设函数

f(x)在区间(a,b]上连续,存在,则称此极限为函数

f(x)在(a,b]上广义积分.

这时也称广义积分

收敛.

一.无界函数反常积分(瑕积分)概念注意区间左端点而在点a右邻域内无界,

取

>0.假如极限假如上述极限不存在,就称广义积分发散.3/12/202533/292.定义:

设函数

f(x)在区间

上连续,存在,则称此极限为函数

f(x)在

上广义积分.

以上定义中a，b称为函数奇点或瑕点.注意区间右端点而在点

b左邻域内无界,取

>0.假如极限（即函数在区间上不连续点）3/12/202544/29

若在内部有一个奇点c，a<c<b,3.定义:奇点在区间内部则收敛,且有且都收敛,3/12/202555/29例1:解:3/12/202566/29所以3/12/202577/29例2：解：3/12/202588/29二.无界函数反常积分(瑕积分)性质和无穷积分相仿，瑕积分也有定积分含有性质,包含分部积分法和换元法对于瑕积分也成立.瑕积分一样能够引进绝对收敛和条件收敛概念，而且也有：绝对收敛必收敛，但反之未必.3/12/202599/29性质１3/12/20251010/29性质2（瑕积分）（定积分）3/12/20251111/29性质３3/12/20251212/29注:性质３说明绝对收敛积分本身一定收敛．我们称收敛而不绝对收敛积分为条件收敛．（这里结论与级数中相关结论相同注意比较）但本身收敛积分不一定绝对收敛．3/12/20251313/29性质4(柯西收敛原理)等价叙述为：3/12/20251414/29柯西判别法极限形式这里关键是记清楚条件中p、k关系问题.3/12/20251515/29无穷积分与瑕积分联络：瑕积分无穷积分两种积分关系经过上述等式就联络起来了.3/12/20251616/29例3：解：3/12/20251717/29所以,x=a为被积函数无穷间断点.

于是:oyx

a-

加3/12/20251818/29因为解：加作业:P701、2（1、3、5、7）3/12/20251919/29三.瑕积分收敛判别法*1.阿贝尔判别法（记清条件和结论会用）3/12/20252020/29*2.狄利克雷判别法（记清条件和结论会用）3/12/20252121/29解依据比较判别法,加3/12/20252222/29解由洛必达法则知依据柯西判别法极限形式,所给广义积分发散.

a=1这里k=1，p=1加3/12/20252323/29四.广义积分（无穷积分.瑕积分)主值1.瑕积分柯西主值:3/12/20252424/292.无穷积分柯西主值:例6：解：作业:P714（2、4、5）6（1、2）3/12/20252525/29特点:1.积分区间为无穷;3/12/20252626/293/12/20252727/29－函数几个主要性质：3/12/2025282