第9节 探索性及折叠问题

第9节探索性及折叠问题考试要求以空间向量为工具，探究空间几何体中线、面的位置关系或空间角存在的条件，解决折叠问题．考点一探索性问题例1(2024·青岛调研)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，△AB1C为等边三角形，四边形AA1B1B为菱形，AC⊥BC，AC＝4，BC＝3.(1)求证：AB1⊥A1C；(2)线段CC1上是否存在一点E，使得平面AB1E与平面ABC的夹角的余弦值为eq\f(1,4)？若存在，求出点E的位置；若不存在，请说明理由．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________感悟提升1.对于存在判断型问题的求解，应先假设存在，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等．2．对于位置探究型问题，通常借助向量，引进参数，综合已知和结论列出等式，解出参数．训练1(2024·武汉模拟)如图，已知四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形，侧面PAB是等边三角形，BC＝2AB，AC＝eq\r(3)AB，PB⊥AC.(1)求证：平面PAB⊥平面ABCD；(2)设Q为侧棱PD上的一点，四边形BEQF是过B，Q两点的截面，且AC∥平面BEQF.是否存在点Q，使得平面BEQF⊥平面PAD？若存在，求eq\f(PQ,QD)的值；若不存在，请说明理由．____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________考点二折叠问题例2(2023·苏北四市质检)已知一圆形纸片的圆心为O，直径AB＝2，圆周上有C，D两点．如图，OC⊥AB，∠AOD＝eq\f(π,6)，点P是eq\o(BD,\s\up8(︵))上的动点．沿AB将纸片折为直二面角，并连接PO，PD，PC，CD.(1)当AB∥平面PCD时，求PD的长；(2)当三棱锥P－COD的体积最大时，求平面OPD与平面CPD夹角的余弦值．______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________感悟提升翻折问题中的解题关键是要结合图形弄清翻折前后变与不变的关系，尤其是隐含的垂直关系．一般地翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一平面上的性质发生变化．训练2(2024·成都诊断)如图①，在等腰直角三角形ABC中，CD是斜边AB上的高，以CD为折痕把△ACD折起，使点A到达点P的位置，且∠PBD＝60°，E，F，H分别为PB，BC，PD的中点，G为CF的中点(如图②)．(1)求证：GH∥平面DEF；(2)求直线GH与平面PBC所成角的正弦值．_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________