2024-2025学年高中数学 第1章 立体几何初步 4 第2课时 空间图形的公理4及等角定理（教师用书）教学实录 北师大版必修2

2024-2025学年高中数学第1章立体几何初步4第2课时空间图形的公理4及等角定理（教师用书）教学实录北师大版必修2学校授课教师课时授课班级授课地点教具教材分析2024-2025学年高中数学第1章立体几何初步4第2课时空间图形的公理4及等角定理（教师用书）教学实录北师大版必修2。本节课以空间图形的公理4和等角定理为主线，通过实例引导学生理解空间图形的基本性质，培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力。教学内容与课本紧密相连，旨在帮助学生掌握空间几何的基础知识，为后续学习奠定基础。核心素养目标本节课旨在培养学生以下数学核心素养：

1.空间观念：通过空间图形的观察和操作，提升学生对空间关系的认识，形成空间想象能力。

2.逻辑推理：运用空间几何的公理和定理，锻炼学生的逻辑推理能力，提高论证的严谨性。

3.数学建模：将实际问题转化为几何模型，培养学生解决实际问题的能力。

4.数学运算：在证明和计算过程中，提高学生的数学运算技能，增强运算的准确性。学情分析高中阶段的学生在立体几何的学习上，普遍具备一定的几何知识基础，对平面几何中的概念和定理有一定的理解。但在空间观念和立体想象能力方面，学生之间存在一定差异。以下是对本节课所涉及学生层次、知识、能力、素质和行为习惯的分析：

1.学生层次：班级学生整体水平较好，但学习兴趣和接受能力存在差异。部分学生空间想象力较强，能够较快掌握空间图形的性质；而部分学生空间想象力较弱，需要更多的时间去理解和消化。

2.知识方面：学生已掌握平面几何的基本概念和性质，但对空间几何的知识掌握程度不一。部分学生能够运用平面几何知识解决空间问题，而部分学生在空间几何的学习中存在困难。

3.能力方面：学生的逻辑推理能力、抽象思维能力及解决问题的能力各有高低。在空间图形的公理和定理的理解和运用上，部分学生能够独立完成证明，而部分学生需要教师的引导和帮助。

