(完整版)概率论与数理统计第六章

第六章

数理统计的基本概念总体与样本§6.1一个统计问题总有它明确的研究对象.■总体…研究某批灯泡的寿命研究对象的全体称为总体，总体中每个成员称为个体.总体为推断总体分布及各种特征，随机地从总体中抽取若干个体进行观察试验，这一抽取过程称为“抽样”，所抽取的部分个体称为样本.样本中所包含的个体数目称为样本容量.■样本一旦取定一组样本，得到的是n个数(x1,x2,…,xn)，称为样本的一次观察值，简称样本观测值

.容量为n的样本可以看作n维随机变量(X1,X2,…,Xn)设X1,X2,…,Xn为总体X的一个容量为n的样本。若它满足独立性，即X1,X2,…,Xn

相互独立；同分布性，即每个Xi都与总体X服从相同的分布.则称这样的样本为简单随机样本，简称为样本。简单随机样本总体、样本、样本值的关系总体（理论分布）？样本样本值统计是从手中已有的资料--样本值，去推断总体的情况---总体分布F(x)的性质.总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样本取到样本值的规律，因而可以由样本值去推断总体.统计量与抽样分布§6.2■统计量设X1,X2,…,Xn是总体X的样本，g(X1,X2,…,Xn)是样本的实值函数，且不包含任何未知参数，则称g(X1,X2,…,Xn)为统计量。样本均值样本方差它反映了总体均值的信息它反映了总体方差的信息常用统计量样本k阶原点矩样本k阶中心矩它反映了总体k阶矩的信息它反映了总体k阶中心矩的信息

次序统计量

某地区30名2000年某专业毕业实习生实习期满后的月薪数据如下：9091091967123210961164108610711572950808971112010818257751224950999113091412031044866132013369921025871738A.构造该数据的频率分布表(组数为6)B.画出直方图频数/频率直方图

Max=1572,Min=738,组数=6组距=(Max-Min)/6=139

140取a0=735,则分组区间及相关数据如下组序分区区间频数频率累计频率1(735,875]60.20.22(875,1015]80.270.473(1015,1155]90.30.774(1155,1295]40.130.95(1295,1435]20.070.976(1435,1575]10.031.0合计301

设X1,X2,…,Xn是取自总体X的样本，对应的次序统计量为X(1)

X(2)

…

X(n)

，当给定次序统计量的观测值x(1)

x(2)

…

x(n)时,对任意实数x，称下面函数为总体X的经验分布函数。经验分布函数

例1：从总体X中抽取容量为8的样本，其观测值为

33，45，25，33，35，65，30，27。试求X的经验分布函数。

解：将样本观测值由小到大排序得

25<27<30<33=33<35<45<65■抽样分布

统计量既然是依赖于样本的，而后者又是随机变量，故统计量也是随机变量，它的分布叫做统计量的“抽样分布”.

■统计三大分布记为定义:设相互独立,都服从正态分布N(0,1),则称随机变量：

所服从的分布为自由度为

n

的分布的密度函数为来定义.其中伽玛函数通过积分性质1(可加性)Y1~χ2(m)，Y2~χ2(n)，Y1与Y2独立，则Y1+Y2~χ2(m+n)性质2(数字特征)

若χ2

~χ2(n)，则

E(χ2)=n，D(χ2)=2n例2：设X1,X2,X3,

X4是来自总体N(0,4)的简单随机样本，X=a(X1-2X2)2+b(3X3-4X4)2，问当a,b为何值时，统计量X服从例1.设X1,X2,…,

Xn是来自总体N(μ,σ2)的简单随机样本，求随机变量T的密度函数为：记为T～t(n).

定义:设X～N(0,1),Y～,且X与Y相互独立，则称变量所服从的分布为自由度为n的t分布.2.t分布

例3.设X1,X2,…,Xn是来自正态总体N(0,4)

的样本，试问统计量服从什么分布？3.F分布服从自由度为n1及n2的F分布，n1称为第一自由度，n2称为第二自由度，记作F~F(n1,n2).定义：设X与Y相互独立,则称统计量

F分布性质1

若X~F(m,n)，则1/X~F(n,m)F分布性质2若X

~t(n)，则X2~F(1,n)

例4.设X1,X2,…,Xn是来自正态总体N(0,1)

的样本，试问统计量服从什么分布？

抽样分布的分位点设α为给定的常数，且0<α<1.若存在χα2(n)使其中fn(x)为χ2的概率密度，则称点χα2(n)为χ2分布关于α的上侧分位点。

设α为给定的常数，且0<α<1.若存在tα

(n)使其中fn(t)为T的概率密度，则称点tα

(n)为t分布关于α的上侧分位点。

设α为给定的常数，且0<α<1.若存在Fα

(m,n)使其中f(y)为F的概率密度，则称点Fα

(m,n)为F分布关于α的上侧分位点。

分位点的性质(1)(2)(3)

三、正态总体的抽样分布定理1：设X1,X2,…,Xn是来自正态总体N(μ,σ2)的样本，则

定理2(两总体样本均值差的分布)

分别是这两个样本的且X与Y独立,X1,X2,…,是取自X的样本,取自Y的样本,分别是这两个样本的样本方差,均值,则有Y1,Y2,…,是样本

定理3(两总体样本方差比的分布)

分别是这两个样本的且X与Y独立,X1,X2,…,是取自X的样本,取自Y的样本,分别是这两个样本的样本方差,均值，则有Y1,Y2,…,是样本是取自X的样本,问下面两个统计量服从什么分布？且X与Y独立,X1,X2,…,取自Y的样本,Y1,Y2,…,是练习是取自X的样本,问下面两个统计量服从什么分布？且X与Y独立,X1,X2,…,取自Y的样本,Y1,Y2,…,是作业是取自X的样本,问下面统计量Z服从什么分布？且X与Y独立,X1,X2,…,取自Y的样本,Y1,Y2,…,是作业3.习题6的第4题4.计算与证明题---第7题作业5.随机变量X~F(n,n)，求P(X<1)6.X~