4.素质方面：学生的合作意识、探究精神及自主学习能力有待提高。在课堂上，部分学生能够积极参与讨论，而部分学生可能较为被动。

5.行为习惯：部分学生在课堂上存在注意力不集中、作业完成不及时等问题，这可能会对课程学习产生一定影响。教学方法与手段教学方法：

1.讲授法：结合多媒体演示，讲解空间图形的公理4和等角定理的基本概念和证明过程，确保学生对基础知识有清晰的认识。

2.讨论法：引导学生围绕具体问题进行小组讨论，通过合作学习加深对空间图形性质的理解和运用。

3.实验法：利用立体模型或虚拟现实技术，让学生亲自操作和观察，培养空间想象能力和直观理解能力。

教学手段：

1.多媒体展示：利用PPT展示空间图形，动态演示几何变换，帮助学生直观理解空间关系。

2.互动软件：运用教学软件进行几何作图和计算，提高学生动手能力和解决问题的效率。

3.实物教具：使用立体模型辅助教学，强化学生对空间图形的实际感知。教学流程一、导入新课（5分钟）

详细内容：

1.利用多媒体展示生活中常见的立体图形，如立方体、圆柱体、圆锥体等，引导学生回顾平面几何中已学过的图形，激发学生对立体几何的兴趣。

2.提问：这些立体图形有哪些共同点？它们在现实生活中有哪些应用？通过提问引导学生思考空间图形的性质及其重要性。

3.引入本节课的主题——空间图形的公理4及等角定理，简要介绍其含义和作用，让学生对即将学习的内容有所期待。

二、新课讲授（15分钟）

1.讲解空间图形的公理4：

详细内容：

-通过实例（如立方体的性质）讲解公理4的内容，让学生了解空间图形的相对位置关系。

-引导学生思考：如何证明公理4的正确性？

-使用多媒体演示证明过程，帮助学生理解证明方法。

2.讲解等角定理：

详细内容：

-以立方体的一个角为例，讲解等角定理的表述和证明。

-引导学生思考：等角定理在空间几何中的应用？

-通过实例（如立体图形的折叠、切割）展示等角定理的实际应用。

3.讲解空间图形的性质：

详细内容：

-结合实例讲解空间图形的性质，如对角线、面积、体积等。

-引导学生运用所学知识解决实际问题，如计算空间图形的面积、体积等。

三、实践活动（10分钟）

1.画图练习：

详细内容：

-学生根据所学知识，在纸上画出空间图形的公理4和等角定理的应用实例。

-教师巡视指导，纠正学生画图过程中的错误。

2.拼图活动：

详细内容：

-学生利用立体模型，拼出指定空间图形，并说明其性质。

-教师检查拼图结果，并引导学生总结拼图过程中的经验。

3.解决实际问题：

详细内容：

-教师给出实际问题（如计算立体图形的面积、体积等），学生独立完成。

-教师检查解答过程，纠正错误，并对优秀解答给予表扬。

四、学生小组讨论（15分钟）

1.小组讨论方向一：空间图形的性质

举例回答：

-学生讨论空间图形的面积、体积、对角线等性质，并举例说明。

-学生举例：正方体的面积和体积的计算方法。

2.小组讨论方向二：等角定理的应用

举例回答：

-学生讨论等角定理在解决实际问题中的应用，并举例说明。

-学生举例：通过等角定理求解立体图形的夹角。

3.小组讨论方向三：空间图形的证明

举例回答：

-学生讨论如何证明空间图形的性质，并举例说明。

-学生举例：证明正方体的对角线互相垂直。

五、总结回顾（5分钟）

详细内容：

1.回顾本节课所学内容，强调空间图形的公理4、等角定理及空间图形的性质。

2.提问：学生在学习过程中遇到哪些困难？如何解决？

3.强调空间几何在日常生活和科技发展中的重要性，激发学生对空间几何的学习兴趣。

本节课重难点分析：

1.空间图形的公理4和等角定理的理解和证明。

2.空间图形性质的应用。

3.空间几何在实际问题中的应用。

用时：45分钟教学资源拓展1.拓展资源：

-空间几何的历史背景：介绍立体几何的发展历程，包括欧几里得的《几何原本》中的公理化体系，以及后来的发展，如非欧几何的引入。

-空间几何的数学应用：探讨空间几何在建筑设计、工程计算、物理学中的实际应用，如如何通过空间几何计算三维结构的稳定性。

-空间几何的艺术表现：分析立体几何在艺术作品中的应用，如雕塑、建筑设计和绘画中的空间构图。

2.拓展建议：

-阅读相关书籍：《几何原本》是学习空间几何的经典著作，学生可以通过阅读原著来加深对空间几何概念的理解。

-观看教育视频：推荐一些在线教育平台上的立体几何教学视频，如KhanAcademy提供的立体几何教程，帮助学生更好地理解抽象概念。

-实践操作：鼓励学生利用软件工具如GeoGebra或Cinderella进行空间几何图形的绘制和探索，通过实际操作来加深对空间关系的理解。

-参与数学竞赛：鼓励学生参加数学竞赛中的立体几何题目，通过挑战性的问题来提高解题技巧和空间思维能力。

-小组项目：组织学生进行小组项目，要求他们设计一个具有实际应用价值的空间几何模型，如设计一个高效的空间存储结构。

-研究报告：引导学生撰写关于空间几何在某一个特定领域应用的报告，如分析空间几何在机器人运动学中的应用。板书设计①重点知识点：

-空间图形的公理4：若两个平面相交，则它们的交线在两个平面内。

-等角定理：如果两个角是同位角，那么它们相等。

②关键词：

-同位角

-交线

-相等

③重点句：

-公理4的定义及证明过程。

-等角定理的表述和应用实例。

-空间图形性质与实际应用的关系。课后作业1.证明题：

已知长方体的一个角为A，角A的对面顶点为B，顶点A和B的对面顶点为C，证明：AC垂直于BC。

答案：连接长方体的对角线BD，由于BD是长方体的对角线，因此BD垂直于AC和BC。由于AC和BC都包含在平面ABC中，所以AC垂直于BC。

2.应用题：

一个正方体的边长为2cm，求这个正方体的体积和表面积。

答案：体积=边长^3=2^3=8cm^3；表面积=6×边长^2=6×2^2=24cm^2。

3.判断题：

若两个平面相交，则它们的交线上的任意一点都位于两个平面内。

答案：正确。根据空间几何的公理4，两个平面的交线上的任意一点都位于两个平面内。

4.解答题：

在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是棱AA1、BB1的中点，求证：EF平行于平面A1B1D1。

答案：由于E和F分别是棱AA1和BB1的中点，所以EF平行于AA1和BB1。又因为AA1和BB1都在平面A1B1D1上，所以EF平行于平面A1B1D1。

5.实践题：

设计一个实验来验证等角定理，即如果两条直线被第三条直线所截，那么同位角相等。

答案：实验步骤：

a.准备一张纸和一把直尺。

b.在纸上画出两条直线L1和L2。

c.使用直尺在L1和L2上分别截取相等的线段AB和CD。

d.使用直尺在L1上截取线段AE，使得∠BAC=∠CDE。

e.观察并记录∠BAE和∠CDE的大小，验证它们是否相等。教学反思与改进这节课下来，我感到既有成就感也有不少反思。首先，我觉得课堂气氛总体上是活跃的，学生们对于空间图形的公理4和等角定理的理解比预期的要好。但是，我也发现了一些问题，以下是我的一些反思和改进措施。

1.学生对空间想象力的培养需要更多时间。

我发现有些学生在理解空间图形的性质时显得有些吃力，尤其是涉及到空间想象的部分。例如，在讲解等角定理时，有些学生难以理解两条直线被第三条直线截时同位角相等的几何意义。因此，我计划在未来的教学中，增加一些直观教具的使用，比如立体模型或者三维动画，帮助学生更好地在空间中感知和理解几何概念。

2.课堂互动不够深入。

虽然我鼓励学生参与讨论，但发现有些学生参与度不高，可能是由于对某些概念的不理解或者缺乏自信。为了改进这一点，我打算在课堂上设计更多的小组讨论活动，让学生在小组内互相讲解和讨论，这样可以提高他们的参与度和理解深度。

3.作业布置和反馈需要更加个性化。

在布置作业时，我注意到有些学生对于难度较高的题目感到困惑，而有些学生则觉得作业太简单。为了解决这个问题，我计划在作业中提供不同难度的题目，让学生可以根据自己的能力选择合适的题目。同时，我会对学生的作业进行更详细的反馈，指出他们的错误并给出改进建议。

4.加强对学生的个